build

chapter_heap/build_heap.md

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-# 8.2.   建堆操作
+# 8.2   建堆操作
 
 如果我们想要根据输入列表生成一个堆，这个过程被称为「建堆」。
 
-## 8.2.1.   借助入堆方法实现
+## 8.2.1   借助入堆方法实现
 
 最直接的方法是借助“元素入堆操作”实现，首先创建一个空堆，然后将列表元素依次添加到堆中。
 
 设元素数量为 $n$ ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ 。在依次添加元素时，堆的平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
 
-## 8.2.2.   基于堆化操作实现
+## 8.2.2   基于堆化操作实现
 
 有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，**然后迭代地对各个节点执行“从顶至底堆化”**。当然，**我们不需要对叶节点执行堆化操作**，因为它们没有子节点。
 
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     }
     ```
 
-## 8.2.3.   复杂度分析
+## 8.2.3   复杂度分析
 
 为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 $O(n)$ ？我们来展开推算一下。
 

chapter_heap/heap.md

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-# 8.1.   堆
+# 8.1   堆
 
 「堆 Heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，可分为两种类型：
 
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 - 我们将二叉树的根节点称为「堆顶」，将底层最靠右的节点称为「堆底」。
 - 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（即根节点）的值分别是最大（最小）的。
 
-## 8.1.1.   堆常用操作
+## 8.1.1   堆常用操作
 
 需要指出的是，许多编程语言提供的是「优先队列 Priority Queue」，这是一种抽象数据结构，定义为具有优先级排序的队列。
 
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     ```
 
-## 8.1.2.   堆的实现
+## 8.1.2   堆的实现
 
 下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取逆（例如，将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ）。感兴趣的读者可以自行实现。
 
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     }
     ```
 
-## 8.1.3.   堆常见应用
+## 8.1.3   堆常见应用
 
 - **优先队列**：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$ ，而建队操作为 $O(n)$ ，这些操作都非常高效。
 - **堆排序**：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见后续的堆排序章节。

chapter_heap/index.md

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 icon: material/family-tree
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-# 8.   堆
+# 第 8 章   堆
 
 <div class="center-table" markdown>
 

chapter_heap/summary.md

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 comments: true
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-# 8.4.   小结
+# 8.4   小结
 
 - 堆是一棵完全二叉树，根据成立条件可分为大顶堆和小顶堆。大（小）顶堆的堆顶元素是最大（小）的。
 - 优先队列的定义是具有出队优先级的队列，通常使用堆来实现。
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 - 输入 $n$ 个元素并建堆的时间复杂度可以优化至 $O(n)$ ，非常高效。
 - Top-K 是一个经典算法问题，可以使用堆数据结构高效解决，时间复杂度为 $O(n \log k)$ 。
 
-## 8.4.1.   Q & A
+## 8.4.1   Q & A
 
 !!! question "数据结构的“堆”与内存管理的“堆”是同一个概念吗？"
 

chapter_heap/top_k.md

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 comments: true
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-# 8.3.   Top-K 问题
+# 8.3   Top-K 问题
 
 !!! question
 
@@ -10,7 +10,7 @@ comments: true
 
 对于该问题，我们先介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。
 
-## 8.3.1.   方法一：遍历选择
+## 8.3.1   方法一：遍历选择
 
 我们可以进行 $k$ 轮遍历，分别在每轮中提取第 $1$ , $2$ , $\cdots$ , $k$ 大的元素，时间复杂度为 $O(nk)$ 。
 
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     当 $k = n$ 时，我们可以得到从大到小的序列，等价于「选择排序」算法。
 
-## 8.3.2.   方法二：排序
+## 8.3.2   方法二：排序
 
 我们可以对数组 `nums` 进行排序，并返回最右边的 $k$ 个元素，时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
 
@@ -34,7 +34,7 @@ comments: true
 
 <p align="center"> 图：排序寻找最大的 k 个元素 </p>
 
-## 8.3.3. &nbsp; 方法三：堆
+## 8.3.3 &nbsp; 方法三：堆
 
 我们可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题，流程如下：