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+1636
File diff suppressed because one or more lines are too long
@@ -0,0 +1,700 @@
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comments: true
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# 7.1 二元樹
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<u>二元樹（binary tree）</u>是一種非線性資料結構，代表“祖先”與“後代”之間的派生關係，體現了“一分為二”的分治邏輯。與鏈結串列類似，二元樹的基本單元是節點，每個節點包含值、左子節點引用和右子節點引用。
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=== "Python"
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```python title=""
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class TreeNode:
|
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"""二元樹節點類別"""
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def __init__(self, val: int):
|
||||
self.val: int = val # 節點值
|
||||
self.left: TreeNode | None = None # 左子節點引用
|
||||
self.right: TreeNode | None = None # 右子節點引用
|
||||
```
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=== "C++"
|
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||||
```cpp title=""
|
||||
/* 二元樹節點結構體 */
|
||||
struct TreeNode {
|
||||
int val; // 節點值
|
||||
TreeNode *left; // 左子節點指標
|
||||
TreeNode *right; // 右子節點指標
|
||||
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
|
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};
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```
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||||
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||||
=== "Java"
|
||||
|
||||
```java title=""
|
||||
/* 二元樹節點類別 */
|
||||
class TreeNode {
|
||||
int val; // 節點值
|
||||
TreeNode left; // 左子節點引用
|
||||
TreeNode right; // 右子節點引用
|
||||
TreeNode(int x) { val = x; }
|
||||
}
|
||||
```
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||||
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||||
=== "C#"
|
||||
|
||||
```csharp title=""
|
||||
/* 二元樹節點類別 */
|
||||
class TreeNode(int? x) {
|
||||
public int? val = x; // 節點值
|
||||
public TreeNode? left; // 左子節點引用
|
||||
public TreeNode? right; // 右子節點引用
|
||||
}
|
||||
```
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||||
|
||||
=== "Go"
|
||||
|
||||
```go title=""
|
||||
/* 二元樹節點結構體 */
|
||||
type TreeNode struct {
|
||||
Val int
|
||||
Left *TreeNode
|
||||
Right *TreeNode
|
||||
}
|
||||
/* 建構子 */
|
||||
func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
|
||||
return &TreeNode{
|
||||
Left: nil, // 左子節點指標
|
||||
Right: nil, // 右子節點指標
|
||||
Val: v, // 節點值
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
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||||
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||||
=== "Swift"
|
||||
|
||||
```swift title=""
|
||||
/* 二元樹節點類別 */
|
||||
class TreeNode {
|
||||
var val: Int // 節點值
|
||||
var left: TreeNode? // 左子節點引用
|
||||
var right: TreeNode? // 右子節點引用
|
||||
|
||||
init(x: Int) {
|
||||
val = x
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
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||||
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||||
=== "JS"
|
||||
|
||||
```javascript title=""
|
||||
/* 二元樹節點類別 */
|
||||
class TreeNode {
|
||||
val; // 節點值
|
||||
left; // 左子節點指標
|
||||
right; // 右子節點指標
|
||||
constructor(val, left, right) {
|
||||
this.val = val === undefined ? 0 : val;
|
||||
this.left = left === undefined ? null : left;
|
||||
this.right = right === undefined ? null : right;
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
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||||
=== "TS"
|
||||
|
||||
```typescript title=""
|
||||
/* 二元樹節點類別 */
|
||||
class TreeNode {
|
||||
val: number;
|
||||
left: TreeNode | null;
|
||||
right: TreeNode | null;
|
||||
|
||||
constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
|
||||
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 節點值
|
||||
this.left = left === undefined ? null : left; // 左子節點引用
|
||||
this.right = right === undefined ? null : right; // 右子節點引用
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
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||||
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||||
=== "Dart"
|
||||
|
||||
```dart title=""
|
||||
/* 二元樹節點類別 */
|
||||
class TreeNode {
|
||||
int val; // 節點值
|
||||
TreeNode? left; // 左子節點引用
|
||||
TreeNode? right; // 右子節點引用
|
||||
TreeNode(this.val, [this.left, this.right]);
|
||||
}
|
||||
```
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||||
=== "Rust"
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||||
```rust title=""
|
||||
use std::rc::Rc;
|
||||
use std::cell::RefCell;
|
||||
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||||
/* 二元樹節點結構體 */
|
||||
struct TreeNode {
|
||||
val: i32, // 節點值
|
||||
left: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>, // 左子節點引用
|
||||
right: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>, // 右子節點引用
|
||||
}
|
||||
|
||||
impl TreeNode {
|
||||
/* 建構子 */
|
||||
fn new(val: i32) -> Rc<RefCell<Self>> {
|
||||
Rc::new(RefCell::new(Self {
|
||||
val,
|
||||
left: None,
|
||||
right: None
|
||||
}))
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "C"
|
||||
|
||||
```c title=""
|
||||
/* 二元樹節點結構體 */
|
||||
typedef struct TreeNode {
|
||||
int val; // 節點值
|
||||
int height; // 節點高度
|
||||
struct TreeNode *left; // 左子節點指標
|
||||
struct TreeNode *right; // 右子節點指標
|
||||
} TreeNode;
|
||||
|
||||
/* 建構子 */
|
||||
TreeNode *newTreeNode(int val) {
|
||||
TreeNode *node;
|
||||
|
||||
node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
|
||||
node->val = val;
|
||||
node->height = 0;
|
||||
node->left = NULL;
|
||||
node->right = NULL;
|
||||
return node;
|
||||
}
|
||||
```
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||||
|
||||
=== "Kotlin"
|
||||
|
||||
```kotlin title=""
|
||||
/* 二元樹節點類別 */
|
||||
class TreeNode(val _val: Int) { // 節點值
|
||||
val left: TreeNode? = null // 左子節點引用
|
||||
val right: TreeNode? = null // 右子節點引用
|
||||
}
|
||||
```
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||||
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||||
=== "Ruby"
|
||||
|
||||
```ruby title=""
|
||||
### 二元樹節點類別 ###
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||||
class TreeNode
|
||||
attr_accessor :val # 節點值
|
||||
attr_accessor :left # 左子節點引用
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||||
attr_accessor :right # 右子節點引用
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||||
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||||
def initialize(val)
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||||
@val = val
|
||||
end
|
||||
end
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||||
```
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||||
每個節點都有兩個引用（指標），分別指向<u>左子節點（left-child node）</u>和<u>右子節點（right-child node）</u>，該節點被稱為這兩個子節點的<u>父節點（parent node）</u>。當給定一個二元樹的節點時，我們將該節點的左子節點及其以下節點形成的樹稱為該節點的<u>左子樹（left subtree）</u>，同理可得<u>右子樹（right subtree）</u>。
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||||
**在二元樹中，除葉節點外，其他所有節點都包含子節點和非空子樹**。如圖 7-1 所示，如果將“節點 2”視為父節點，則其左子節點和右子節點分別是“節點 4”和“節點 5”，左子樹是“節點 4 及其以下節點形成的樹”，右子樹是“節點 5 及其以下節點形成的樹”。
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 圖 7-1 父節點、子節點、子樹 </p>
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## 7.1.1 二元樹常見術語
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||||
二元樹的常用術語如圖 7-2 所示。
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- <u>根節點（root node）</u>：位於二元樹頂層的節點，沒有父節點。
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||||
- <u>葉節點（leaf node）</u>：沒有子節點的節點，其兩個指標均指向 `None` 。
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||||
- <u>邊（edge）</u>：連線兩個節點的線段，即節點引用（指標）。
|
||||
- 節點所在的<u>層（level）</u>：從頂至底遞增，根節點所在層為 1 。
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||||
- 節點的<u>度（degree）</u>：節點的子節點的數量。在二元樹中，度的取值範圍是 0、1、2 。
|
||||
- 二元樹的<u>高度（height）</u>：從根節點到最遠葉節點所經過的邊的數量。
|
||||
- 節點的<u>深度（depth）</u>：從根節點到該節點所經過的邊的數量。
|
||||
- 節點的<u>高度（height）</u>：從距離該節點最遠的葉節點到該節點所經過的邊的數量。
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 圖 7-2 二元樹的常用術語 </p>
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||||
!!! tip
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||||
請注意，我們通常將“高度”和“深度”定義為“經過的邊的數量”，但有些題目或教材可能會將其定義為“經過的節點的數量”。在這種情況下，高度和深度都需要加 1 。
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## 7.1.2 二元樹基本操作
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### 1. 初始化二元樹
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||||
與鏈結串列類似，首先初始化節點，然後構建引用（指標）。
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||||
=== "Python"
|
||||
|
||||
```python title="binary_tree.py"
|
||||
# 初始化二元樹
|
||||
# 初始化節點
|
||||
n1 = TreeNode(val=1)
|
||||
n2 = TreeNode(val=2)
|
||||
n3 = TreeNode(val=3)
|
||||
n4 = TreeNode(val=4)
|
||||
n5 = TreeNode(val=5)
|
||||
# 構建節點之間的引用（指標）
|
||||
n1.left = n2
|
||||
n1.right = n3
|
||||
n2.left = n4
|
||||
n2.right = n5
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "C++"
|
||||
|
||||
```cpp title="binary_tree.cpp"
|
||||
/* 初始化二元樹 */
|
||||
// 初始化節點
|
||||
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
|
||||
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
|
||||
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
|
||||
TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
|
||||
TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
