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zh-hant/docs/chapter_hashing/exercises.md

@@ -0,0 +1,108 @@
+---
+comments: true
+hide: [edit]
+---
+
+<!-- 此檔案由 utils/exercises/publish_exercises.py 根據 exercises.yaml 自動生成，請勿直接修改。 -->
+
+# 6.5 &nbsp; 練習
+
+## 6.5.1 &nbsp; 知識鞏固
+
+### 1. &nbsp; 發生雜湊衝突後怎樣查詢
+
+一個雜湊表有 5 個桶，雜湊函式為 $h(x)=x \bmod 5$，衝突時把元素依次放進該桶的串列中。
+依次插入 `[1, 6, 11, 7]`：
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. 寫出 0～4 號桶中的內容；
+2. 查詢 6 時會先進入哪個桶，並依次檢查哪些元素？
+3. 根據第 1 問寫出的桶內容，後插入的元素是否覆蓋了先插入的元素？結合這種衝突處理方式說明理由。
+
+??? success "參考答案"
+
+    1. 因為 $1\bmod5=6\bmod5=11\bmod5=1$，而 $7\bmod5=2$，各桶為：
+
+        ```text
+        0: []
+        1: [1, 6, 11]
+        2: [7]
+        3: []
+        4: []
+        ```
+
+    2. 查詢 6 時先進入 1 號桶，再依次比較 1、6，第二次比較時找到目標。
+
+    3. 雜湊值相同只表示它們落入同一個桶，並不表示這些元素相等。鏈式位址把衝突元素都儲存在桶內，
+        查詢時再逐個比較，因此 1、6、11 不會互相覆蓋。
+
+### 2. &nbsp; 雜湊表擴容後元素去哪兒
+
+一個使用鏈式位址的雜湊表原有 5 個桶，雜湊函式為 $h(x)=x\bmod5$。
+鍵 `[1, 6, 11]` 都在 1 號桶中。
+
+現在把雜湊表擴容為 7 個桶，雜湊函式相應變為 $h(x)=x\bmod7$：
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. 分別計算 1、6、11 的新桶號。
+2. 擴容後哪些桶中有元素？
+3. 擴容時能否把原來 1 號桶中的串列原樣複製到新的 1 號桶？結合第 1、2 問的結果說明理由。
+
+??? success "參考答案"
+
+    1. 新桶號分別為：
+
+        - $1\bmod7=1$；
+        - $6\bmod7=6$；
+        - $11\bmod7=4$。
+
+    2. 1 號桶儲存 1，4 號桶儲存 11，6 號桶儲存 6。三個鍵不再擠在同一個桶中。
+
+    3. 不能原樣複製。桶號由“鍵對桶數取餘”得到。桶數從 5 變成 7 後，同一個鍵的新桶號可能改變，
+        因此必須重新計算每個鍵的位置。若把舊的 1 號桶原樣複製過去，之後按新公式查詢 6 和 11 時，
+        會分別前往 6 號桶和 4 號桶，從而找不到它們。
+
+### 3. &nbsp; 刪除 6 後還能找到 11 嗎
+
+一個雜湊表有 5 個位置，索引為 `0～4`，雜湊函式為 $h(x)=x\bmod5$。
+發生衝突時，從雜湊函式算出的索引開始，向右尋找第一個空位。
+
+依次插入 `[1, 6, 11]`：
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. 三個數最終分別放在哪個索引？
+2. 查詢 11 時，會依次檢查哪些索引？
+3. 如果刪除 6 時直接把它的位置改成“從未使用的空位”，而查詢遇到空位就停止，
+    再查詢 11 時會發生什麼？這個查詢結果是否正確？如果有問題，應怎樣避免？
+
+??? success "參考答案"
+
+    1. 1 放在索引 1。6 也對映到索引 1，發生衝突後放在索引 2。
+        11 同樣從索引 1 開始，依次跳過已佔用的索引 1、2，最終放在索引 3。
+
+    2. 查詢 11 時依次檢查索引 `1、2、3`，在索引 3 找到它。
+
+    3. 如果把索引 2 改成表示“從未使用”的空位，查詢 11 時檢查索引 1 後就會在索引 2 停止，
+        從而錯誤地認為 11 不存在。刪除時應留下“已刪除”標記：
+        查詢遇到該標記時繼續檢查下一個索引（越過索引 4 後回到索引 0），而以後的插入仍可重新使用這個位置。
+
+## 6.5.2 &nbsp; 程式設計練習
+
+### 1. &nbsp; 比較兩個字串的字元組成
+
+給定兩個只含小寫英文字母的字串 `s` 和 `t`。
+可以任意調整 `s` 中字元的位置，但不能新增、刪除或替換字元。
+
+請判斷調整後能否得到 `t`；可以則返回 `true`，否則返回 `false`。
+請使用雜湊表記錄各字母的出現次數，不對字串中的字元排序。
+
+??? tip "解題提示"
+
+    1. 兩個字串長度不同，它們的字元組成一定不同
+    2. 用雜湊表記錄每種字母的數量；掃描 s 時把對應計數加 1
+    3. 掃描 t 時把對應計數減 1；所有計數最終都為 0，字元組成才相同
+
+[LeetCode](https://leetcode.cn/problems/valid-anagram/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" } [題目解析](https://leetcode.cn/problems/valid-anagram/solutions/2362065/242-you-xiao-de-zi-mu-yi-wei-ci-ha-xi-bi-cch7/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }

