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2026-07-12 23:36:06 +00:00 · 2023-10-08 04:43:12 +08:00
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commit 2f761d9865
102 changed files with 0 additions and 0 deletions
@@ -0,0 +1,626 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 7.1 &nbsp; 二叉树
+
+「二叉树 binary tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含：值、左子节点引用、右子节点引用。
+
+=== "Python"
+
+    ```python title=""
+    class TreeNode:
+        """二叉树节点类"""
+        def __init__(self, val: int):
+            self.val: int = val                # 节点值
+            self.left: TreeNode | None = None  # 左子节点引用
+            self.right: TreeNode | None = None # 右子节点引用
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title=""
+    /* 二叉树节点结构体 */
+    struct TreeNode {
+        int val;          // 节点值
+        TreeNode *left;   // 左子节点指针
+        TreeNode *right;  // 右子节点指针
+        TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
+    };
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title=""
+    /* 二叉树节点类 */
+    class TreeNode {
+        int val;         // 节点值
+        TreeNode left;   // 左子节点引用
+        TreeNode right;  // 右子节点引用
+        TreeNode(int x) { val = x; }
+    }
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title=""
+    /* 二叉树节点类 */
+    class TreeNode {
+        int val;          // 节点值
+        TreeNode? left;   // 左子节点引用
+        TreeNode? right;  // 右子节点引用
+        TreeNode(int x) { val = x; }
+    }
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title=""
+    /* 二叉树节点结构体 */
+    type TreeNode struct {
+        Val   int
+        Left  *TreeNode
+        Right *TreeNode
+    }
+    /* 构造方法 */
+    func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
+        return &TreeNode{
+            Left:  nil, // 左子节点指针
+            Right: nil, // 右子节点指针
+            Val:   v,   // 节点值
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title=""
+    /* 二叉树节点类 */
+    class TreeNode {
+        var val: Int // 节点值
+        var left: TreeNode? // 左子节点引用
+        var right: TreeNode? // 右子节点引用
+
+        init(x: Int) {
+            val = x
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title=""
+    /* 二叉树节点类 */
+    class TreeNode {
+        val; // 节点值
+        left; // 左子节点指针
+        right; // 右子节点指针
+        constructor(val, left, right) {
+            this.val = val === undefined ? 0 : val;
+            this.left = left === undefined ? null : left;
+            this.right = right === undefined ? null : right;
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title=""
+    /* 二叉树节点类 */
+    class TreeNode {
+        val: number;
+        left: TreeNode | null;
+        right: TreeNode | null;
+    
+        constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
+            this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
+            this.left = left === undefined ? null : left; // 左子节点引用
+            this.right = right === undefined ? null : right; // 右子节点引用
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title=""
+    /* 二叉树节点类 */
+    class TreeNode {
+      int val;         // 节点值
+      TreeNode? left;  // 左子节点引用
+      TreeNode? right; // 右子节点引用
+      TreeNode(this.val, [this.left, this.right]);
+    }
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title=""
+    use std::rc::Rc;
+    use std::cell::RefCell;
+
+    /* 二叉树节点结构体 */
+    struct TreeNode {
+        val: i32,                               // 节点值
+        left: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,    // 左子节点引用
+        right: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,   // 右子节点引用
+    }
+
+    impl TreeNode {
+        /* 构造方法 */
+        fn new(val: i32) -> Rc<RefCell<Self>> {
+            Rc::new(RefCell::new(Self {
+                val,
+                left: None,
+                right: None
+            }))
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title=""
+    /* 二叉树节点结构体 */
+    struct TreeNode {
+        int val;                // 节点值
+        int height;             // 节点高度
+        struct TreeNode *left;  // 左子节点指针
+        struct TreeNode *right; // 右子节点指针
+    };
+
+    typedef struct TreeNode TreeNode;
+
+    /* 构造函数 */
+    TreeNode *newTreeNode(int val) {
+        TreeNode *node;
+
+        node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
+        node->val = val;
+        node->height = 0;
+        node->left = NULL;
+        node->right = NULL;
+        return node;
+    }
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title=""
+
+    ```
+
+每个节点都有两个引用（指针），分别指向「左子节点 left-child node」和「右子节点 right-child node」，该节点被称为这两个子节点的「父节点 parent node」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树 left subtree」，同理可得「右子树 right subtree」。
+
+**在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树**。如图 7-1 所示，如果将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。
+
+![父节点、子节点、子树](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png)
+
+<p align="center"> 图 7-1 &nbsp; 父节点、子节点、子树 </p>
+
+## 7.1.1 &nbsp; 二叉树常见术语
+
+二叉树的常用术语如图 7-2 所示。
+
+- 「根节点 root node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
+- 「叶节点 leaf node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 $\text{None}$ 。
+- 「边 edge」：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
+- 节点所在的「层 level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
+- 节点的「度 degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
+- 二叉树的「高度 height」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
+- 节点的「深度 depth」：从根节点到该节点所经过的边的数量。
+- 节点的「高度 height」：从最远叶节点到该节点所经过的边的数量。
+
+![二叉树的常用术语](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png)
+
+<p align="center"> 图 7-2 &nbsp; 二叉树的常用术语 </p>
+
+!!! tip
+
+    请注意，我们通常将“高度”和“深度”定义为“走过边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“走过节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。
+
+## 7.1.2 &nbsp; 二叉树基本操作
+
+### 1. &nbsp; 初始化二叉树
+
+与链表类似，首先初始化节点，然后构建引用（指针）。
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_tree.py"
+    # 初始化二叉树
+    # 初始化节点
+    n1 = TreeNode(val=1)
+    n2 = TreeNode(val=2)
+    n3 = TreeNode(val=3)
+    n4 = TreeNode(val=4)
+    n5 = TreeNode(val=5)
+    # 构建引用指向（即指针）
+    n1.left = n2
+    n1.right = n3
+    n2.left = n4
+    n2.right = n5
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_tree.cpp"
+    /* 初始化二叉树 */
+    // 初始化节点
+    TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
+    TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
+    TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
+    TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
+    TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1->left = n2;
+    n1->right = n3;
+    n2->left = n4;
+    n2->right = n5;
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_tree.java"
+    // 初始化节点
+    TreeNode n1 = new TreeNode(1);
+    TreeNode n2 = new TreeNode(2);
+    TreeNode n3 = new TreeNode(3);
+    TreeNode n4 = new TreeNode(4);
+    TreeNode n5 = new TreeNode(5);
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1.left = n2;
+    n1.right = n3;
+    n2.left = n4;
+    n2.right = n5;
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_tree.cs"
+    /* 初始化二叉树 */
+    // 初始化节点
+    TreeNode n1 = new(1);
+    TreeNode n2 = new(2);
+    TreeNode n3 = new(3);
+    TreeNode n4 = new(4);
+    TreeNode n5 = new(5);
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1.left = n2;
+    n1.right = n3;
+    n2.left = n4;
+    n2.right = n5;
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_tree.go"
+    /* 初始化二叉树 */
+    // 初始化节点
+    n1 := NewTreeNode(1)
+    n2 := NewTreeNode(2)
+    n3 := NewTreeNode(3)
+    n4 := NewTreeNode(4)
+    n5 := NewTreeNode(5)
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1.Left = n2
+    n1.Right = n3
+    n2.Left = n4
+    n2.Right = n5
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_tree.swift"
+    // 初始化节点
+    let n1 = TreeNode(x: 1)
+    let n2 = TreeNode(x: 2)
+    let n3 = TreeNode(x: 3)
+    let n4 = TreeNode(x: 4)
+    let n5 = TreeNode(x: 5)
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1.left = n2
+    n1.right = n3
+    n2.left = n4
+    n2.right = n5
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="binary_tree.js"
+    /* 初始化二叉树 */
+    // 初始化节点
+    let n1 = new TreeNode(1),
+        n2 = new TreeNode(2),
+        n3 = new TreeNode(3),
+        n4 = new TreeNode(4),
+        n5 = new TreeNode(5);
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1.left = n2;
+    n1.right = n3;
+    n2.left = n4;
+    n2.right = n5;
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="binary_tree.ts"
+    /* 初始化二叉树 */
+    // 初始化节点
+    let n1 = new TreeNode(1),
+        n2 = new TreeNode(2),
+        n3 = new TreeNode(3),
+        n4 = new TreeNode(4),
+        n5 = new TreeNode(5);
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1.left = n2;
+    n1.right = n3;
+    n2.left = n4;
+    n2.right = n5;
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="binary_tree.dart"
+    /* 初始化二叉树 */
+    // 初始化节点
+    TreeNode n1 = new TreeNode(1);
+    TreeNode n2 = new TreeNode(2);
+    TreeNode n3 = new TreeNode(3);
+    TreeNode n4 = new TreeNode(4);
+    TreeNode n5 = new TreeNode(5);
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1.left = n2;
+    n1.right = n3;
+    n2.left = n4;
+    n2.right = n5;
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="binary_tree.rs"
+    // 初始化节点
+    let n1 = TreeNode::new(1);
+    let n2 = TreeNode::new(2);
+    let n3 = TreeNode::new(3);
+    let n4 = TreeNode::new(4);
+    let n5 = TreeNode::new(5);
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
+    n1.borrow_mut().right = Some(n3);
+    n2.borrow_mut().left = Some(n4);
+    n2.borrow_mut().right = Some(n5);
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_tree.c"
+    /* 初始化二叉树 */
+    // 初始化节点
+    TreeNode *n1 = newTreeNode(1);
+    TreeNode *n2 = newTreeNode(2);
+    TreeNode *n3 = newTreeNode(3);
+    TreeNode *n4 = newTreeNode(4);
+    TreeNode *n5 = newTreeNode(5);
+    // 构建引用指向（即指针）
+    n1->left = n2;
+    n1->right = n3;
+    n2->left = n4;
+    n2->right = n5;
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_tree.zig"
+
+    ```
+
+### 2. &nbsp; 插入与删除节点
+
+与链表类似，在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。图 7-3 给出了一个示例。
+