|
||||
// 構建節點之間的引用（指標）
|
||||
n1->left = n2;
|
||||
n1->right = n3;
|
||||
n2->left = n4;
|
||||
n2->right = n5;
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Java"
|
||||
|
||||
```java title="binary_tree.java"
|
||||
// 初始化節點
|
||||
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
|
||||
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
|
||||
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
|
||||
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
|
||||
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
|
||||
// 構建節點之間的引用（指標）
|
||||
n1.left = n2;
|
||||
n1.right = n3;
|
||||
n2.left = n4;
|
||||
n2.right = n5;
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "C#"
|
||||
|
||||
```csharp title="binary_tree.cs"
|
||||
/* 初始化二元樹 */
|
||||
// 初始化節點
|
||||
TreeNode n1 = new(1);
|
||||
TreeNode n2 = new(2);
|
||||
TreeNode n3 = new(3);
|
||||
TreeNode n4 = new(4);
|
||||
TreeNode n5 = new(5);
|
||||
// 構建節點之間的引用（指標）
|
||||
n1.left = n2;
|
||||
n1.right = n3;
|
||||
n2.left = n4;
|
||||
n2.right = n5;
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Go"
|
||||
|
||||
```go title="binary_tree.go"
|
||||
/* 初始化二元樹 */
|
||||
// 初始化節點
|
||||
n1 := NewTreeNode(1)
|
||||
n2 := NewTreeNode(2)
|
||||
n3 := NewTreeNode(3)
|
||||
n4 := NewTreeNode(4)
|
||||
n5 := NewTreeNode(5)
|
||||
// 構建節點之間的引用（指標）
|
||||
n1.Left = n2
|
||||
n1.Right = n3
|
||||
n2.Left = n4
|
||||
n2.Right = n5
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Swift"
|
||||
|
||||
```swift title="binary_tree.swift"
|
||||
// 初始化節點
|
||||
let n1 = TreeNode(x: 1)
|
||||
let n2 = TreeNode(x: 2)
|
||||
let n3 = TreeNode(x: 3)
|
||||
let n4 = TreeNode(x: 4)
|
||||
let n5 = TreeNode(x: 5)
|
||||
// 構建節點之間的引用（指標）
|
||||
n1.left = n2
|
||||
n1.right = n3
|
||||
n2.left = n4
|
||||
n2.right = n5
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "JS"
|
||||
|
||||
```javascript title="binary_tree.js"
|
||||
/* 初始化二元樹 */
|
||||
// 初始化節點
|
||||
let n1 = new TreeNode(1),
|
||||
n2 = new TreeNode(2),
|
||||
n3 = new TreeNode(3),
|
||||
n4 = new TreeNode(4),
|
||||
n5 = new TreeNode(5);
|
||||
// 構建節點之間的引用（指標）
|
||||
n1.left = n2;
|
||||
n1.right = n3;
|
||||
n2.left = n4;
|
||||
n2.right = n5;
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "TS"
|
||||
|
||||
```typescript title="binary_tree.ts"
|
||||
/* 初始化二元樹 */
|
||||
// 初始化節點
|
||||
let n1 = new TreeNode(1),
|
||||
n2 = new TreeNode(2),
|
||||
n3 = new TreeNode(3),
|
||||
n4 = new TreeNode(4),
|
||||
n5 = new TreeNode(5);
|
||||
// 構建節點之間的引用（指標）
|
||||
n1.left = n2;
|
||||
n1.right = n3;
|
||||
n2.left = n4;
|
||||
n2.right = n5;
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Dart"
|
||||
|
||||
```dart title="binary_tree.dart"
|
||||
/* 初始化二元樹 */
|
||||
// 初始化節點
|
||||
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
|
||||
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
|
||||
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
|
||||
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
|
||||
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
|
||||
// 構建節點之間的引用（指標）
|
||||
n1.left = n2;
|
||||
n1.right = n3;
|
||||
n2.left = n4;
|
||||
n2.right = n5;
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Rust"
|
||||
|
||||
```rust title="binary_tree.rs"
|
||||
// 初始化節點
|
||||
let n1 = TreeNode::new(1);
|
||||
let n2 = TreeNode::new(2);
|
||||
let n3 = TreeNode::new(3);
|
||||
let n4 = TreeNode::new(4);
|
||||
let n5 = TreeNode::new(5);
|
||||
// 構建節點之間的引用（指標）
|
||||
n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
|
||||
n1.borrow_mut().right = Some(n3);
|
||||
n2.borrow_mut().left = Some(n4);
|
||||
n2.borrow_mut().right = Some(n5);
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "C"
|
||||
|
||||
```c title="binary_tree.c"
|
||||
/* 初始化二元樹 */
|
||||
// 初始化節點
|
||||
TreeNode *n1 = newTreeNode(1);
|
||||
TreeNode *n2 = newTreeNode(2);
|
||||
TreeNode *n3 = newTreeNode(3);
|
||||
TreeNode *n4 = newTreeNode(4);
|
||||
TreeNode *n5 = newTreeNode(5);
|
||||
// 構建節點之間的引用（指標）
|
||||
n1->left = n2;
|
||||
n1->right = n3;
|
||||
n2->left = n4;
|
||||
n2->right = n5;
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Kotlin"
|
||||
|
||||
```kotlin title="binary_tree.kt"
|
||||
// 初始化節點
|
||||
val n1 = TreeNode(1)
|
||||
val n2 = TreeNode(2)
|
||||
val n3 = TreeNode(3)
|
||||
val n4 = TreeNode(4)
|
||||
val n5 = TreeNode(5)
|
||||
// 構建節點之間的引用（指標）
|
||||
n1.left = n2
|
||||
n1.right = n3
|
||||
n2.left = n4
|
||||
n2.right = n5
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Ruby"
|
||||
|
||||
```ruby title="binary_tree.rb"
|
||||
# 初始化二元樹
|
||||
# 初始化節點
|
||||