zh-hant/docs/chapter_hashing/index.md

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+comments: true
+icon: material/table-search
+---
+
+# 第 6 章   雜湊表
+
+![雜湊表](../assets/covers/chapter_hashing.jpg){ class="cover-image" }
+
+!!! abstract
+
+    在計算機世界中，雜湊表如同一位聰慧的圖書管理員。
+    
+    他知道如何計算索書號，從而可以快速找到目標圖書。
+
+## 本章內容
+
+- [6.1   雜湊表](hash_map.md)
+- [6.2   雜湊衝突](hash_collision.md)
+- [6.3   雜湊演算法](hash_algorithm.md)
+- [6.4   小結](summary.md)
+- [6.5   練習](exercises.md)

zh-hant/docs/chapter_hashing/summary.md

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+comments: true
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+
+# 6.4   小結
+
+### 1.   重點回顧
+
+- 輸入 `key` ，雜湊表能夠在 $O(1)$ 時間內查詢到 `value` ，效率非常高。
+- 常見的雜湊表操作包括查詢、新增鍵值對、刪除鍵值對和走訪雜湊表等。
+- 雜湊函式將 `key` 對映為陣列索引，從而訪問對應桶並獲取 `value` 。
+- 兩個不同的 `key` 可能在經過雜湊函式後得到相同的陣列索引，導致查詢結果出錯，這種現象被稱為雜湊衝突。
+- 雜湊表容量越大，雜湊衝突的機率就越低。因此可以透過擴容雜湊表來緩解雜湊衝突。與陣列擴容類似，雜湊表擴容操作的開銷很大。
+- 負載因子定義為雜湊表中元素數量除以桶數量，反映了雜湊衝突的嚴重程度，常用作觸發雜湊表擴容的條件。
+- 鏈式位址透過將單個元素轉化為鏈結串列，將所有衝突元素儲存在同一個鏈結串列中。然而，鏈結串列過長會降低查詢效率，可以透過進一步將鏈結串列轉換為紅黑樹來提高效率。
+- 開放定址透過多次探測來處理雜湊衝突。線性探查使用固定步長，缺點是不能刪除元素，且容易產生聚集。多次雜湊使用多個雜湊函式進行探測，相較線性探查更不易產生聚集，但多個雜湊函式增加了計算量。
+- 不同程式語言採取了不同的雜湊表實現。例如，Java 的 `HashMap` 使用鏈式位址，而 Python 的 `Dict` 採用開放定址。
+- 在雜湊表中，我們希望雜湊演算法具有確定性、高效率和均勻分佈的特點。在密碼學中，雜湊演算法還應該具備抗碰撞性和雪崩效應。
+- 雜湊演算法通常採用大質數作為模數，以最大化地保證雜湊值均勻分佈，減少雜湊衝突。
