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chapter_hashing/hash_algorithm.md

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 comments: true
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-# 6.3.   哈希算法
+# 6.3   哈希算法
 
 在上两节中，我们了解了哈希表的工作原理和哈希冲突的处理方法。然而无论是开放寻址还是链地址法，**它们只能保证哈希表可以在发生冲突时正常工作，但无法减少哈希冲突的发生**。
 
@@ -22,7 +22,7 @@ index = hash(key) % capacity
 
 这意味着，为了减小哈希冲突的发生概率，我们应当将注意力集中在哈希算法 `hash()` 的设计上。
 
-## 6.3.1.   哈希算法的目标
+## 6.3.1   哈希算法的目标
 
 为了实现“既快又稳”的哈希表数据结构，哈希算法应包含以下特点：
 
@@ -42,7 +42,7 @@ index = hash(key) % capacity
 
 请注意，**“均匀分布”与“抗碰撞性”是两个独立的概念**，满足均匀分布不一定满足抗碰撞性。例如，在随机输入 `key` 下，哈希函数 `key % 100` 可以产生均匀分布的输出。然而该哈希算法过于简单，所有后两位相等的 `key` 的输出都相同，因此我们可以很容易地从哈希值反推出可用的 `key` ，从而破解密码。
 
-## 6.3.2.   哈希算法的设计
+## 6.3.2   哈希算法的设计
 
 哈希算法的设计是一个复杂且需要考虑许多因素的问题。然而对于简单场景，我们也能设计一些简单的哈希算法。以字符串哈希为例：
 
@@ -520,7 +520,7 @@ $$
 
 总而言之，我们通常选取质数作为模数，并且这个质数最好足够大，以尽可能消除周期性模式，提升哈希算法的稳健性。
 
-## 6.3.3.   常见哈希算法
+## 6.3.3   常见哈希算法
 
 不难发现，以上介绍的简单哈希算法都比较“脆弱”，远远没有达到哈希算法的设计目标。例如，由于加法和异或满足交换律，因此加法哈希和异或哈希无法区分内容相同但顺序不同的字符串，这可能会加剧哈希冲突，并引起一些安全问题。
 
@@ -544,7 +544,7 @@ $$
 
 </div>
 
-## 6.3.4. &nbsp; 数据结构的哈希值
+## 6.3.4 &nbsp; 数据结构的哈希值
 
 我们知道，哈希表的 `key` 可以是整数、小数或字符串等数据类型。编程语言通常会为这些数据类型提供内置的哈希算法，用于计算哈希表中的桶索引。以 Python 为例，我们可以调用 `hash()` 函数来计算各种数据类型的哈希值，包括：
 

chapter_hashing/hash_collision.md

@@ -2,7 +2,7 @@
 comments: true
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-# 6.2.   哈希冲突
+# 6.2   哈希冲突
 
 上节提到，**通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间**，因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如，输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一数组索引。
 
@@ -13,7 +13,7 @@ comments: true
 
 哈希表的结构改良方法主要包括链式地址和开放寻址。
 
-## 6.2.1.   链式地址
+## 6.2.1   链式地址
 
 在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。「链式地址 Separate Chaining」将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。
 
@@ -1152,7 +1152,7 @@ comments: true
 
     当链表很长时，查询效率 $O(n)$ 很差，**此时可以将链表转换为「AVL 树」或「红黑树」**，从而将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。
 
-## 6.2.2.   开放寻址
+## 6.2.2   开放寻址
 
 「开放寻址 Open Addressing」不引入额外的数据结构，而是通过“多次探测”来处理哈希冲突，探测方式主要包括线性探测、平方探测、多次哈希等。
 
@@ -2448,7 +2448,7 @@ comments: true
 
 与线性探测相比，多次哈希方法不易产生聚集，但多个哈希函数会增加额外的计算量。
 
-## 6.2.3.   编程语言的选择
+## 6.2.3   编程语言的选择
 
 Java 采用链式地址。自 JDK 1.8 以来，当 HashMap 内数组长度达到 64 且链表长度达到 8 时，链表会被转换为红黑树以提升查找性能。
 

chapter_hashing/hash_map.md

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 comments: true
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-# 6.1.   哈希表
+# 6.1   哈希表
 
 散列表，又称「哈希表 Hash Table」，其通过建立键 `key` 与值 `value` 之间的映射，实现高效的元素查询。具体而言，我们向哈希表输入一个键 `key` ，则可以在 $O(1)$ 时间内获取对应的值 `value` 。
 
@@ -31,7 +31,7 @@ comments: true
 
 观察发现，**在哈希表中进行增删查改的时间复杂度都是 $O(1)$** ，非常高效。
 
-## 6.1.1.   哈希表常用操作
+## 6.1.1   哈希表常用操作
 
 哈希表的常见操作包括：初始化、查询操作、添加键值对和删除键值对等。
 
@@ -444,7 +444,7 @@ comments: true
 
     ```
 
-## 6.1.2.   哈希表简单实现
+## 6.1.2   哈希表简单实现
 
 我们先考虑最简单的情况，**仅用一个数组来实现哈希表**。在哈希表中，我们将数组中的每个空位称为「桶 Bucket」，每个桶可存储一个键值对。因此，查询操作就是找到 `key` 对应的桶，并在桶中获取 `value` 。
 
@@ -1487,7 +1487,7 @@ index = hash(key) % capacity
     }
     ```
 
-## 6.1.3.   哈希冲突与扩容
+## 6.1.3   哈希冲突与扩容
 
 本质上看，哈希函数的作用是将所有 `key` 构成的输入空间映射到数组所有索引构成的输出空间，而输入空间往往远大于输出空间。因此，**理论上一定存在“多个输入对应相同输出”的情况**。
 

chapter_hashing/index.md

@@ -3,7 +3,7 @@ comments: true
 icon: material/table-search
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-# 6.   散列表
+# 第 6 章   散列表
 
 <div class="center-table" markdown>
 

chapter_hashing/summary.md

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 comments: true
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-# 6.4.   小结
+# 6.4   小结
 
 - 输入 `key` ，哈希表能够在 $O(1)$ 时间内查询到 `value` ，效率非常高。
 - 常见的哈希表操作包括查询、添加键值对、删除键值对和遍历哈希表等。
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 - 常见的哈希算法包括 MD5, SHA-1, SHA-2, SHA3 等。MD5 常用于校验文件完整性，SHA-2 常用于安全应用与协议。
 - 编程语言通常会为数据类型提供内置哈希算法，用于计算哈希表中的桶索引。通常情况下，只有不可变对象是可哈希的。
 
-## 6.4.1.   Q & A
+## 6.4.1   Q & A
 
 !!! question "哈希表的时间复杂度为什么不是 $O(n)$ ？"