n1 = TreeNode.new(1)
|
||||
n2 = TreeNode.new(2)
|
||||
n3 = TreeNode.new(3)
|
||||
n4 = TreeNode.new(4)
|
||||
n5 = TreeNode.new(5)
|
||||
# 構建節點之間的引用（指標）
|
||||
n1.left = n2
|
||||
n1.right = n3
|
||||
n2.left = n4
|
||||
n2.right = n5
|
||||
```
|
||||
|
||||
??? pythontutor "視覺化執行"
|
||||
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<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%85%83%E6%A8%B9%E7%AF%80%E9%BB%9E%E9%A1%9E%E5%88%A5%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%AF%80%E9%BB%9E%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%85%83%E6%A8%B9%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%A7%8B%E5%BB%BA%E7%AF%80%E9%BB%9E%E4%B9%8B%E9%96%93%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%EF%BC%88%E6%8C%87%E6%A8%99%EF%BC%89%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
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### 2. 插入與刪除節點
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與鏈結串列類似，在二元樹中插入與刪除節點可以透過修改指標來實現。圖 7-3 給出了一個示例。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 圖 7-3 在二元樹中插入與刪除節點 </p>
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=== "Python"
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```python title="binary_tree.py"
|
||||
# 插入與刪除節點
|
||||
p = TreeNode(0)
|
||||
# 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
|
||||
n1.left = p
|
||||
p.left = n2
|
||||
# 刪除節點 P
|
||||
n1.left = n2
|
||||
```
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||||
=== "C++"
|
||||
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||||
```cpp title="binary_tree.cpp"
|
||||
/* 插入與刪除節點 */
|
||||
TreeNode* P = new TreeNode(0);
|
||||
// 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
|
||||
n1->left = P;
|
||||
P->left = n2;
|
||||
// 刪除節點 P
|
||||
n1->left = n2;
|
||||
// 釋放記憶體
|
||||
delete P;
|
||||
```
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||||
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||||
=== "Java"
|
||||
|
||||
```java title="binary_tree.java"
|
||||
TreeNode P = new TreeNode(0);
|
||||
// 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
|
||||
n1.left = P;
|
||||
P.left = n2;
|
||||
// 刪除節點 P
|
||||
n1.left = n2;
|
||||
```
|
||||
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||||
=== "C#"
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||||
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||||
```csharp title="binary_tree.cs"
|
||||
/* 插入與刪除節點 */
|
||||
TreeNode P = new(0);
|
||||
// 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
|
||||
n1.left = P;
|
||||
P.left = n2;
|
||||
// 刪除節點 P
|
||||
n1.left = n2;
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Go"
|
||||
|
||||
```go title="binary_tree.go"
|
||||
/* 插入與刪除節點 */
|
||||
// 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
|
||||
p := NewTreeNode(0)
|
||||
n1.Left = p
|
||||
p.Left = n2
|
||||
// 刪除節點 P
|
||||
n1.Left = n2
|
||||
```
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||||
|
||||
=== "Swift"
|
||||
|
||||
```swift title="binary_tree.swift"
|
||||
let P = TreeNode(x: 0)
|
||||
// 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
|
||||
n1.left = P
|
||||
P.left = n2
|
||||
// 刪除節點 P
|
||||
n1.left = n2
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "JS"
|
||||
|
||||
```javascript title="binary_tree.js"
|
||||
/* 插入與刪除節點 */
|
||||
let P = new TreeNode(0);
|
||||
// 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
|
||||
n1.left = P;
|
||||
P.left = n2;
|
||||
// 刪除節點 P
|
||||
n1.left = n2;
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "TS"
|
||||
|
||||
```typescript title="binary_tree.ts"
|
||||
/* 插入與刪除節點 */
|
||||
const P = new TreeNode(0);
|
||||
// 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
|
||||
n1.left = P;
|
||||
P.left = n2;
|
||||
// 刪除節點 P
|
||||
n1.left = n2;
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Dart"
|
||||
|
||||
```dart title="binary_tree.dart"
|
||||
/* 插入與刪除節點 */
|
||||
TreeNode P = new TreeNode(0);
|
||||
// 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
|
||||
n1.left = P;
|
||||
P.left = n2;
|
||||
// 刪除節點 P
|
||||
n1.left = n2;
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Rust"
|
||||
|
||||
```rust title="binary_tree.rs"
|
||||
let p = TreeNode::new(0);
|
||||
// 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
|
||||
n1.borrow_mut().left = Some(p.clone());
|
||||
p.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
|
||||
// 刪除節點 p
|
||||
n1.borrow_mut().left = Some(n2);
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "C"
|
||||
|
||||
```c title="binary_tree.c"
|
||||
/* 插入與刪除節點 */
|
||||
TreeNode *P = newTreeNode(0);