+![在二叉树中插入与删除节点](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png)
+
+<p align="center"> 图 7-3 &nbsp; 在二叉树中插入与删除节点 </p>
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_tree.py"
+    # 插入与删除节点
+    p = TreeNode(0)
+    # 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
+    n1.left = p
+    p.left = n2
+    # 删除节点 P
+    n1.left = n2
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_tree.cpp"
+    /* 插入与删除节点 */
+    TreeNode* P = new TreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
+    n1->left = P;
+    P->left = n2;
+    // 删除节点 P
+    n1->left = n2;
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_tree.java"
+    TreeNode P = new TreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
+    n1.left = P;
+    P.left = n2;
+    // 删除节点 P
+    n1.left = n2;
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_tree.cs"
+    /* 插入与删除节点 */
+    TreeNode P = new(0);
+    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
+    n1.left = P;
+    P.left = n2;
+    // 删除节点 P
+    n1.left = n2;
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_tree.go"
+    /* 插入与删除节点 */
+    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
+    p := NewTreeNode(0)
+    n1.Left = p
+    p.Left = n2
+    // 删除节点 P
+    n1.Left = n2
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_tree.swift"
+    let P = TreeNode(x: 0)
+    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
+    n1.left = P
+    P.left = n2
+    // 删除节点 P
+    n1.left = n2
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="binary_tree.js"
+    /* 插入与删除节点 */
+    let P = new TreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
+    n1.left = P;
+    P.left = n2;
+    // 删除节点 P
+    n1.left = n2;
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="binary_tree.ts"
+    /* 插入与删除节点 */
+    const P = new TreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
+    n1.left = P;
+    P.left = n2;
+    // 删除节点 P
+    n1.left = n2;
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="binary_tree.dart"
+    /* 插入与删除节点 */
+    TreeNode P = new TreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
+    n1.left = P;
+    P.left = n2;
+    // 删除节点 P
+    n1.left = n2;
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="binary_tree.rs"
+    let p = TreeNode::new(0);
+    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
+    n1.borrow_mut().left = Some(p.clone());
+    p.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
+    // 删除节点 p
+    n1.borrow_mut().left = Some(n2);
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_tree.c"
+    /* 插入与删除节点 */
+    TreeNode *P = newTreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
+    n1->left = P;
+    P->left = n2;
+    // 删除节点 P
+    n1->left = n2;
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_tree.zig"
+
+    ```
+
+!!! note
+
+    需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除操作通常是由一套操作配合完成的，以实现有实际意义的操作。
+
+## 7.1.3 &nbsp; 常见二叉树类型
+
+### 1. &nbsp; 完美二叉树
+
+「完美二叉树 perfect binary tree」所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 $0$ ，其余所有节点的度都为 $2$ ；若树高度为 $h$ ，则节点总数为 $2^{h+1} - 1$ ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。
+
+!!! tip
+
+    请注意，在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」。
+
+![完美二叉树](binary_tree.assets/perfect_binary_tree.png)
+
+<p align="center"> 图 7-4 &nbsp; 完美二叉树 </p>
+
+### 2. &nbsp; 完全二叉树
+
+如图 7-5 所示，「完全二叉树 complete binary tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
+
+![完全二叉树](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png)
+
+<p align="center"> 图 7-5 &nbsp; 完全二叉树 </p>
+
+### 3. &nbsp; 完满二叉树
+
+如图 7-6 所示，「完满二叉树 full binary tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
+
+![完满二叉树](binary_tree.assets/full_binary_tree.png)
+
+<p align="center"> 图 7-6 &nbsp; 完满二叉树 </p>
+
+### 4. &nbsp; 平衡二叉树
+
+如图 7-7 所示，「平衡二叉树 balanced binary tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
+
+![平衡二叉树](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png)
+
+<p align="center"> 图 7-7 &nbsp; 平衡二叉树 </p>
+
+## 7.1.4 &nbsp; 二叉树的退化
+
+图 7-8 展示了二叉树的理想与退化状态。当二叉树的每层节点都被填满时，达到“完美二叉树”；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为“链表”。
+
+- 完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势。
+- 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 $O(n)$ 。
+
+![二叉树的最佳与最差结构](binary_tree.assets/binary_tree_best_worst_cases.png)
+
+<p align="center"> 图 7-8 &nbsp; 二叉树的最佳与最差结构 </p>
+
+如表 7-1 所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大或极小值。
+
+<p align="center"> 表 7-1 &nbsp; 二叉树的最佳与最差情况 </p>
+
+<div class="center-table" markdown>
+
+|                               | 完美二叉树 | 链表         |
+| ----------------------------- | ---------- | ---------- |
+| 第 $i$ 层的节点数量    | $2^{i-1}$          | $1$     |
+| 高度 $h$ 树的叶节点数量 | $2^h$          | $1$     |
+| 高度 $h$ 树的节点总数 | $2^{h+1} - 1$      | $h + 1$     |
+| 节点总数 $n$ 树的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$     |
+
+</div>
@@ -0,0 +1,804 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 7.2 &nbsp; 二叉树遍历
+
+从物理结构的角度来看，树是一种基于链表的数据结构，因此其遍历方式是通过指针逐个访问节点。然而，树是一种非线性数据结构，这使得遍历树比遍历链表更加复杂，需要借助搜索算法来实现。
+
+二叉树常见的遍历方式包括层序遍历、前序遍历、中序遍历和后序遍历等。
+
