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2026-08-17 06:00:58 +00:00 · 2026-07-19 03:42:10 +08:00
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+comments: true
+hide: [edit]
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+
+<!-- 此檔案由 utils/exercises/publish_exercises.py 根據 exercises.yaml 自動生成，請勿直接修改。 -->
+
+# 9.5 &nbsp; 練習
+
+## 9.5.1 &nbsp; 知識鞏固
+
+### 1. &nbsp; 用兩種方式表示同一張圖
+
+一個無向圖有 4 個頂點 `A、B、C、D`，邊為
+`A-B、A-C、B-C、C-D`。
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. 寫出它的鄰接表；
+2. 填寫只含 0 和 1 的鄰接矩陣；
+3. 如果要判斷 `A` 和 `D` 是否直接相連，哪種圖的表示方法只需檢視一個儲存條目？
+4. 如果圖的頂點很多但邊很少，哪種表示通常更節省空間？
+
+??? success "參考答案"
+
+    1. 鄰接表為：
+
+        ```text
+        A: B, C
+        B: A, C
+        C: A, B, D
+        D: C
+        ```
+
+    2. 鄰接矩陣為：
+
+        | | A | B | C | D |
+        | --- | --- | --- | --- | --- |
+        | A | 0 | 1 | 1 | 0 |
+        | B | 1 | 0 | 1 | 0 |
+        | C | 1 | 1 | 0 | 1 |
+        | D | 0 | 0 | 1 | 0 |
+
+    3. 鄰接矩陣可直接檢視第 `A` 行、第 `D` 列，因此很適合判斷任意兩點是否直接相連。
+
+    4. 頂點很多但邊很少時，鄰接表只記錄實際存在的邊，通常比為每一對頂點都預留位置的鄰接矩陣更節省空間。
+
+### 2. &nbsp; 廣度優先與深度優先訪問順序
+
+一個無向圖的頂點為 `A、B、C、D、E`，邊為
+`A-B、A-C、B-D、C-D、D-E`。
+
+從 A 出發，並規定遇到多個未訪問鄰接頂點時按字母順序選擇：
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. 寫出廣度優先走訪（BFS）的訪問順序；
+2. 寫出遞迴深度優先走訪（DFS）的訪問順序；
+3. 為什麼兩種走訪都需要記錄已經訪問過的頂點？
+
+??? success "參考答案"
+
+    1. BFS 的訪問順序為 `A, B, C, D, E`。它先訪問離 A 一條邊的 B、C，
+        再訪問更遠的 D、E。
+
+    2. DFS 的訪問順序為 `A, B, D, C, E`。它依次進入當前頂點的未訪問鄰接頂點，
+        因此先走過 `A → B → D → C`；C 沒有新的鄰接頂點時回到 D，再訪問 E。
+
+    3. 圖中存在環，例如 `A-B-D-C-A`。如果不記錄已訪問頂點，
+        走訪可能反覆沿環訪問同一批頂點，無法正常結束。
+
+### 3. &nbsp; 一次 BFS 能訪問整張圖嗎
+
+一個無向圖有頂點 `A、B、C、D、E、F`，邊只有
+`A-B、B-C、D-E`。
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. 從 A 開始進行一次 BFS，可以訪問哪些頂點？
+2. 根據第 1 問，這一次 BFS 是否已經訪問圖中的所有頂點？為什麼？
+3. 若按字母順序掃描所有頂點，每遇到一個未訪問頂點就重新開始 BFS，
+    各次 BFS 的起點是什麼？這個圖被分成幾個互不連通的部分（連通分量）？
+
+??? success "參考答案"
+
+    1. 從 A 出發只能訪問 `A、B、C`。
+
