build

2026-08-14 20:50:58 +00:00 · 2026-07-19 03:42:10 +08:00
parent cb5235bc3f
commit 2b8612bc41
238 changed files with 7477 additions and 3 deletions
@@ -0,0 +1,90 @@
+---
+comments: true
+---
+
+<!-- Автоматически создано utils/exercises/publish_exercises.py; не редактируйте напрямую. -->
+
+# 15.6 &nbsp; Упражнения
+
+## 15.6.1 &nbsp; Вопросы для самопроверки
+
+### 1. &nbsp; Всегда ли лучше брать самую крупную монету
+
+Даны монеты номиналов `[1, 7, 10]` и целевая сумма 14.
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. Запишите монеты, выбранные по правилу «каждый раз брать наибольший номинал, не превышающий оставшуюся сумму».
+2. Существует ли способ использовать меньше монет? Если да, приведите один пример; если нет, объясните почему.
+3. Доказывает ли результат, что эта жадная стратегия верна для любых номиналов монет?
+
+??? success "Ответ"
+
+    1. Жадный алгоритм последовательно выбирает `10 + 1 + 1 + 1 + 1`, всего 5 монет.
+
+    2. Способ с меньшим числом монет существует: `7 + 7`, всего 2 монеты.
+
+    3. Нет. Этот контрпример показывает, что для произвольных номиналов выбор наибольшей допустимой в данный момент монеты не всегда дает минимальное число монет;
+        лучший на текущем шаге выбор может помешать получить более выгодную комбинацию в дальнейшем.
+
+### 2. &nbsp; Какой предмет первым положить в рюкзак
+
+В рюкзак вместимостью 4 килограмма можно положить следующие предметы. Разрешено брать только часть предмета,
+а полученная ценность пропорциональна взятому весу.
+
+- предмет A: вес 4 килограмма, ценность 20;
+- предмет B: вес 3 килограмма, ценность 18.
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. Какова ценность одного килограмма каждого предмета? Какой предмет нужно брать первым?
+2. Заполните рюкзак по жадной стратегии для дробного рюкзака. Какова итоговая ценность?
+3. Если предметы можно делить, а рюкзак ограничен по общему весу, что следует сравнивать при выборе: общую ценность или ценность килограмма? Почему?
+
+??? success "Ответ"
+
+    1. Ценность килограмма A равна `20 ÷ 4 = 5`, а килограмма B — `18 ÷ 3 = 6`,
+        поэтому первым нужно взять B с большей удельной ценностью.
+
+    2. Сначала берется весь предмет B: он занимает 3 килограмма и дает ценность 18. В рюкзаке остается место для 1 килограмма,
+        поэтому затем берется 1 килограмм предмета A ценностью 5. Итоговая ценность равна `18 + 5 = 23`.
+
+    3. Рюкзак ограничен по общему весу, а предметы можно делить, поэтому нужно сравнивать ценность единицы веса.
+        Хотя общая ценность A выше, ценность его килограмма ниже, чем у B. Если сначала полностью положить A, получится только ценность 20.
+
+### 3. &nbsp; Как переместить два указателя на следующем шаге
+
+Высоты вертикальных перегородок заданы массивом `[1, 8, 6, 2, 5]`. Для поиска наибольшей вместимости используются два указателя на концах массива.
+Вместимость равна произведению высоты более короткой из двух перегородок на расстояние между их индексами.
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. Сначала левый указатель находится по индексу 0, а правый — по индексу 4. Чему равна текущая вместимость? Какой указатель нужно переместить следующим?
+2. После одного перемещения, выбранного в вопросе 1, по каким индексам находятся указатели? Чему теперь равна вместимость? Какой указатель нужно переместить следующим?
+3. Для текущей пары перегородок можно переместить указатель как более короткой, так и более высокой перегородки. Какое перемещение еще может привести к большей вместимости и почему?
+
+??? success "Ответ"
+
+    1. Текущая вместимость равна `min(1, 5) × (4 - 0) = 4`. Левая перегородка короче, поэтому нужно переместить левый указатель.
+
+    2. После перемещения левый и правый указатели находятся по индексам 1 и 4. Текущая вместимость равна
+        `min(8, 5) × (4 - 1) = 15`. Теперь короче правая перегородка, поэтому следующим нужно переместить правый указатель.
+
+    3. Большую вместимость еще может дать перемещение указателя более короткой перегородки. При перемещении более высокой перегородки расстояние между ними обязательно уменьшается,
+        а высота контейнера по-прежнему ограничена оставшейся короткой перегородкой, поэтому вместимость может только остаться прежней или уменьшиться.
+        Только перемещение короткой перегородки дает возможность встретить более высокую.
+
+## 15.6.2 &nbsp; Задачи по программированию
+
+### 1. &nbsp; Дробный рюкзак
+
+Даны массивы одинаковой длины `wgt` и `val`, где `wgt[i] > 0`, `val[i] >= 0`, а вместимость рюкзака `cap >= 0`.
+Каждый предмет имеется в одном экземпляре, но разрешено положить в рюкзак только его часть;
+полученная ценность пропорциональна доле веса предмета, которую положили в рюкзак. Используйте жадный алгоритм
+и верните максимальную суммарную ценность как вещественное число.
+
+??? tip "Подсказки"
+
+    1. Сначала вычислите ценность единицы веса каждого предмета как val[i] / wgt[i]; результат деления должен сохранять дробную часть
+    2. Чем выше ценность единицы веса предмета, тем раньше его нужно класть в рюкзак
+    3. Если оставшаяся вместимость меньше веса текущего предмета, возьмите такую его часть, которая точно заполнит рюкзак, и завершите работу
@@ -20,3 +20,4 @@ icon: material/head-heart-outline
 - [15.3 &nbsp; Задача о максимальной вместимости](max_capacity_problem.md)
 - [15.4 &nbsp; Задача о максимальном произведении разбиения](max_product_cutting_problem.md)
 - [15.5 &nbsp; Резюме](summary.md)
+- [15.6 &nbsp; Упражнения](exercises.md)