+## 7.2.1 &nbsp; 层序遍历
+
+如图 7-9 所示，「层序遍历 level-order traversal」从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。
+
+层序遍历本质上属于「广度优先遍历 breadth-first traversal」，它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。
+
+![二叉树的层序遍历](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_bfs.png)
+
+<p align="center"> 图 7-9 &nbsp; 二叉树的层序遍历 </p>
+
+### 1. &nbsp; 代码实现
+
+广度优先遍历通常借助“队列”来实现。队列遵循“先进先出”的规则，而广度优先遍历则遵循“逐层推进”的规则，两者背后的思想是一致的。
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_tree_bfs.py"
+    def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]:
+        """层序遍历"""
+        # 初始化队列，加入根节点
+        queue: deque[TreeNode] = deque()
+        queue.append(root)
+        # 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        res = []
+        while queue:
+            node: TreeNode = queue.popleft()  # 队列出队
+            res.append(node.val)  # 保存节点值
+            if node.left is not None:
+                queue.append(node.left)  # 左子节点入队
+            if node.right is not None:
+                queue.append(node.right)  # 右子节点入队
+        return res
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_tree_bfs.cpp"
+    /* 层序遍历 */
+    vector<int> levelOrder(TreeNode *root) {
+        // 初始化队列，加入根节点
+        queue<TreeNode *> queue;
+        queue.push(root);
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        vector<int> vec;
+        while (!queue.empty()) {
+            TreeNode *node = queue.front();
+            queue.pop();              // 队列出队
+            vec.push_back(node->val); // 保存节点值
+            if (node->left != nullptr)
+                queue.push(node->left); // 左子节点入队
+            if (node->right != nullptr)
+                queue.push(node->right); // 右子节点入队
+        }
+        return vec;
+    }
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_tree_bfs.java"
+    /* 层序遍历 */
+    List<Integer> levelOrder(TreeNode root) {
+        // 初始化队列，加入根节点
+        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
+        queue.add(root);
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        List<Integer> list = new ArrayList<>();
+        while (!queue.isEmpty()) {
+            TreeNode node = queue.poll(); // 队列出队
+            list.add(node.val);           // 保存节点值
+            if (node.left != null)
+                queue.offer(node.left);   // 左子节点入队
+            if (node.right != null)
+                queue.offer(node.right);  // 右子节点入队
+        }
+        return list;
+    }
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_tree_bfs.cs"
+    /* 层序遍历 */
+    List<int> LevelOrder(TreeNode root) {
+        // 初始化队列，加入根节点
+        Queue<TreeNode> queue = new();
+        queue.Enqueue(root);
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        List<int> list = new();
+        while (queue.Count != 0) {
+            TreeNode node = queue.Dequeue(); // 队列出队
+            list.Add(node.val);              // 保存节点值
+            if (node.left != null)
+                queue.Enqueue(node.left);    // 左子节点入队
+            if (node.right != null)
+                queue.Enqueue(node.right);   // 右子节点入队
+        }
+        return list;
+    }
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_tree_bfs.go"
+    /* 层序遍历 */
+    func levelOrder(root *TreeNode) []any {
+        // 初始化队列，加入根节点
+        queue := list.New()
+        queue.PushBack(root)
+        // 初始化一个切片，用于保存遍历序列
+        nums := make([]any, 0)
+        for queue.Len() > 0 {
+            // 队列出队
+            node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
+            // 保存节点值
+            nums = append(nums, node.Val)
+            if node.Left != nil {
+                // 左子节点入队
+                queue.PushBack(node.Left)
+            }
+            if node.Right != nil {
+                // 右子节点入队
+                queue.PushBack(node.Right)
+            }
+        }
+        return nums
+    }
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_tree_bfs.swift"
+    /* 层序遍历 */
+    func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
+        // 初始化队列，加入根节点
+        var queue: [TreeNode] = [root]
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        var list: [Int] = []
+        while !queue.isEmpty {
+            let node = queue.removeFirst() // 队列出队
+            list.append(node.val) // 保存节点值
+            if let left = node.left {
+                queue.append(left) // 左子节点入队
+            }
+            if let right = node.right {
+                queue.append(right) // 右子节点入队
+            }
+        }
+        return list
+    }
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="binary_tree_bfs.js"
+    /* 层序遍历 */
+    function levelOrder(root) {
+        // 初始化队列，加入根节点
+        const queue = [root];
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        const list = [];
+        while (queue.length) {
+            let node = queue.shift(); // 队列出队
+            list.push(node.val); // 保存节点值
+            if (node.left) queue.push(node.left); // 左子节点入队
+            if (node.right) queue.push(node.right); // 右子节点入队
+        }
+        return list;
+    }
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="binary_tree_bfs.ts"
+    /* 层序遍历 */
+    function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] {
+        // 初始化队列，加入根节点
+        const queue = [root];
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        const list: number[] = [];
+        while (queue.length) {
+            let node = queue.shift() as TreeNode; // 队列出队
+            list.push(node.val); // 保存节点值
+            if (node.left) {
+                queue.push(node.left); // 左子节点入队
+            }
+            if (node.right) {
+                queue.push(node.right); // 右子节点入队
+            }
+        }
+        return list;
+    }
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="binary_tree_bfs.dart"
+    /* 层序遍历 */
+    List<int> levelOrder(TreeNode? root) {
+      // 初始化队列，加入根节点
+      Queue<TreeNode?> queue = Queue();
+      queue.add(root);
+      // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+      List<int> res = [];
+      while (queue.isNotEmpty) {
+        TreeNode? node = queue.removeFirst(); // 队列出队
+        res.add(node!.val); // 保存节点值
+        if (node.left != null) queue.add(node.left); // 左子节点入队
+        if (node.right != null) queue.add(node.right); // 右子节点入队
+      }
+      return res;
+    }
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="binary_tree_bfs.rs"
+    /* 层序遍历 */
+    fn level_order(root: &Rc<RefCell<TreeNode>>) -> Vec<i32> {
+        // 初始化队列，加入根结点
+        let mut que = VecDeque::new();
+        que.push_back(Rc::clone(&root));
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        let mut vec = Vec::new();
+
+        while let Some(node) = que.pop_front() {                 // 队列出队
+            vec.push(node.borrow().val);                         // 保存结点值
+            if let Some(left) = node.borrow().left.as_ref() {
+                que.push_back(Rc::clone(left));                  // 左子结点入队
+            }
+            if let Some(right) = node.borrow().right.as_ref() {
+                que.push_back(Rc::clone(right));                 // 右子结点入队
+            };
+        }
+        vec
+    }
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_tree_bfs.c"
+    /* 层序遍历 */
+    int *levelOrder(TreeNode *root, int *size) {
+        /* 辅助队列 */
+        int front, rear;
+        int index, *arr;
+        TreeNode *node;
+        TreeNode **queue;
+
+        /* 辅助队列 */
+        queue = (TreeNode **)malloc(sizeof(TreeNode *) * MAX_NODE_SIZE);
+        // 队列指针
+        front = 0, rear = 0;
+        // 加入根节点
+        queue[rear++] = root;
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        /* 辅助数组 */
+        arr = (int *)malloc(sizeof(int) * MAX_NODE_SIZE);
+        // 数组指针
+        index = 0;
+        while (front < rear) {
+            // 队列出队
+            node = queue[front++];
+            // 保存节点值
+            arr[index++] = node->val;
+            if (node->left != NULL) {
+                // 左子节点入队
+                queue[rear++] = node->left;
+            }
+            if (node->right != NULL) {
+                // 右子节点入队
+                queue[rear++] = node->right;
+            }
+        }
+        // 更新数组长度的值
+        *size = index;
+        arr = realloc(arr, sizeof(int) * (*size));
+
+        // 释放辅助数组空间
+        free(queue);
+        return arr;
+    }
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_tree_bfs.zig"
+    // 层序遍历
+    fn levelOrder(comptime T: type, mem_allocator: std.mem.Allocator, root: *inc.TreeNode(T)) !std.ArrayList(T) {
+        // 初始化队列，加入根节点
+        const L = std.TailQueue(*inc.TreeNode(T));
+        var queue = L{};
+        var root_node = try mem_allocator.create(L.Node);
+        root_node.data = root;
+        queue.append(root_node); 
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        var list = std.ArrayList(T).init(std.heap.page_allocator);
+        while (queue.len > 0) {
+            var queue_node = queue.popFirst().?;    // 队列出队
+            var node = queue_node.data;
+            try list.append(node.val);              // 保存节点值
+            if (node.left != null) {
+                var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node);
+                tmp_node.data = node.left.?;
+                queue.append(tmp_node);             // 左子节点入队
+            }
+            if (node.right != null) {
+                var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node);
+                tmp_node.data = node.right.?;
+                queue.append(tmp_node);             // 右子节点入队
+            }        
+        }
+        return list;
+    }
+    ```
+
+### 2. &nbsp; 复杂度分析
+
+- **时间复杂度 $O(n)$** ：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为节点数量。
+- **空间复杂度 $O(n)$** ：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 $(n + 1) / 2$ 个节点，占用 $O(n)$ 空间。
+
+## 7.2.2 &nbsp; 前序、中序、后序遍历
+
+相应地，前序、中序和后序遍历都属于「深度优先遍历 depth-first traversal」，它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。
+
+图 7-10 展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。**深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈**，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。
+
+![二叉搜索树的前、中、后序遍历](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_dfs.png)
