build

ru/docs/chapter_computational_complexity/exercises.md

@@ -0,0 +1,116 @@
+---
+comments: true
+---
+
+<!-- Автоматически создано utils/exercises/publish_exercises.py; не редактируйте напрямую. -->
+
+# 2.6 &nbsp; Упражнения
+
+## 2.6.1 &nbsp; Вопросы для самопроверки
+
+### 1. &nbsp; Временная и пространственная сложность итерации и рекурсии
+
+Обе функции ниже вычисляют $1 + 2 + \dots + n$ (считайте, что $n \ge 1$). Присвойте `n` значение 4,
+ответьте на вопросы в порядке фактического выполнения программы, а затем сравните эффективность двух вариантов.
+
+```python
+def sum_iter(n):
+    s = 0
+    for i in range(1, n + 1):
+        s += i
+    return s
+
+def sum_recur(n):
+    if n == 1:
+        return 1
+    return n + sum_recur(n - 1)
+```
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. Какие значения принимает переменная `s` после каждой итерации при выполнении `sum_iter(4)`?
+2. Какие функции поочередно вызываются при выполнении `sum_recur(4)`? Как формируется результат при возврате, начиная с самого глубокого вызова?
+3. Каковы временная и пространственная сложности каждого варианта? Обоснуйте ответ, опираясь на процессы выполнения из вопросов 1 и 2.
+
+??? success "Ответ"
+
+    1. Переменная цикла `i` поочередно принимает значения `1, 2, 3, 4`, а `s` после каждой итерации становится равной
+        `1, 3, 6, 10`. Поэтому `sum_iter(4)` возвращает 10.
+
+    2. Функции вызываются в следующем порядке:
+        `sum_recur(4) → sum_recur(3) → sum_recur(2) → sum_recur(1)`.
+        `sum_recur(1)` возвращает 1, после чего следующие уровни поочередно получают `2 + 1 = 3`, `3 + 3 = 6` и `4 + 6 = 10`.
+        В самой глубокой точке все 4 вызова функции еще не завершены.
+
+    3. В обеих функциях число итераций или вызовов пропорционально $n$, поэтому их временная сложность равна $O(n)$.
+        Пространственная сложность различается: итеративный вариант использует постоянное число переменных, поэтому она равна $O(1)$;
+        в рекурсивном варианте предыдущие вызовы ожидают возврата результата до достижения условия завершения, поэтому в стеке вызовов одновременно хранится до $n$ вызовов.
+        Его пространственная сложность равна $O(n)$.
+
+        При анализе пространственной сложности нужно учитывать не только переменные в коде, но и память, занимаемую рекурсивными вызовами.
+
+### 2. &nbsp; Временная сложность трех фрагментов кода
+
+Во всех трех фрагментах кода входные данные — положительное целое число $n$. Расположите фрагменты в порядке возрастания временной сложности и укажите сложность каждого из них.
+
+```python
+# Фрагмент 1
+s = 0
+for i in range(n):
+    s += i
+
+# Фрагмент 2
+s = 0
+for i in range(n):
+    for j in range(i, n):
+        s += j
+
+# Фрагмент 3
+while n > 1:
+    n = n // 2
+```
+
+??? success "Ответ"
+
+    Порядок от меньшей сложности к большей: фрагмент 3 — $O(\log n)$, фрагмент 1 — $O(n)$, фрагмент 2 — $O(n^2)$.
+    В фрагменте 3 на каждой итерации $n$ уменьшается вдвое, поэтому цикл выполняется примерно $\log_2 n$ раз.
+    Цикл во фрагменте 1 выполняется ровно $n$ раз. Число итераций внутреннего цикла во фрагменте 2 последовательно равно
+    $n,n-1,\dots,1$, а их сумма — $n(n+1)/2$, поэтому сложность квадратичная.
+
+### 3. &nbsp; Какой способ разворота экономнее по памяти
+
+Все элементы массива `nums` можно расположить в обратном порядке двумя способами:
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. создать новый массив `res` той же длины, скопировать в него элементы в обратном порядке и вернуть его;
+2. задать два индекса `i` и `j`, перемещать их от начала и конца массива к середине и попарно менять местами `nums[i]` и `nums[j]`.
+
+    Какова пространственная сложность каждого способа? Какой из них выполняет операцию «на месте»?
+
+??? success "Ответ"
+
+    1. Требуется вспомогательный массив той же длины, что и входной, поэтому пространственная сложность равна $O(n)$.
+
+    2. Используются только две индексные переменные,
+        поэтому пространственная сложность равна $O(1)$, а операция выполняется на месте.
+
+        Обратите внимание: разворот на месте изменяет входной массив,
+        поэтому его следует предпочитать только тогда, когда менять входные данные разрешено. Если исходный массив нужно сохранить, затрат на копирование в способе 1 не избежать.
+
+## 2.6.2 &nbsp; Задачи по программированию
+
+### 1. &nbsp; Число Фибоначчи
+
+Последовательность Фибоначчи задается так: $F(0)=0$, $F(1)=1$, а при $n\ge2$
+выполняется $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$.
+
+Дано неотрицательное целое число `n`. Вычислите и верните $F(n)$ с помощью цикла, не используя рекурсию.
+
+??? tip "Подсказки"
+
+    1. Сначала отдельно обработайте случаи, когда n равно 0 или 1
+    2. Для вычисления следующего члена нужны только два предыдущих, поэтому хранить всю последовательность не требуется
+    3. Обновляя две переменные, не перезапишите слишком рано старое значение, которое еще понадобится
+
+[LeetCode](https://leetcode.com/problems/fibonacci-number/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }