build

ru/docs/chapter_divide_and_conquer/exercises.md

@@ -0,0 +1,102 @@
+---
+comments: true
+---
+
+<!-- Автоматически создано utils/exercises/publish_exercises.py; не редактируйте напрямую. -->
+
+# 12.6 &nbsp; Упражнения
+
+## 12.6.1 &nbsp; Вопросы для самопроверки
+
+### 1. &nbsp; Какие задачи подходят для метода «разделяй и властвуй»
+
+Ученик хочет решить следующие задачи способом «разделить на две половины, решить каждую отдельно, затем объединить результаты».
+Для каждой задачи выберите одно из утверждений: «подходит для метода “разделяй и властвуй”», «разделение возможно, но не уменьшает общий объем работы» или «половины нельзя решить независимо». Объясните свой выбор.
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. Отсортировать неупорядоченный массив;
+2. найти максимальный элемент массива;
+3. последовательно выполнить набор операций стека `push(x)` и `pop()`, выводя элемент, полученный при каждой операции `pop()`.
+
+??? success "Ответ"
+
+    1. Подходит: массив делится пополам, обе половины независимо сортируются, а затем сливаются за $O(n)$ — именно так работает сортировка слиянием.
+    2. Разделение возможно, но оно не уменьшит общий объем работы: в обеих половинах в сумме все равно нужно проверить все $n$ элементов,
+        поэтому, как и при прямом обходе, потребуется $O(n)$ времени.
+    3. Половины нельзя решить независимо: содержимое стека в начале второй половины операций зависит от результата первой,
+        поэтому решить их независимо, не зная результатов друг друга, невозможно.
+
+### 2. &nbsp; Как быстрое возведение в степень уменьшает число вычислений
+
+Рекурсивная функция ниже вычисляет $x^n$ методом «разделяй и властвуй»:
+
+```python
+def fast_pow(x, n):
+    if n == 0:
+        return 1
+    half = fast_pow(x, n // 2)
+    if n % 2 == 0:
+        return half * half
+    return half * half * x
+```
+
+Функция вызывается как `fast_pow(3, 5)`.
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. Какие значения последовательно принимает параметр `n` при рекурсивных вызовах?
+2. Какие значения поочередно возвращаются на каждом уровне, начиная с самого глубокого?
+3. Почему результат нужно сначала сохранить в `half`, а не дважды записывать `fast_pow(x, n // 2)`?
+
+??? success "Ответ"
+
+    1. Параметр последовательно принимает значения `5 → 2 → 1 → 0`: на каждом шаге показатель степени уменьшается вдвое до достижения условия завершения.
+
+    2. При `n = 0` возвращается 1; при `n = 1` возвращается $1×1×3=3$;
+        при `n = 2` — $3×3=9$; при `n = 5` — $9×9×3=243$.
+
+    3. Если записать `fast_pow(x, n // 2)` по обе стороны умножения, два рекурсивных вызова будут решать одну и ту же подзадачу.
+        Когда результат сохраняется в `half`, на каждом уровне выполняется только один рекурсивный вызов, а глубина рекурсии составляет примерно $\log n$;
+        два вызова привели бы к множеству повторных вычислений.
+
+### 3. &nbsp; Разделение левого и правого поддеревьев по последовательностям обхода
+
+Двоичное дерево без повторяющихся узлов имеет следующие последовательности прямого и симметричного обходов:
+
+- прямой обход: `[A, B, D, E, C]`
+- симметричный обход: `[D, B, E, A, C]`
+
+Выполните только разделение на уровне корневого узла: продолжать рекурсию и рисовать все дерево не требуется.
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. Какой узел является корневым?
+2. Какие участки симметричного обхода соответствуют левому и правому поддеревьям?
+3. Какие участки прямого обхода соответствуют левому и правому поддеревьям? Какие непосредственные дочерние узлы имеет корень?
+
+??? success "Ответ"
+
+    1. Первый узел прямого обхода является корневым, поэтому корень — `A`.
+
+    2. Узел `A` делит симметричный обход на две части: левому поддереву соответствует `[D, B, E]`, правому — `[C]`.
+
+    3. Левое поддерево содержит 3 узла, поэтому следующие после корня `A` 3 элемента прямого обхода относятся к левому поддереву:
+        `[B, D, E]`. Оставшийся участок `[C]` относится к правому поддереву.
+        Следовательно, левый дочерний узел корня — `B`, а правый — `C`.
+
+## 12.6.2 &nbsp; Задачи по программированию
+
+### 1. &nbsp; Быстрое возведение в степень
+
+Даны вещественное число `x` и целое число `n`. Вычислите $x^n$, не используя встроенную функцию возведения в степень.
+Примените рекурсивный метод «разделяй и властвуй»: каждый раз уменьшайте показатель степени вдвое и повторно используйте уже вычисленный результат подзадачи.
+В этой задаче $x^0=1$, в том числе при `x = 0`; если `n < 0`, гарантируется, что `x != 0`, а ответ можно преобразовать к $(1/x)^{-n}$.
+
+??? tip "Подсказки"
+
+    1. При n, равном 0, ответ равен 1
+    2. Вычислив x в степени n // 2, сохраните результат в half и не выполняйте рекурсивный вызов второй раз
+    3. Если n < 0, сначала замените x на 1 / x, а n — на -n; в C++ или Java предварительно преобразуйте n в 64-битное целое число, чтобы избежать переполнения при смене знака у минимального 32-битного целого
+
+[LeetCode](https://leetcode.com/problems/powx-n/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }

ru/docs/chapter_divide_and_conquer/index.md

@@ -20,3 +20,4 @@ icon: material/set-split
 - [12.3   Задача построения двоичного дерева](build_binary_tree_problem.md)
 - [12.4   Задача о Ханойской башне](hanota_problem.md)
 - [12.5   Резюме](summary.md)
+- [12.6   Упражнения](exercises.md)