+
+<p align="center"> 图 7-10 &nbsp; 二叉搜索树的前、中、后序遍历 </p>
+
+### 1. &nbsp; 代码实现
+
+深度优先搜索通常基于递归实现：
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_tree_dfs.py"
+    def pre_order(root: TreeNode | None):
+        """前序遍历"""
+        if root is None:
+            return
+        # 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        res.append(root.val)
+        pre_order(root=root.left)
+        pre_order(root=root.right)
+
+    def in_order(root: TreeNode | None):
+        """中序遍历"""
+        if root is None:
+            return
+        # 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        in_order(root=root.left)
+        res.append(root.val)
+        in_order(root=root.right)
+
+    def post_order(root: TreeNode | None):
+        """后序遍历"""
+        if root is None:
+            return
+        # 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        post_order(root=root.left)
+        post_order(root=root.right)
+        res.append(root.val)
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_tree_dfs.cpp"
+    /* 前序遍历 */
+    void preOrder(TreeNode *root) {
+        if (root == nullptr)
+            return;
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        vec.push_back(root->val);
+        preOrder(root->left);
+        preOrder(root->right);
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    void inOrder(TreeNode *root) {
+        if (root == nullptr)
+            return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        inOrder(root->left);
+        vec.push_back(root->val);
+        inOrder(root->right);
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    void postOrder(TreeNode *root) {
+        if (root == nullptr)
+            return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        postOrder(root->left);
+        postOrder(root->right);
+        vec.push_back(root->val);
+    }
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_tree_dfs.java"
+    /* 前序遍历 */
+    void preOrder(TreeNode root) {
+        if (root == null)
+            return;
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        list.add(root.val);
+        preOrder(root.left);
+        preOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    void inOrder(TreeNode root) {
+        if (root == null)
+            return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        inOrder(root.left);
+        list.add(root.val);
+        inOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    void postOrder(TreeNode root) {
+        if (root == null)
+            return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        postOrder(root.left);
+        postOrder(root.right);
+        list.add(root.val);
+    }
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_tree_dfs.cs"
+    /* 前序遍历 */
+    void PreOrder(TreeNode? root) {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        list.Add(root.val);
+        PreOrder(root.left);
+        PreOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    void InOrder(TreeNode? root) {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        InOrder(root.left);
+        list.Add(root.val);
+        InOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    void PostOrder(TreeNode? root) {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        PostOrder(root.left);
+        PostOrder(root.right);
+        list.Add(root.val);
+    }
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_tree_dfs.go"
+    /* 前序遍历 */
+    func preOrder(node *TreeNode) {
+        if node == nil {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        nums = append(nums, node.Val)
+        preOrder(node.Left)
+        preOrder(node.Right)
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    func inOrder(node *TreeNode) {
+        if node == nil {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        inOrder(node.Left)
+        nums = append(nums, node.Val)
+        inOrder(node.Right)
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    func postOrder(node *TreeNode) {
+        if node == nil {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        postOrder(node.Left)
+        postOrder(node.Right)
+        nums = append(nums, node.Val)
+    }
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_tree_dfs.swift"
+    /* 前序遍历 */
+    func preOrder(root: TreeNode?) {
+        guard let root = root else {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        list.append(root.val)
+        preOrder(root: root.left)
+        preOrder(root: root.right)
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    func inOrder(root: TreeNode?) {
+        guard let root = root else {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        inOrder(root: root.left)
+        list.append(root.val)
+        inOrder(root: root.right)
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    func postOrder(root: TreeNode?) {
+        guard let root = root else {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        postOrder(root: root.left)
+        postOrder(root: root.right)
+        list.append(root.val)