+    2. 沒有訪問所有頂點。`D、E` 組成另一個互相連通的部分，F 是單獨的頂點；
+        它們與 A 之間都沒有路徑，因此從 A 出發無法到達。
+
+    3. 三次 BFS 的起點依次為 `A、D、F`，分別訪問
+        `{A, B, C}`、`{D, E}` 和 `{F}`。因此這個圖有 3 個連通分量。
+
+## 9.5.2 &nbsp; 程式設計練習
+
+### 1. &nbsp; 判斷無向圖中是否存在路徑
+
+給定一個含有 $n$ 個頂點的無向圖，頂點編號為 $0$ 到 $n-1$。陣列 `edges` 中的每一項 `[u, v]` 表示頂點 `u` 和 `v` 之間有一條無向邊。
+
+再給定起點 `source` 和終點 `destination`。請先根據 `edges` 建立鄰接表，再使用 BFS 或 DFS
+判斷是否存在一條從 `source` 到 `destination` 的路徑：存在則返回 `true`，否則返回 `false`。
+圖中可能有環，也可能不連通。
+
+??? tip "解題提示"
+
+    1. 每條無向邊需要同時加入兩個方向
+    2. 圖中可能有環，必須記錄已經訪問過的節點
+    3. 從 source 出發，遇到 destination 返回 true，走訪結束仍未遇到則返回 false
+
+[LeetCode](https://leetcode.cn/problems/find-if-path-exists-in-graph/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
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+comments: true
+---
+
+# 9.1 &nbsp; 圖
+
+<u>圖（graph）</u>是一種非線性資料結構，由<u>頂點（vertex）</u>和<u>邊（edge）</u>組成。我們可以將圖 $G$ 抽象地表示為一組頂點 $V$ 和一組邊 $E$ 的集合。以下示例展示了一個包含 5 個頂點和 7 條邊的圖。
+
+$$
+\begin{aligned}
+V & = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \newline
+E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline
+G & = \{ V, E \} \newline
+\end{aligned}
+$$
+
+如果將頂點看作節點，將邊看作連線各個節點的引用（指標），我們就可以將圖看作一種從鏈結串列拓展而來的資料結構。如圖 9-1 所示，**相較於線性關係（鏈結串列）和分治關係（樹），網路關係（圖）的自由度更高**，因而更為複雜。
+
+![鏈結串列、樹、圖之間的關係](graph.assets/linkedlist_tree_graph.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 9-1 &nbsp; 鏈結串列、樹、圖之間的關係 </p>
+
+## 9.1.1 &nbsp; 圖的常見型別與術語
+
+根據邊是否具有方向，可分為<u>無向圖（undirected graph）</u>和<u>有向圖（directed graph）</u>，如圖 9-2 所示。
+
+- 在無向圖中，邊表示兩頂點之間的“雙向”連線關係，例如微信或 QQ 中的“好友關係”。
+- 在有向圖中，邊具有方向性，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 兩個方向的邊是相互獨立的，例如微博或抖音上的“關注”與“被關注”關係。
+
+![有向圖與無向圖](graph.assets/directed_graph.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 9-2 &nbsp; 有向圖與無向圖 </p>
+
+根據所有頂點是否連通，可分為<u>連通圖（connected graph）</u>和<u>非連通圖（disconnected graph）</u>，如圖 9-3 所示。
+
+- 對於連通圖，從某個頂點出發，可以到達其餘任意頂點。
+- 對於非連通圖，從某個頂點出發，至少有一個頂點無法到達。
+