+- 常見的雜湊演算法包括 MD5、SHA-1、SHA-2 和 SHA-3 等。MD5 常用於校驗檔案完整性，SHA-2 常用於安全應用與協議。
+- 程式語言通常會為資料型別提供內建雜湊演算法，用於計算雜湊表中的桶索引。通常情況下，只有不可變物件是可雜湊的。
+
+### 2.   Q & A
+
+**Q**：雜湊表的時間複雜度在什麼情況下是 $O(n)$ ？
+
+當雜湊衝突比較嚴重時，雜湊表的時間複雜度會退化至 $O(n)$ 。當雜湊函式設計得比較好、容量設定比較合理、衝突比較平均時，時間複雜度是 $O(1)$ 。我們使用程式語言內建的雜湊表時，通常認為時間複雜度是 $O(1)$ 。
+
+**Q**：為什麼不使用雜湊函式 $f(x) = x$ 呢？這樣就不會有衝突了。
+
+在 $f(x) = x$ 雜湊函式下，每個元素對應唯一的桶索引，這與陣列等價。然而，輸入空間通常遠大於輸出空間（陣列長度），因此雜湊函式的最後一步往往是對陣列長度取模。換句話說，雜湊表的目標是將一個較大的狀態空間對映到一個較小的空間，並提供 $O(1)$ 的查詢效率。
+
+**Q**：雜湊表底層實現是陣列、鏈結串列、二元樹，但為什麼效率可以比它們更高呢？
+
+首先，雜湊表的時間效率變高，但空間效率變低了。雜湊表有相當一部分記憶體未使用。
+
+其次，只是在特定使用場景下時間效率變高了。如果一個功能能夠在相同的時間複雜度下使用陣列或鏈結串列實現，那麼通常比雜湊表更快。這是因為雜湊函式計算需要開銷，時間複雜度的常數項更大。
+
+最後，雜湊表的時間複雜度可能發生劣化。例如在鏈式位址中，我們採取在鏈結串列或紅黑樹中執行查詢操作，仍然有退化至 $O(n)$ 時間的風險。
+
+**Q**：多次雜湊有不能直接刪除元素的缺陷嗎？標記為已刪除的空間還能再次使用嗎？
+
+多次雜湊是開放定址的一種，開放定址法都有不能直接刪除元素的缺陷，需要透過標記刪除。標記為已刪除的空間可以再次使用。當將新元素插入雜湊表，並且透過雜湊函式找到標記為已刪除的位置時，該位置可以被新元素使用。這樣做既能保持雜湊表的探測序列不變，又能保證雜湊表的空間使用率。
+
+**Q**：為什麼在線性探查中，查詢元素的時候會出現雜湊衝突呢？
+
+查詢的時候透過雜湊函式找到對應的桶和鍵值對，發現 `key` 不匹配，這就代表有雜湊衝突。因此，線性探查法會根據預先設定的步長依次向下查詢，直至找到正確的鍵值對或無法找到跳出為止。
+
+**Q**：為什麼雜湊表擴容能夠緩解雜湊衝突？
+
+雜湊函式的最後一步往往是對陣列長度 $n$ 取模（取餘），讓輸出值落在陣列索引範圍內；在擴容後，陣列長度 $n$ 發生變化，而 `key` 對應的索引也可能發生變化。原先落在同一個桶的多個 `key` ，在擴容後可能會被分配到多個桶中，從而實現雜湊衝突的緩解。
+
+**Q**：如果為了高效的存取，那麼直接使用陣列不就好了嗎？
+
+當資料的 `key` 是連續的小範圍整數時，直接用陣列即可，簡單高效。但當 `key` 是其他型別（例如字串）時，就需要藉助雜湊函式將 `key` 對映為陣列索引，再透過桶陣列儲存元素，這樣的結構就是雜湊表。