|
||||
// 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
|
||||
n1->left = P;
|
||||
P->left = n2;
|
||||
// 刪除節點 P
|
||||
n1->left = n2;
|
||||
// 釋放記憶體
|
||||
free(P);
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Kotlin"
|
||||
|
||||
```kotlin title="binary_tree.kt"
|
||||
val P = TreeNode(0)
|
||||
// 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
|
||||
n1.left = P
|
||||
P.left = n2
|
||||
// 刪除節點 P
|
||||
n1.left = n2
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Ruby"
|
||||
|
||||
```ruby title="binary_tree.rb"
|
||||
# 插入與刪除節點
|
||||
_p = TreeNode.new(0)
|
||||
# 在 n1 -> n2 中間插入節點 _p
|
||||
n1.left = _p
|
||||
_p.left = n2
|
||||
# 刪除節點
|
||||
n1.left = n2
|
||||
```
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??? pythontutor "視覺化執行"
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<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%85%83%E6%A8%B9%E7%AF%80%E9%BB%9E%E9%A1%9E%E5%88%A5%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%AF%80%E9%BB%9E%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%85%83%E6%A8%B9%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%A7%8B%E5%BB%BA%E7%AF%80%E9%BB%9E%E4%B9%8B%E9%96%93%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%EF%BC%88%E6%8C%87%E6%A8%99%EF%BC%89%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%88%87%E5%88%AA%E9%99%A4%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20p%20%3D%20TreeNode%280%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%20n1%20-%3E%20n2%20%E4%B8%AD%E9%96%93%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%AF%80%E9%BB%9E%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20p%0A%20%20%20%20p.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%AA%E9%99%A4%E7%AF%80%E9%BB%9E%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=37&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
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<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%85%83%E6%A8%B9%E7%AF%80%E9%BB%9E%E9%A1%9E%E5%88%A5%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%AF%80%E9%BB%9E%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%85%83%E6%A8%B9%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%A7%8B%E5%BB%BA%E7%AF%80%E9%BB%9E%E4%B9%8B%E9%96%93%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%EF%BC%88%E6%8C%87%E6%A8%99%EF%BC%89%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%88%87%E5%88%AA%E9%99%A4%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20p%20%3D%20TreeNode%280%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%20n1%20-%3E%20n2%20%E4%B8%AD%E9%96%93%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%AF%80%E9%BB%9E%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20p%0A%20%20%20%20p.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%AA%E9%99%A4%E7%AF%80%E9%BB%9E%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=37&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
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!!! tip
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需要注意的是，插入節點可能會改變二元樹的原有邏輯結構，而刪除節點通常意味著刪除該節點及其所有子樹。因此，在二元樹中，插入與刪除通常是由一套操作配合完成的，以實現有實際意義的操作。
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## 7.1.3 常見二元樹型別
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### 1. 完美二元樹
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如圖 7-4 所示，<u>完美二元樹（perfect binary tree）</u>所有層的節點都被完全填滿。在完美二元樹中，葉節點的度為 $0$ ，其餘所有節點的度都為 $2$ ；若樹的高度為 $h$ ，則節點總數為 $2^{h+1} - 1$ ，呈現標準的指數級關係，反映了自然界中常見的細胞分裂現象。
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!!! tip
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請注意，在中文社群中，完美二元樹常被稱為<u>滿二元樹</u>。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 圖 7-4 完美二元樹 </p>
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### 2. 完全二元樹
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如圖 7-5 所示，<u>完全二元樹（complete binary tree）</u>僅允許最底層的節點不完全填滿，且最底層的節點必須從左至右依次連續填充。請注意，完美二元樹也是一棵完全二元樹。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 圖 7-5 完全二元樹 </p>
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### 3. 完滿二元樹
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如圖 7-6 所示，<u>完滿二元樹（full binary tree）</u>除了葉節點之外，其餘所有節點都有兩個子節點。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 圖 7-6 完滿二元樹 </p>
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### 4. 平衡二元樹
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如圖 7-7 所示，<u>平衡二元樹（balanced binary tree）</u>中任意節點的左子樹和右子樹的高度之差的絕對值不超過 1 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 圖 7-7 平衡二元樹 </p>
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## 7.1.4 二元樹的退化