+![連通圖與非連通圖](graph.assets/connected_graph.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 9-3 &nbsp; 連通圖與非連通圖 </p>
+
+我們還可以為邊新增“權重”變數，從而得到如圖 9-4 所示的<u>有權圖（weighted graph）</u>。例如在《王者榮耀》等手遊中，系統會根據共同遊戲時間來計算玩家之間的“親密度”，這種親密度網路就可以用有權圖來表示。
+
+![有權圖與無權圖](graph.assets/weighted_graph.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 9-4 &nbsp; 有權圖與無權圖 </p>
+
+圖資料結構包含以下常用術語。
+
+- <u>鄰接（adjacency）</u>：當兩頂點之間存在邊相連時，稱這兩頂點“鄰接”。在圖 9-4 中，頂點 1 的鄰接頂點為頂點 2、3、5。
+- <u>路徑（path）</u>：從頂點 A 到頂點 B 經過的邊構成的序列被稱為從 A 到 B 的“路徑”。在圖 9-4 中，邊序列 1-5-2-4 是頂點 1 到頂點 4 的一條路徑。
+- <u>度（degree）</u>：一個頂點擁有的邊數。對於有向圖，<u>入度（in-degree）</u>表示有多少條邊指向該頂點，<u>出度（out-degree）</u>表示有多少條邊從該頂點指出。
+
+## 9.1.2 &nbsp; 圖的表示
+
+圖的常用表示方式包括“鄰接矩陣”和“鄰接表”。以下使用無向圖進行舉例。
+
+### 1. &nbsp; 鄰接矩陣
+
+設圖的頂點數量為 $n$ ，<u>鄰接矩陣（adjacency matrix）</u>使用一個 $n \times n$ 大小的矩陣來表示圖，每一行（列）代表一個頂點，矩陣元素代表邊，用 $1$ 或 $0$ 表示兩個頂點之間是否存在邊。
+
+如圖 9-5 所示，設鄰接矩陣為 $M$、頂點串列為 $V$ ，那麼矩陣元素 $M[i, j] = 1$ 表示頂點 $V[i]$ 到頂點 $V[j]$ 之間存在邊，反之 $M[i, j] = 0$ 表示兩頂點之間無邊。
+
+![圖的鄰接矩陣表示](graph.assets/adjacency_matrix.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 9-5 &nbsp; 圖的鄰接矩陣表示 </p>
+
+鄰接矩陣具有以下特性。
+
+- 在簡單圖中，頂點不能與自身相連，此時鄰接矩陣主對角線元素沒有意義。
+- 對於無向圖，兩個方向的邊等價，此時鄰接矩陣關於主對角線對稱。
+- 將鄰接矩陣的元素從 $1$ 和 $0$ 替換為權重，則可表示有權圖。
+
+使用鄰接矩陣表示圖時，我們可以直接訪問矩陣元素以獲取邊，因此增刪查改操作的效率很高，時間複雜度均為 $O(1)$ 。然而，矩陣的空間複雜度為 $O(n^2)$ ，記憶體佔用較多。
+
+### 2. &nbsp; 鄰接表
+
+<u>鄰接表（adjacency list）</u>使用 $n$ 個鏈結串列來表示圖，鏈結串列節點表示頂點。第 $i$ 個鏈結串列對應頂點 $i$ ，其中儲存了該頂點的所有鄰接頂點（與該頂點相連的頂點）。圖 9-6 展示了一個使用鄰接表儲存的圖的示例。
+
+![圖的鄰接表表示](graph.assets/adjacency_list.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 9-6 &nbsp; 圖的鄰接表表示 </p>
+
+鄰接表僅儲存實際存在的邊，而邊的總數通常遠小於 $n^2$ ，因此它更加節省空間。然而，在鄰接表中需要透過走訪鏈結串列來查詢邊，因此其時間效率不如鄰接矩陣。
+
+觀察圖 9-6 ，**鄰接表結構與雜湊表中的“鏈式位址”非常相似，因此我們也可以採用類似的方法來最佳化效率**。比如當鏈結串列較長時，可以將鏈結串列轉化為 AVL 樹或紅黑樹，從而將時間效率從 $O(n)$ 最佳化至 $O(\log n)$ ；還可以把鏈結串列轉換為雜湊表，從而將時間複雜度降至 $O(1)$ 。
+
+## 9.1.3 &nbsp; 圖的常見應用
+
+如表 9-1 所示，許多現實系統可以用圖來建模，相應的問題也可以約化為圖計算問題。
+
+<p align="center"> 表 9-1 &nbsp; 現實生活中常見的圖 </p>
+
+<div class="center-table" markdown>
+