+    }
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="binary_tree_dfs.js"
+    /* 前序遍历 */
+    function preOrder(root) {
+        if (root === null) return;
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        list.push(root.val);
+        preOrder(root.left);
+        preOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    function inOrder(root) {
+        if (root === null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        inOrder(root.left);
+        list.push(root.val);
+        inOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    function postOrder(root) {
+        if (root === null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        postOrder(root.left);
+        postOrder(root.right);
+        list.push(root.val);
+    }
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="binary_tree_dfs.ts"
+    /* 前序遍历 */
+    function preOrder(root: TreeNode | null): void {
+        if (root === null) {
+            return;
+        }
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        list.push(root.val);
+        preOrder(root.left);
+        preOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    function inOrder(root: TreeNode | null): void {
+        if (root === null) {
+            return;
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        inOrder(root.left);
+        list.push(root.val);
+        inOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    function postOrder(root: TreeNode | null): void {
+        if (root === null) {
+            return;
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        postOrder(root.left);
+        postOrder(root.right);
+        list.push(root.val);
+    }
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="binary_tree_dfs.dart"
+    /* 前序遍历 */
+    void preOrder(TreeNode? node) {
+      if (node == null) return;
+      // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+      list.add(node.val);
+      preOrder(node.left);
+      preOrder(node.right);
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    void inOrder(TreeNode? node) {
+      if (node == null) return;
+      // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+      inOrder(node.left);
+      list.add(node.val);
+      inOrder(node.right);
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    void postOrder(TreeNode? node) {
+      if (node == null) return;
+      // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+      postOrder(node.left);
+      postOrder(node.right);
+      list.add(node.val);
+    }
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="binary_tree_dfs.rs"
+    /* 前序遍历 */
+    fn pre_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
+        let mut result = vec![];
+
+        if let Some(node) = root {
+            // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+            result.push(node.borrow().val);
+            result.append(&mut pre_order(node.borrow().left.as_ref()));
+            result.append(&mut pre_order(node.borrow().right.as_ref()));
+        }
+        result
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    fn in_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
+        let mut result = vec![];
+
+        if let Some(node) = root {
+            // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+            result.append(&mut in_order(node.borrow().left.as_ref()));
+            result.push(node.borrow().val);
+            result.append(&mut in_order(node.borrow().right.as_ref()));
+        }
+        result
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    fn post_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
+        let mut result = vec![];
+
+        if let Some(node) = root {
+            // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+            result.append(&mut post_order(node.borrow().left.as_ref()));
+            result.append(&mut post_order(node.borrow().right.as_ref()));
+            result.push(node.borrow().val);
+        }
+        result
+    }
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_tree_dfs.c"
+    /* 前序遍历 */
+    void preOrder(TreeNode *root, int *size) {
+        if (root == NULL)
+            return;
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        arr[(*size)++] = root->val;
+        preOrder(root->left, size);
+        preOrder(root->right, size);
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    void inOrder(TreeNode *root, int *size) {
+        if (root == NULL)
+            return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        inOrder(root->left, size);
+        arr[(*size)++] = root->val;
+        inOrder(root->right, size);
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    void postOrder(TreeNode *root, int *size) {
+        if (root == NULL)
+            return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        postOrder(root->left, size);
+        postOrder(root->right, size);
+        arr[(*size)++] = root->val;
+    }
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_tree_dfs.zig"
+    // 前序遍历
+    fn preOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        try list.append(root.?.val);