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圖 7-8 展示了二元樹的理想結構與退化結構。當二元樹的每層節點都被填滿時，達到“完美二元樹”；而當所有節點都偏向一側時，二元樹退化為“鏈結串列”。
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- 完美二元樹是理想情況，可以充分發揮二元樹“分治”的優勢。
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- 鏈結串列則是另一個極端，各項操作都變為線性操作，時間複雜度退化至 $O(n)$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 圖 7-8 二元樹的最佳結構與最差結構 </p>
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如表 7-1 所示，在最佳結構和最差結構下，二元樹的葉節點數量、節點總數、高度等達到極大值或極小值。
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<p align="center"> 表 7-1 二元樹的最佳結構與最差結構 </p>
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<div class="center-table" markdown>
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| | 完美二元樹 | 鏈結串列 |
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| --------------------------- | ------------------ | ------- |
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| 第 $i$ 層的節點數量 | $2^{i-1}$ | $1$ |
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| 高度為 $h$ 的樹的葉節點數量 | $2^h$ | $1$ |
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| 高度為 $h$ 的樹的節點總數 | $2^{h+1} - 1$ | $h + 1$ |
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| 節點總數為 $n$ 的樹的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |
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</div>
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+874
File diff suppressed because one or more lines are too long
@@ -0,0 +1,133 @@
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comments: true
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hide: [edit]
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<!-- 此檔案由 utils/exercises/publish_exercises.py 根據 exercises.yaml 自動生成，請勿直接修改。 -->
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# 7.7 練習
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## 7.7.1 知識鞏固
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### 1. 完全、完滿與完美二元樹
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下面兩個陣列按層序表示二元樹，`None` 表示空位：
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- 樹 A：`[1, 2, 3, 4, 5, 6]`
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- 樹 B：`[1, 2, 3, None, None, 6, 7]`
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. 哪一棵是完全二元樹？
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2. 哪一棵是完滿二元樹，即每個非葉節點都有兩個子節點？
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3. 兩棵樹中是否有完美二元樹？分別說明理由。
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??? success "參考答案"
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1. 樹 A 是完全二元樹。它只有最底層未填滿，並且節點從左到右連續排列。
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樹 B 不是完全二元樹，因為最底層左側已有空位，右側卻仍有節點。
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2. 樹 B 是完滿二元樹：節點 1 和節點 3 各有兩個子節點，其餘節點都是葉節點。
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樹 A 不是完滿二元樹，因為節點 3 只有左子節點 6。
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3. 兩棵都不是完美二元樹，因為它們的最底層都沒有完全填滿。
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### 2. 同一棵樹的三種走訪順序
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將陣列 `[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]` 按層序存入一棵完全二元樹。
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. 畫出這棵樹。
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2. 寫出它的前序、中序、後序走訪序列。
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3. 在中序序列中，根節點 1 左側和右側的兩段序列，分別對應樹的哪一部分？
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??? success "參考答案"
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1. 這棵樹為：
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```text
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1
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/ \
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2 3
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/ \ / \
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4 5 6 7
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```
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2. 前序走訪為 `1, 2, 4, 5, 3, 6, 7`；
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中序走訪為 `4, 2, 5, 1, 6, 3, 7`；
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後序走訪為 `4, 5, 2, 6, 7, 3, 1`。
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3. 根節點 1 左側的 `4, 2, 5` 是左子樹的中序走訪序列；
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右側的 `6, 3, 7` 是右子樹的中序走訪序列。
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### 3. 比較兩棵二元搜尋樹
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將下面兩組序列從左到右依次插入空的二元搜尋樹：
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- 序列 A：`[4, 2, 6, 1, 3, 5, 7]`
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- 序列 B：`[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]`
