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docs/chapter_computational_complexity/index.md

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+# 第 2 章   复杂度分析
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+<div class="center-table" markdown>
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+![复杂度分析](../assets/covers/chapter_complexity_analysis.jpg){ width="600" }
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+</div>
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+!!! abstract
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+    复杂度分析犹如浩瀚的算法宇宙中的时空向导。
+    
+    它带领我们在时间与空间这两个维度上深入探索，寻找更优雅的解决方案。
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+## 本章内容
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+- [2.1 &nbsp; 算法效率评估](https://www.hello-algo.com/chapter_computational_complexity/performance_evaluation/)
+- [2.2 &nbsp; 迭代与递归](https://www.hello-algo.com/chapter_computational_complexity/iteration_and_recursion/)
+- [2.3 &nbsp; 时间复杂度](https://www.hello-algo.com/chapter_computational_complexity/time_complexity/)
+- [2.4 &nbsp; 空间复杂度](https://www.hello-algo.com/chapter_computational_complexity/space_complexity/)
+- [2.5 &nbsp; 小结](https://www.hello-algo.com/chapter_computational_complexity/summary/)

docs/chapter_computational_complexity/performance_evaluation.md

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+comments: true
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+# 2.1   算法效率评估
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+在算法设计中，我们先后追求以下两个层面的目标。
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+1. **找到问题解法**：算法需要在规定的输入范围内，可靠地求得问题的正确解。
+2. **寻求最优解法**：同一个问题可能存在多种解法，我们希望找到尽可能高效的算法。
+
+也就是说，在能够解决问题的前提下，算法效率已成为衡量算法优劣的主要评价指标，它包括以下两个维度。
+
+- **时间效率**：算法运行速度的快慢。
+- **空间效率**：算法占用内存空间的大小。
+
+简而言之，**我们的目标是设计“既快又省”的数据结构与算法**。而有效地评估算法效率至关重要，因为只有这样我们才能将各种算法进行对比，从而指导算法设计与优化过程。
+
+效率评估方法主要分为两种：实际测试、理论估算。
+
+## 2.1.1   实际测试
+
+假设我们现在有算法 `A` 和算法 `B` ，它们都能解决同一问题，现在需要对比这两个算法的效率。最直接的方法是找一台计算机，运行这两个算法，并监控记录它们的运行时间和内存占用情况。这种评估方式能够反映真实情况，但也存在较大局限性。
+
+一方面，**难以排除测试环境的干扰因素**。硬件配置会影响算法的性能表现。比如在某台计算机中，算法 `A` 的运行时间比算法 `B` 短；但在另一台配置不同的计算机中，我们可能得到相反的测试结果。这意味着我们需要在各种机器上进行测试，统计平均效率，而这是不现实的。
+
+另一方面，**展开完整测试非常耗费资源**。随着输入数据量的变化，算法会表现出不同的效率。例如，在输入数据量较小时，算法 `A` 的运行时间比算法 `B` 更少；而输入数据量较大时，测试结果可能恰恰相反。因此，为了得到有说服力的结论，我们需要测试各种规模的输入数据，而这需要耗费大量的计算资源。
+
+## 2.1.2   理论估算
+
+由于实际测试具有较大的局限性，我们可以考虑仅通过一些计算来评估算法的效率。这种估算方法被称为「渐近复杂度分析 asymptotic complexity analysis」，简称「复杂度分析」。
+
+复杂度分析体现算法运行所需的时间（空间）资源与输入数据大小之间的关系。**它描述了随着输入数据大小的增加，算法执行所需时间和空间的增长趋势**。这个定义有些拗口，我们可以将其分为三个重点来理解。
+
+- “时间和空间资源”分别对应「时间复杂度 time complexity」和「空间复杂度 space complexity」。
+- “随着输入数据大小的增加”意味着复杂度反映了算法运行效率与输入数据体量之间的关系。
+- “时间和空间的增长趋势”表示复杂度分析关注的不是运行时间或占用空间的具体值，而是时间或空间增长的“快慢”。
+
+**复杂度分析克服了实际测试方法的弊端**，体现在以下两个方面。
+
+- 它独立于测试环境，分析结果适用于所有运行平台。
+- 它可以体现不同数据量下的算法效率，尤其是在大数据量下的算法性能。
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+!!! tip
+
+    如果你仍对复杂度的概念感到困惑，无须担心，我们会在后续章节中详细介绍。
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+复杂度分析为我们提供了一把评估算法效率的“标尺”，使我们可以衡量执行某个算法所需的时间和空间资源，对比不同算法之间的效率。
+
+复杂度是个数学概念，对于初学者可能比较抽象，学习难度相对较高。从这个角度看，复杂度分析可能不太适合作为最先介绍的内容。然而，当我们讨论某个数据结构或算法的特点时，难以避免要分析其运行速度和空间使用情况。
+
+综上所述，建议你在深入学习数据结构与算法之前，**先对复杂度分析建立初步的了解，以便能够完成简单算法的复杂度分析**。