+|          | 頂點 | 邊                   | 圖計算問題   |
+| -------- | ---- | -------------------- | ------------ |
+| 社交網路 | 使用者 | 好友關係             | 潛在好友推薦 |
+| 地鐵線路 | 站點 | 站點間的連通性       | 最短路線推薦 |
+| 太陽系   | 星體 | 星體間的萬有引力作用 | 行星軌道計算 |
+
+</div>
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+comments: true
+icon: material/graphql
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+
+# 第 9 章 &nbsp; 圖
+
+![圖](../assets/covers/chapter_graph.jpg){ class="cover-image" }
+
+!!! abstract
+
+    在生命旅途中，我們就像是一個個節點，被無數看不見的邊相連。
+    
+    每一次的相識與相離，都在這張巨大的網路圖中留下獨特的印記。
+
+## 本章內容
+
+- [9.1 &nbsp; 圖](graph.md)
+- [9.2 &nbsp; 圖基礎操作](graph_operations.md)
+- [9.3 &nbsp; 圖的走訪](graph_traversal.md)
+- [9.4 &nbsp; 小結](summary.md)
+- [9.5 &nbsp; 練習](exercises.md)
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+comments: true
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+
+# 9.4 &nbsp; 小結
+
+### 1. &nbsp; 重點回顧
+
+- 圖由頂點和邊組成，可以表示為一組頂點和一組邊構成的集合。
+- 相較於線性關係（鏈結串列）和分治關係（樹），網路關係（圖）具有更高的自由度，因而更為複雜。
+- 有向圖的邊具有方向性，連通圖中的任意頂點均可達，有權圖的每條邊都包含權重變數。
+- 鄰接矩陣利用矩陣來表示圖，每一行（列）代表一個頂點，矩陣元素代表邊，用 $1$ 或 $0$ 表示兩個頂點之間有邊或無邊。鄰接矩陣在增刪查改操作上效率很高，但空間佔用較多。
+- 鄰接表使用多個鏈結串列來表示圖，第 $i$ 個鏈結串列對應頂點 $i$ ，其中儲存了該頂點的所有鄰接頂點。鄰接表相對於鄰接矩陣更加節省空間，但由於需要走訪鏈結串列來查詢邊，因此時間效率較低。
+- 當鄰接表中的鏈結串列過長時，可以將其轉換為紅黑樹或雜湊表，從而提升查詢效率。
+- 從演算法思想的角度分析，鄰接矩陣體現了“以空間換時間”，鄰接表體現了“以時間換空間”。
+- 圖可用於建模各類現實系統，如社交網路、地鐵線路等。
+- 樹是圖的一種特例，樹的走訪也是圖的走訪的一種特例。
+- 圖的廣度優先走訪是一種由近及遠、層層擴張的搜尋方式，通常藉助佇列實現。
+- 圖的深度優先走訪是一種優先走到底、無路可走時再回溯的搜尋方式，常基於遞迴來實現。
+
+### 2. &nbsp; Q & A
+
+**Q**：路徑的定義是頂點序列還是邊序列？
+
+維基百科上不同語言版本的定義不一致：英文版是“路徑是一個邊序列”，而中文版是“路徑是一個頂點序列”。以下是英文版原文：In graph theory, a path in a graph is a finite or infinite sequence of edges which joins a sequence of vertices.
+
+在本文中，路徑被視為一個邊序列，而不是一個頂點序列。這是因為兩個頂點之間可能存在多條邊連線，此時每條邊都對應一條路徑。
+
+**Q**：非連通圖中是否會有無法走訪到的點？
+
+在非連通圖中，從某個頂點出發，至少有一個頂點無法到達。走訪非連通圖需要設定多個起點，以走訪到圖的所有連通分量。
+
+**Q**：在鄰接表中，“與該頂點相連的所有頂點”的頂點順序是否有要求？
+
+可以是任意順序。但在實際應用中，可能需要按照指定規則來排序，比如按照頂點新增的次序，或者按照頂點值大小的順序等，這樣有助於快速查詢“帶有某種極值”的頂點。