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-# 2. &nbsp; 复杂度
+# 第 2 章 &nbsp; 复杂度

 <div class="center-table" markdown>

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-# 2.1. &nbsp; 算法效率评估
+# 2.1 &nbsp; 算法效率评估

 在算法设计中，我们先后追求以下两个层面的目标：

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 效率评估方法主要分为两种：实际测试和理论估算。

-## 2.1.1. &nbsp; 实际测试
+## 2.1.1 &nbsp; 实际测试

 假设我们现在有算法 `A` 和算法 `B` ，它们都能解决同一问题，现在需要对比这两个算法的效率。最直接的方法是找一台计算机，运行这两个算法，并监控记录它们的运行时间和内存占用情况。这种评估方式能够反映真实情况，但也存在较大局限性。

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 **展开完整测试非常耗费资源**。随着输入数据量的变化，算法会表现出不同的效率。例如，在输入数据量较小时，算法 `A` 的运行时间比算法 `B` 更少；而输入数据量较大时，测试结果可能恰恰相反。因此，为了得到有说服力的结论，我们需要测试各种规模的输入数据，而这样需要耗费大量的计算资源。

-## 2.1.2. &nbsp; 理论估算
+## 2.1.2 &nbsp; 理论估算

 由于实际测试具有较大的局限性，我们可以考虑仅通过一些计算来评估算法的效率。这种估算方法被称为「渐近复杂度分析 Asymptotic Complexity Analysis」，简称为「复杂度分析」。

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 如果你对复杂度分析的概念仍感到困惑，无需担心，我们会在后续章节详细介绍。

-## 2.1.3. &nbsp; 复杂度的重要性
+## 2.1.3 &nbsp; 复杂度的重要性

 复杂度分析为我们提供了一把评估算法效率的“标尺”，帮助我们衡量了执行某个算法所需的时间和空间资源，并使我们能够对比不同算法之间的效率。

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-# 2.3. &nbsp; 空间复杂度
+# 2.3 &nbsp; 空间复杂度

 「空间复杂度 Space Complexity」用于衡量算法占用内存空间随着数据量变大时的增长趋势。这个概念与时间复杂度非常类似，只需将“运行时间”替换为“占用内存空间”。

-## 2.3.1. &nbsp; 算法相关空间
+## 2.3.1 &nbsp; 算法相关空间

 算法运行过程中使用的内存空间主要包括以下几种：

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    ```

-## 2.3.2. &nbsp; 推算方法
+## 2.3.2 &nbsp; 推算方法

 空间复杂度的推算方法与时间复杂度大致相同，只需将统计对象从“计算操作数量”转为“使用空间大小”。

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    ```

-## 2.3.3. &nbsp; 常见类型
+## 2.3.3 &nbsp; 常见类型

 设输入数据大小为 $n$ ，常见的空间复杂度类型有（从低到高排列）：

@@ -1978,7 +1978,7 @@ $$

 再例如“数字转化为字符串”，输入任意正整数 $n$ ，它的位数为 $\log_{10} n$ ，即对应字符串长度为 $\log_{10} n$ ，因此空间复杂度为 $O(\log_{10} n) = O(\log n)$ 。

-## 2.3.4. &nbsp; 权衡时间与空间
+## 2.3.4 &nbsp; 权衡时间与空间

 理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复杂度和空间复杂度通常是非常困难的。

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-# 2.4. &nbsp; 小结
+# 2.4 &nbsp; 小结

 **算法效率评估**

@@ -26,7 +26,7 @@ comments: true
 - 我们通常只关注最差空间复杂度，即统计算法在最差输入数据和最差运行时间点下的空间复杂度。
 - 常见空间复杂度从小到大排列有 $O(1)$ , $O(\log n)$ , $O(n)$ , $O(n^2)$ , $O(2^n)$ 等。

-## 2.4.1. &nbsp; Q & A
+## 2.4.1 &nbsp; Q & A

 !!! question "尾递归的空间复杂度是 $O(1)$ 吗？"

@@ -2,7 +2,7 @@
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-# 2.2. &nbsp; 时间复杂度
+# 2.2 &nbsp; 时间复杂度

 运行时间可以直观且准确地反映算法的效率。如果我们想要准确预估一段代码的运行时间，应该如何操作呢？

@@ -187,7 +187,7 @@ $$

 但实际上，**统计算法的运行时间既不合理也不现实**。首先，我们不希望预估时间和运行平台绑定，因为算法需要在各种不同的平台上运行。其次，我们很难获知每种操作的运行时间，这给预估过程带来了极大的难度。

-## 2.2.1. &nbsp; 统计时间增长趋势
+## 2.2.1 &nbsp; 统计时间增长趋势

 「时间复杂度分析」采取了一种不同的方法，其统计的不是算法运行时间，**而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势**。

@@ -446,7 +446,7 @@ $$

 **时间复杂度也存在一定的局限性**。例如，尽管算法 `A` 和 `C` 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很大。同样，尽管算法 `B` 的时间复杂度比 `C` 高，但在输入数据大小 $n$ 较小时，算法 `B` 明显优于算法 `C` 。在这些情况下，我们很难仅凭时间复杂度判断算法效率高低。当然，尽管存在上述问题，复杂度分析仍然是评判算法效率最有效且常用的方法。

-## 2.2.2. &nbsp; 函数渐近上界
+## 2.2.2 &nbsp; 函数渐近上界

 给定一个函数 `algorithm()` ：

@@ -638,7 +638,7 @@ $T(n)$ 是一次函数，说明时间的增长趋势是线性的，因此其时

 也就是说，计算渐近上界就是寻找一个函数 $f(n)$ ，使得当 $n$ 趋向于无穷大时，$T(n)$ 和 $f(n)$ 处于相同的增长级别，仅相差一个常数项 $c$ 的倍数。

-## 2.2.3. &nbsp; 推算方法
+## 2.2.3 &nbsp; 推算方法

 渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，也无需担心。因为在实际使用中，我们只需要掌握推算方法，数学意义可以逐渐领悟。

@@ -894,7 +894,7 @@ $$

 </div>

-## 2.2.4. &nbsp; 常见类型
+## 2.2.4 &nbsp; 常见类型

 设输入数据大小为 $n$ ，常见的时间复杂度类型包括（按照从低到高的顺序排列）：

@@ -2952,7 +2952,7 @@ $$

 请注意，因为 $n! > 2^n$ ，所以阶乘阶比指数阶增长地更快，在 $n$ 较大时也是不可接受的。

-## 2.2.5. &nbsp; 最差、最佳、平均时间复杂度
+## 2.2.5 &nbsp; 最差、最佳、平均时间复杂度

 **算法的时间效率往往不是固定的，而是与输入数据的分布有关**。假设输入一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，其中 `nums` 由从 $1$ 至 $n$ 的数字组成，但元素顺序是随机打乱的，任务目标是返回元素 $1$ 的索引。我们可以得出以下结论：