docs/chapter_computational_complexity/summary.md

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+comments: true
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+# 2.5   小结
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+### 1.   重点回顾
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+**算法效率评估**
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+- 时间效率和空间效率是衡量算法优劣的两个主要评价指标。
+- 我们可以通过实际测试来评估算法效率，但难以消除测试环境的影响，且会耗费大量计算资源。
+- 复杂度分析可以克服实际测试的弊端，分析结果适用于所有运行平台，并且能够揭示算法在不同数据规模下的效率。
+
+**时间复杂度**
+
+- 时间复杂度用于衡量算法运行时间随数据量增长的趋势，可以有效评估算法效率，但在某些情况下可能失效，如在输入的数据量较小或时间复杂度相同时，无法精确对比算法效率的优劣。
+- 最差时间复杂度使用大 $O$ 符号表示，对应函数渐近上界，反映当 $n$ 趋向正无穷时，操作数量 $T(n)$ 的增长级别。
+- 推算时间复杂度分为两步，首先统计操作数量，然后判断渐近上界。
+- 常见时间复杂度从小到大排列有 $O(1)$、$O(\log n)$、$O(n)$、$O(n \log n)$、$O(n^2)$、$O(2^n)$ 和 $O(n!)$ 等。
+- 某些算法的时间复杂度非固定，而是与输入数据的分布有关。时间复杂度分为最差、最佳、平均时间复杂度，最佳时间复杂度几乎不用，因为输入数据一般需要满足严格条件才能达到最佳情况。
+- 平均时间复杂度反映算法在随机数据输入下的运行效率，最接近实际应用中的算法性能。计算平均时间复杂度需要统计输入数据分布以及综合后的数学期望。
+
+**空间复杂度**
+
+- 空间复杂度的作用类似于时间复杂度，用于衡量算法占用空间随数据量增长的趋势。
+- 算法运行过程中的相关内存空间可分为输入空间、暂存空间、输出空间。通常情况下，输入空间不计入空间复杂度计算。暂存空间可分为指令空间、数据空间、栈帧空间，其中栈帧空间通常仅在递归函数中影响空间复杂度。
+- 我们通常只关注最差空间复杂度，即统计算法在最差输入数据和最差运行时间点下的空间复杂度。
+- 常见空间复杂度从小到大排列有 $O(1)$、$O(\log n)$、$O(n)$、$O(n^2)$ 和 $O(2^n)$ 等。
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+### 2.   Q & A
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+!!! question "尾递归的空间复杂度是 $O(1)$ 吗？"
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+    理论上，尾递归函数的空间复杂度可以被优化至 $O(1)$ 。不过绝大多数编程语言（例如 Java、Python、C++、Go、C# 等）都不支持自动优化尾递归，因此通常认为空间复杂度是 $O(n)$ 。
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+!!! question "函数和方法这两个术语的区别是什么？"
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+    函数（function）可以被独立执行，所有参数都以显式传递。方法（method）与一个对象关联，被隐式传递给调用它的对象，能够对类的实例中包含的数据进行操作。
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+    下面以几个常见的编程语言来说明。
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+    - C 语言是过程式编程语言，没有面向对象的概念，所以只有函数。但我们可以通过创建结构体（struct）来模拟面向对象编程，与结构体相关联的函数就相当于其他语言中的方法。
+    - Java 和 C# 是面向对象的编程语言，代码块（方法）通常都是作为某个类的一部分。静态方法的行为类似于函数，因为它被绑定在类上，不能访问特定的实例变量。
+    - C++ 和 Python 既支持过程式编程（函数），也支持面向对象编程（方法）。
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+!!! question "图“常见的空间复杂度类型”反映的是否是占用空间的绝对大小？"
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+    不是，该图片展示的是空间复杂度，其反映的是增长趋势，而不是占用空间的绝对大小。
+    
+    假设取 $n = 8$ ，你可能会发现每条曲线的值与函数对应不上。这是因为每条曲线都包含一个常数项，用于将取值范围压缩到一个视觉舒适的范围内。
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+    在实际中，因为我们通常不知道每个方法的“常数项”复杂度是多少，所以一般无法仅凭复杂度来选择 $n = 8$ 之下的最优解法。但对于 $n = 8^5$ 就很好选了，这时增长趋势已经占主导了。