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krahets
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# 7.3. 二叉树数组表示
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# 7.3 二叉树数组表示
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在链表表示下，二叉树的存储单元为节点 `TreeNode` ，节点之间通过指针相连接。在上节中，我们学习了在链表表示下的二叉树的各项基本操作。
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那么，能否用「数组」来表示二叉树呢？答案是肯定的。
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## 7.3.1. 表示完美二叉树
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## 7.3.1 表示完美二叉树
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先分析一个简单案例。给定一个完美二叉树，我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。
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**映射公式的角色相当于链表中的指针**。给定数组中的任意一个节点，我们都可以通过映射公式来访问它的左（右）子节点。
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## 7.3.2. 表示任意二叉树
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## 7.3.2 表示任意二叉树
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然而完美二叉树是一个特例，在二叉树的中间层，通常存在许多 $\text{None}$ 。由于层序遍历序列并不包含这些 $\text{None}$ ，因此我们无法仅凭该序列来推测 $\text{None}$ 的数量和分布位置。**这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列**。显然在这种情况下，上述的数组表示方法已经失效。
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}
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## 7.3.3. 优势与局限性
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## 7.3.3 优势与局限性
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二叉树的数组表示的优点包括：
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# 7.5. AVL 树 *
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# 7.5 AVL 树 *
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在二叉搜索树章节中，我们提到了在多次插入和删除操作后，二叉搜索树可能退化为链表。这种情况下，所有操作的时间复杂度将从 $O(\log n)$ 恶化为 $O(n)$。
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G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。论文中详细描述了一系列操作，确保在持续添加和删除节点后，AVL 树不会退化，从而使得各种操作的时间复杂度保持在 $O(\log n)$ 级别。换句话说，在需要频繁进行增删查改操作的场景中，AVL 树能始终保持高效的数据操作性能，具有很好的应用价值。
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## 7.5.1. AVL 树常见术语
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## 7.5.1 AVL 树常见术语
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「AVL 树」既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉树的所有性质，因此也被称为「平衡二叉搜索树」。
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@@ -580,7 +580,7 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
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设平衡因子为 $f$ ，则一棵 AVL 树的任意节点的平衡因子皆满足 $-1 \le f \le 1$ 。
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## 7.5.2. AVL 树旋转
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## 7.5.2 AVL 树旋转
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AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉树的中序遍历序列的前提下，使失衡节点重新恢复平衡。换句话说，**旋转操作既能保持树的「二叉搜索树」属性，也能使树重新变为「平衡二叉树」**。
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@@ -1519,7 +1519,7 @@ AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉
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}
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## 7.5.3. AVL 树常用操作
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## 7.5.3 AVL 树常用操作
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### 插入节点
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@@ -2436,7 +2436,7 @@ AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉
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AVL 树的节点查找操作与二叉搜索树一致，在此不再赘述。
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## 7.5.4. AVL 树典型应用
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## 7.5.4 AVL 树典型应用
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- 组织和存储大型数据，适用于高频查找、低频增删的场景。
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- 用于构建数据库中的索引系统。
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# 7.4. 二叉搜索树
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# 7.4 二叉搜索树
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「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：
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<p align="center"> 图：二叉搜索树 </p>
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## 7.4.1. 二叉搜索树的操作
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## 7.4.1 二叉搜索树的操作
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我们将二叉搜索树封装为一个类 `ArrayBinaryTree` ，并声明一个成员变量 `root` ，指向树的根节点。
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<p align="center"> 图：二叉搜索树的中序遍历序列 </p>
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## 7.4.2. 二叉搜索树的效率
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## 7.4.2 二叉搜索树的效率
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给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。
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<p align="center"> 图：二叉搜索树的平衡与退化 </p>
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## 7.4.3. 二叉搜索树常见应用
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## 7.4.3 二叉搜索树常见应用
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- 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
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- 作为某些搜索算法的底层数据结构。
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# 7.1. 二叉树
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# 7.1 二叉树
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「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含：值、左子节点引用、右子节点引用。
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<p align="center"> 图：父节点、子节点、子树 </p>
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## 7.1.1. 二叉树常见术语
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## 7.1.1 二叉树常见术语
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二叉树涉及的术语较多，建议尽量理解并记住。
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请注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“走过节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。
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## 7.1.2. 二叉树基本操作
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## 7.1.2 二叉树基本操作
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**初始化二叉树**。与链表类似，首先初始化节点，然后构建引用指向（即指针）。
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需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除操作通常是由一套操作配合完成的，以实现有实际意义的操作。
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## 7.1.3. 常见二叉树类型
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## 7.1.3 常见二叉树类型
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### 完美二叉树
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<p align="center"> 图：平衡二叉树 </p>
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## 7.1.4. 二叉树的退化
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## 7.1.4 二叉树的退化
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当二叉树的每层节点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为「链表」。
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# 7.2. 二叉树遍历
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# 7.2 二叉树遍历
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从物理结构的角度来看，树是一种基于链表的数据结构，因此其遍历方式是通过指针逐个访问节点。然而，树是一种非线性数据结构，这使得遍历树比遍历链表更加复杂，需要借助搜索算法来实现。
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二叉树常见的遍历方式包括层序遍历、前序遍历、中序遍历和后序遍历等。
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## 7.2.1. 层序遍历
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## 7.2.1 层序遍历
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「层序遍历 Level-Order Traversal」从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。
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**空间复杂度**：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 $\frac{n + 1}{2}$ 个节点，占用 $O(n)$ 空间。
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## 7.2.2. 前序、中序、后序遍历
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## 7.2.2 前序、中序、后序遍历
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相应地，前序、中序和后序遍历都属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。
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icon: material/graph-outline
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# 7. 树
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# 第 7 章 树
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<div class="center-table" markdown>
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# 7.6. 小结
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# 7.6 小结
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- 二叉树是一种非线性数据结构，体现“一分为二”的分治逻辑。每个二叉树节点包含一个值以及两个指针，分别指向其左子节点和右子节点。
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- 对于二叉树中的某个节点，其左（右）子节点及其以下形成的树被称为该节点的左（右）子树。
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@@ -16,7 +16,7 @@ comments: true
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- AVL 树，也称为平衡二叉搜索树，它通过旋转操作，确保在不断插入和删除节点后，树仍然保持平衡。
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- AVL 树的旋转操作包括右旋、左旋、先右旋再左旋、先左旋再右旋。在插入或删除节点后，AVL 树会从底向顶执行旋转操作，使树重新恢复平衡。
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## 7.6.1. Q & A
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## 7.6.1 Q & A
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!!! question "对于只有一个节点的二叉树，树的高度和根节点的深度都是 $0$ 吗？"
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