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chapter_sorting/bubble_sort.md

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-# 11.3.   冒泡排序
+# 11.3   冒泡排序
 
 「冒泡排序 Bubble Sort」通过连续地比较与交换相邻元素实现排序。这个过程就像气泡从底部升到顶部一样，因此得名冒泡排序。
 
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 <p align="center"> 图：利用元素交换操作模拟冒泡 </p>
 
-## 11.3.1. &nbsp; 算法流程
+## 11.3.1 &nbsp; 算法流程
 
 设数组的长度为 $n$ ，冒泡排序的步骤为：
 
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     }
     ```
 
-## 11.3.2. &nbsp; 效率优化
+## 11.3.2 &nbsp; 效率优化
 
 我们发现，如果某轮“冒泡”中没有执行任何交换操作，说明数组已经完成排序，可直接返回结果。因此，可以增加一个标志位 `flag` 来监测这种情况，一旦出现就立即返回。
 
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     }
     ```
 
-## 11.3.3. &nbsp; 算法特性
+## 11.3.3 &nbsp; 算法特性
 
 - **时间复杂度为 $O(n^2)$ 、自适应排序** ：各轮“冒泡”遍历的数组长度依次为 $n - 1$ , $n - 2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ ，总和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ 。在引入 `flag` 优化后，最佳时间复杂度可达到 $O(n)$ 。
 - **空间复杂度为 $O(1)$ 、原地排序**：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。