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. 分別寫出查詢數字 7 時經過的節點。
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2. 若高度按根節點到最遠葉節點經過的邊數計算，兩棵樹的高度分別是多少？
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3. 根據前兩問，你認為兩棵樹查詢數字 7 時的效率是否相同？請結合兩棵樹的形狀和查詢路徑說明理由。
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??? success "參考答案"
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1. 序列 A 建成的樹中，查詢路徑為 `4 → 6 → 7`；
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序列 B 建成的樹中，查詢路徑為 `1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7`。
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2. 第一棵樹的每一層都填滿，高度為 2；第二棵樹只有右孩子，高度為 6。
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3. 兩棵樹查詢 7 時的效率不同。插入順序改變了二元搜尋樹的形狀和高度。查詢 7 時，第一棵樹只經過 3 個節點，
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第二棵樹則要依次經過 7 個節點；樹越高，最壞情況下需要沿路徑比較的節點就越多。
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## 7.7.2 程式設計練習
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### 1. 二元樹的最大深度
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給定一棵二元樹的根節點 `root`。每個節點都包含一個整數值，以及指向左、右子節點的引用。
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把從根節點到最遠葉節點經過的**節點數**稱為二元樹的最大深度。請返回這棵樹的最大深度；空樹的最大深度為 0。
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請使用遞迴完成。
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??? tip "解題提示"
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1. 本題按節點數計算深度：只有一個根節點時，最大深度為 1
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2. 讓遞迴函式返回以當前節點為根的子樹的最大深度
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3. 空節點返回 0，非空節點返回 max(depth(left), depth(right)) + 1
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[LeetCode](https://leetcode.cn/problems/maximum-depth-of-binary-tree/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" } [題目解析](https://leetcode.cn/problems/maximum-depth-of-binary-tree/solutions/2361697/104-er-cha-shu-de-zui-da-shen-du-hou-xu-txzrx/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
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### 2. 按層走訪二元樹
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給定一棵二元樹的根節點 `root`。請使用佇列從上到下逐層訪問所有節點，同一層內按照從左到右的順序訪問。
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返回一個二維陣列：第一個子陣列儲存根節點所在層的節點值，第二個子陣列儲存下一層的節點值，依此類推。
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若二元樹為空，返回空陣列。
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??? tip "解題提示"
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1. 層序走訪需要先進入的節點先訪問，因此使用佇列
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2. 一輪開始時佇列中的節點正好屬於同一層
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3. 先記錄佇列長度，再彈出這麼多個節點並加入它們的孩子
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[LeetCode](https://leetcode.cn/problems/binary-tree-level-order-traversal/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" } [題目解析](https://leetcode.cn/problems/binary-tree-level-order-traversal/solutions/2361604/102-er-cha-shu-de-ceng-xu-bian-li-yan-du-dyf7/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
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### 3. 二元搜尋樹中的第 k 小元素
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一棵二元搜尋樹共有 `n` 個節點，各節點值互不相同。
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將所有節點值從小到大排列後，位置從 1 開始編號。
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給定根節點 `root` 和滿足 `1 <= k <= n` 的整數 `k`，請返回排在第 `k` 位的節點值。
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請在中序走訪過程中直接尋找答案，不先收集全部節點值。
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??? tip "解題提示"
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1. 二元搜尋樹的中序走訪會按從小到大的順序訪問節點值
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2. 中序走訪依次處理左子樹、當前節點和右子樹；訪問當前節點時把計數加 1
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3. 當計數第一次等於 k 時，當前節點值就是答案，此後無須繼續走訪
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[LeetCode](https://leetcode.cn/problems/kth-smallest-element-in-a-bst/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" } [題目解析](https://leetcode.cn/problems/kth-smallest-element-in-a-bst/solutions/2361685/230-er-cha-sou-suo-shu-zhong-di-k-xiao-d-n3he/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
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comments: true
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icon: material/graph-outline
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# 第 7 章 樹
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{ class="cover-image" }
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!!! abstract
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參天大樹充滿生命力，根深葉茂，分枝扶疏。
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它為我們展現了資料分治的生動形態。
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## 本章內容