+        try preOrder(T, root.?.left);
+        try preOrder(T, root.?.right);
+    }
+
+    // 中序遍历
+    fn inOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        try inOrder(T, root.?.left);
+        try list.append(root.?.val);
+        try inOrder(T, root.?.right);
+    }
+
+    // 后序遍历
+    fn postOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        try postOrder(T, root.?.left);
+        try postOrder(T, root.?.right);
+        try list.append(root.?.val);
+    }
+    ```
+
+!!! note
+
+    深度优先搜索也可以基于迭代实现，有兴趣的同学可以自行研究。
+
+图 7-11 展示了前序遍历二叉树的递归过程，其可分为“递”和“归”两个逆向的部分。
+
+1. “递”表示开启新方法，程序在此过程中访问下一个节点。
+2. “归”表示函数返回，代表当前节点已经访问完毕。
+
+=== "<1>"
+    ![前序遍历的递归过程](binary_tree_traversal.assets/preorder_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![preorder_step2](binary_tree_traversal.assets/preorder_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![preorder_step3](binary_tree_traversal.assets/preorder_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![preorder_step4](binary_tree_traversal.assets/preorder_step4.png)
+
+=== "<5>"
+    ![preorder_step5](binary_tree_traversal.assets/preorder_step5.png)
+
+=== "<6>"
+    ![preorder_step6](binary_tree_traversal.assets/preorder_step6.png)
+
+=== "<7>"
+    ![preorder_step7](binary_tree_traversal.assets/preorder_step7.png)
+
+=== "<8>"
+    ![preorder_step8](binary_tree_traversal.assets/preorder_step8.png)
+
+=== "<9>"
+    ![preorder_step9](binary_tree_traversal.assets/preorder_step9.png)
+
+=== "<10>"
+    ![preorder_step10](binary_tree_traversal.assets/preorder_step10.png)
+
+=== "<11>"
+    ![preorder_step11](binary_tree_traversal.assets/preorder_step11.png)
+
+<p align="center"> 图 7-11 &nbsp; 前序遍历的递归过程 </p>
+
+### 2. &nbsp; 复杂度分析
+
+- **时间复杂度 $O(n)$** ：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间。
+- **空间复杂度 $O(n)$** ：在最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到 $n$ ，系统占用 $O(n)$ 栈帧空间。
@@ -0,0 +1,27 @@
+---
+comments: true
+icon: material/graph-outline
+---
+
+# 第 7 章 &nbsp; 树
+
+<div class="center-table" markdown>
+
+![树](../assets/covers/chapter_tree.jpg){ width="600" }
+
+</div>
+
+!!! abstract
+
+    参天大树充满生命力，其根深叶茂，分枝扶疏。
+    
+    它为我们展现了数据分治的生动形态。
+
+## 本章内容
+
+- [7.1 &nbsp; 二叉树](https://www.hello-algo.com/chapter_tree/binary_tree/)
+- [7.2 &nbsp; 二叉树遍历](https://www.hello-algo.com/chapter_tree/binary_tree_traversal/)
+- [7.3 &nbsp; 二叉树数组表示](https://www.hello-algo.com/chapter_tree/array_representation_of_tree/)
+- [7.4 &nbsp; 二叉搜索树](https://www.hello-algo.com/chapter_tree/binary_search_tree/)
+- [7.5 &nbsp; AVL 树 *](https://www.hello-algo.com/chapter_tree/avl_tree/)
+- [7.6 &nbsp; 小结](https://www.hello-algo.com/chapter_tree/summary/)
@@ -0,0 +1,58 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 7.6 &nbsp; 小结
+
+### 1. &nbsp; 重点回顾
+
+- 二叉树是一种非线性数据结构，体现“一分为二”的分治逻辑。每个二叉树节点包含一个值以及两个指针，分别指向其左子节点和右子节点。
+- 对于二叉树中的某个节点，其左（右）子节点及其以下形成的树被称为该节点的左（右）子树。
+- 二叉树的相关术语包括根节点、叶节点、层、度、边、高度和深度等。
+- 二叉树的初始化、节点插入和节点删除操作与链表操作方法类似。
+- 常见的二叉树类型有完美二叉树、完全二叉树、满二叉树和平衡二叉树。完美二叉树是最理想的状态，而链表是退化后的最差状态。
+- 二叉树可以用数组表示，方法是将节点值和空位按层序遍历顺序排列，并根据父节点与子节点之间的索引映射关系来实现指针。
+- 二叉树的层序遍历是一种广度优先搜索方法，它体现了“一圈一圈向外”的分层遍历方式，通常通过队列来实现。
+- 前序、中序、后序遍历皆属于深度优先搜索，它们体现了“走到尽头，再回头继续”的回溯遍历方式，通常使用递归来实现。
+- 二叉搜索树是一种高效的元素查找数据结构，其查找、插入和删除操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$ 。当二叉搜索树退化为链表时，各项时间复杂度会劣化至 $O(n)$ 。
+- AVL 树，也称为平衡二叉搜索树，它通过旋转操作，确保在不断插入和删除节点后，树仍然保持平衡。
+- AVL 树的旋转操作包括右旋、左旋、先右旋再左旋、先左旋再右旋。在插入或删除节点后，AVL 树会从底向顶执行旋转操作，使树重新恢复平衡。
+
+### 2. &nbsp; Q & A
+
+!!! question "对于只有一个节点的二叉树，树的高度和根节点的深度都是 $0$ 吗？"
+
+    是的，因为高度和深度通常定义为“走过边的数量”。
+
+!!! question "二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这里的“一套操作”指什么呢？可以理解为资源的子节点的资源释放吗？"
+
+    拿二叉搜索树来举例，删除节点操作要分为三种情况处理，其中每种情况都需要进行多个步骤的节点操作。
+
+!!! question "为什么 DFS 遍历二叉树有前、中、后三种顺序，分别有什么用呢？"
+
+    DFS 的前、中、后序遍历和访问数组的顺序类似，是遍历二叉树的基本方法，利用这三种遍历方法，我们可以得到一个特定顺序的遍历结果。例如在二叉搜索树中，由于结点大小满足 `左子结点值 < 根结点值 < 右子结点值` ，因此我们只要按照 `左->根->右` 的优先级遍历树，就可以获得有序的节点序列。
+
+!!! question "右旋操作是处理失衡节点 `node`、`child`、`grand_child` 之间的关系，那 `node` 的父节点和 `node` 原来的连接不需要维护吗？右旋操作后岂不是断掉了？"
+
+    我们需要从递归的视角来看这个问题。右旋操作 `right_rotate(root)` 传入的是子树的根节点，最终 `return child` 返回旋转之后的子树的根节点。子树的根节点和其父节点的连接是在该函数返回后完成的，不属于右旋操作的维护范围。
+
+!!! question "在 C++ 中，函数被划分到 `private` 和 `public` 中，这方面有什么考量吗？为什么要将 `height()` 函数和 `updateHeight()` 函数分别放在 `public` 和 `private` 中呢？"
+
+    主要看方法的使用范围，如果方法只在类内部使用，那么就设计为 `private` 。例如，用户单独调用 `updateHeight()` 是没有意义的，它只是插入、删除操作中的一步。而 `height()` 是访问结点高度，类似于 `vector.size()` ，因此设置成 `public` 以便使用。
+
+!!! question "请问如何从一组输入数据构建一个二叉搜索树？根节点的选择是不是很重要？"
+
+    是的，构建树的方法已在二叉搜索树代码中的 `build_tree()` 方法中给出。至于根节点的选择，我们通常会将输入数据排序，然后用中点元素作为根节点，再递归地构建左右子树。这样做可以最大程度保证树的平衡性。
+
+!!! question "在 Java 中，字符串对比是否一定要用 `equals()` 方法？"
+
+    在 Java 中，对于基本数据类型，`==` 用于对比两个变量的值是否相等。对于引用类型，两种符号的工作原理是不同的。
+
+    - `==` ：用来比较两个变量是否指向同一个对象，即它们在内存中的位置是否相同。
+    - `equals()`：用来对比两个对象的值是否相等。
+
+    因此如果要对比值，我们通常会用 `equals()` 。然而，通过 `String a = "hi"; String b = "hi";` 初始化的字符串都存储在字符串常量池中，它们指向同一个对象，因此也可以用 `a == b` 来比较两个字符串的内容。
+
+!!! question "广度优先遍历到最底层之前，队列中的节点数量是 $2^h$ 吗？"
+
+    是的，例如高度 $h = 2$ 的满二叉树，其节点总数 $n = 7$ ，则底层节点数量 $4 = 2^h = (n + 1) / 2$ 。