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- [7.1 二元樹](binary_tree.md)
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- [7.2 二元樹走訪](binary_tree_traversal.md)
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- [7.3 二元樹陣列表示](array_representation_of_tree.md)
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||||
- [7.4 二元搜尋樹](binary_search_tree.md)
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||||
- [7.5 AVL *](avl_tree.md)
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||||
- [7.6 小結](summary.md)
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||||
- [7.7 練習](exercises.md)
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comments: true
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# 7.6 小結
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### 1. 重點回顧
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- 二元樹是一種非線性資料結構，體現“一分為二”的分治邏輯。每個二元樹節點包含一個值以及兩個指標，分別指向其左子節點和右子節點。
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- 對於二元樹中的某個節點，其左（右）子節點及其以下形成的樹被稱為該節點的左（右）子樹。
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- 二元樹的相關術語包括根節點、葉節點、層、度、邊、高度和深度等。
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- 二元樹的初始化、節點插入和節點刪除操作與鏈結串列操作方法類似。
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- 常見的二元樹型別有完美二元樹、完全二元樹、完滿二元樹和平衡二元樹。完美二元樹是最理想的狀態，而鏈結串列是退化後的最差狀態。
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||||
- 二元樹可以用陣列表示，方法是將節點值和空位按層序走訪順序排列，並根據父節點與子節點之間的索引對映關係來實現指標。
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||||
- 二元樹的層序走訪是一種廣度優先搜尋方法，它體現了“一圈一圈向外擴展”的逐層走訪方式，通常透過佇列來實現。
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- 前序、中序、後序走訪皆屬於深度優先搜尋，它們體現了“先走到盡頭，再回溯繼續”的走訪方式，通常使用遞迴來實現。
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||||
- 二元搜尋樹是一種高效的元素查詢資料結構，其查詢、插入和刪除操作的時間複雜度均為 $O(\log n)$ 。當二元搜尋樹退化為鏈結串列時，各項時間複雜度會劣化至 $O(n)$ 。
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||||
- AVL 樹，也稱平衡二元搜尋樹，它透過旋轉操作確保在不斷插入和刪除節點後樹仍然保持平衡。
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||||
- AVL 樹的旋轉操作包括右旋、左旋、先右旋再左旋、先左旋再右旋。在插入或刪除節點後，AVL 樹會從底向頂執行旋轉操作，使樹重新恢復平衡。
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### 2. Q & A
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**Q**：對於只有一個節點的二元樹，樹的高度和根節點的深度都是 $0$ 嗎？
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是的，因為高度和深度通常定義為“經過的邊的數量”。
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**Q**：二元樹中的插入與刪除一般由一套操作配合完成，這裡的“一套操作”指什麼呢？可以理解為資源的子節點的資源釋放嗎？
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拿二元搜尋樹來舉例，刪除節點操作要分三種情況處理，其中每種情況都需要進行多個步驟的節點操作。
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||||
**Q**：為什麼 DFS 走訪二元樹有前、中、後三種順序，分別有什麼用呢？
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與順序和逆序走訪陣列類似，前序、中序、後序走訪是三種二元樹走訪方法，我們可以使用它們得到一個特定順序的走訪結果。例如在二元搜尋樹中，由於節點大小滿足 `左子節點值 < 根節點值 < 右子節點值` ，因此我們只要按照“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的優先順序走訪樹，就可以獲得有序的節點序列。
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||||
**Q**：右旋操作是處理失衡節點 `node`、`child`、`grand_child` 之間的關係，那 `node` 的父節點和 `node` 原來的連線不需要維護嗎？右旋操作後豈不是斷掉了？
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||||
我們需要從遞迴的視角來看這個問題。右旋操作 `right_rotate(root)` 傳入的是子樹的根節點，最終 `return child` 返回旋轉之後的子樹的根節點。子樹的根節點和其父節點的連線是在該函式返回後完成的，不屬於右旋操作的維護範圍。
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**Q**：在 C++ 中，函式被劃分到 `private` 和 `public` 中，這方面有什麼考量嗎？為什麼要將 `height()` 函式和 `updateHeight()` 函式分別放在 `public` 和 `private` 中呢？
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主要看方法的使用範圍，如果方法只在類別內部使用，那麼就設計為 `private` 。例如，使用者單獨呼叫 `updateHeight()` 是沒有意義的，它只是插入、刪除操作中的一步。而 `height()` 是訪問節點高度，類似於 `vector.size()` ，因此設定成 `public` 以便使用。
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**Q**：如何從一組輸入資料構建一棵二元搜尋樹？根節點的選擇是不是很重要？
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是的，構建樹的方法已在二元搜尋樹程式碼中的 `build_tree()` 方法中給出。至於根節點的選擇，我們通常會將輸入資料排序，然後將中點元素作為根節點，再遞迴地構建左右子樹。這樣做可以最大程度保證樹的平衡性。
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**Q**：在 Java 中，字串對比是否一定要用 `equals()` 方法？
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在 Java 中，對於基本資料型別，`==` 用於對比兩個變數的值是否相等。對於引用型別，兩種符號的工作原理是不同的。
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||||
- `==` ：用來比較兩個變數是否指向同一個物件，即它們在記憶體中的位置是否相同。
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- `equals()`：用來對比兩個物件的值是否相等。
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因此，如果要對比值，我們應該使用 `equals()` 。然而，透過 `String a = "hi"; String b = "hi";` 初始化的字串都儲存在字串常數池中，它們指向同一個物件，因此也可以用 `a == b` 來比較兩個字串的內容。
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**Q**：廣度優先走訪到最底層之前，佇列中的節點數量是 $2^h$ 嗎？
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是的，例如高度 $h = 2$ 的滿二元樹，其節點總數 $n = 7$ ，則底層節點數量 $4 = 2^h = (n + 1) / 2$ 。
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