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docs/chapter_tree/binary_tree_traversal.md

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+---
+comments: true
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+
+# 7.2   二叉树遍历
+
+从物理结构的角度来看，树是一种基于链表的数据结构，因此其遍历方式是通过指针逐个访问节点。然而，树是一种非线性数据结构，这使得遍历树比遍历链表更加复杂，需要借助搜索算法来实现。
+
+二叉树常见的遍历方式包括层序遍历、前序遍历、中序遍历和后序遍历等。
+
+## 7.2.1   层序遍历
+
+如图 7-9 所示，「层序遍历 level-order traversal」从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。
+
+层序遍历本质上属于「广度优先遍历 breadth-first traversal」，它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。
+
+![二叉树的层序遍历](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_bfs.png)
+
+<p align="center"> 图 7-9 &nbsp; 二叉树的层序遍历 </p>
+
+### 1. &nbsp; 代码实现
+
+广度优先遍历通常借助“队列”来实现。队列遵循“先进先出”的规则，而广度优先遍历则遵循“逐层推进”的规则，两者背后的思想是一致的。
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_tree_bfs.py"
+    def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]:
+        """层序遍历"""
+        # 初始化队列，加入根节点
+        queue: deque[TreeNode] = deque()
+        queue.append(root)
+        # 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        res = []
+        while queue:
+            node: TreeNode = queue.popleft()  # 队列出队
+            res.append(node.val)  # 保存节点值
+            if node.left is not None:
+                queue.append(node.left)  # 左子节点入队
+            if node.right is not None:
+                queue.append(node.right)  # 右子节点入队
+        return res
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_tree_bfs.cpp"
+    /* 层序遍历 */
+    vector<int> levelOrder(TreeNode *root) {
+        // 初始化队列，加入根节点
+        queue<TreeNode *> queue;
+        queue.push(root);
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        vector<int> vec;
+        while (!queue.empty()) {
+            TreeNode *node = queue.front();
+            queue.pop();              // 队列出队
+            vec.push_back(node->val); // 保存节点值
+            if (node->left != nullptr)
+                queue.push(node->left); // 左子节点入队
+            if (node->right != nullptr)
+                queue.push(node->right); // 右子节点入队
+        }
+        return vec;
+    }
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_tree_bfs.java"
+    /* 层序遍历 */
+    List<Integer> levelOrder(TreeNode root) {
+        // 初始化队列，加入根节点
+        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
+        queue.add(root);
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        List<Integer> list = new ArrayList<>();
+        while (!queue.isEmpty()) {
+            TreeNode node = queue.poll(); // 队列出队
+            list.add(node.val);           // 保存节点值
+            if (node.left != null)
+                queue.offer(node.left);   // 左子节点入队
+            if (node.right != null)
+                queue.offer(node.right);  // 右子节点入队
+        }
+        return list;
+    }
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_tree_bfs.cs"
+    /* 层序遍历 */
+    List<int> LevelOrder(TreeNode root) {
+        // 初始化队列，加入根节点
+        Queue<TreeNode> queue = new();
+        queue.Enqueue(root);
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        List<int> list = new();
+        while (queue.Count != 0) {
+            TreeNode node = queue.Dequeue(); // 队列出队
+            list.Add(node.val);              // 保存节点值
+            if (node.left != null)
+                queue.Enqueue(node.left);    // 左子节点入队
+            if (node.right != null)
+                queue.Enqueue(node.right);   // 右子节点入队
+        }
+        return list;
+    }
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_tree_bfs.go"
+    /* 层序遍历 */
+    func levelOrder(root *TreeNode) []any {
+        // 初始化队列，加入根节点
+        queue := list.New()
+        queue.PushBack(root)
+        // 初始化一个切片，用于保存遍历序列
+        nums := make([]any, 0)
+        for queue.Len() > 0 {
+            // 队列出队
+            node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
+            // 保存节点值
+            nums = append(nums, node.Val)
+            if node.Left != nil {
+                // 左子节点入队
+                queue.PushBack(node.Left)
+            }
+            if node.Right != nil {
+                // 右子节点入队
+                queue.PushBack(node.Right)
+            }
+        }
+        return nums
+    }
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_tree_bfs.swift"
+    /* 层序遍历 */
+    func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
+        // 初始化队列，加入根节点
+        var queue: [TreeNode] = [root]
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        var list: [Int] = []
+        while !queue.isEmpty {
+            let node = queue.removeFirst() // 队列出队
+            list.append(node.val) // 保存节点值
+            if let left = node.left {
+                queue.append(left) // 左子节点入队
+            }
+            if let right = node.right {
+                queue.append(right) // 右子节点入队
+            }
+        }
+        return list
+    }
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="binary_tree_bfs.js"
+    /* 层序遍历 */
+    function levelOrder(root) {
+        // 初始化队列，加入根节点
+        const queue = [root];
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        const list = [];
+        while (queue.length) {
+            let node = queue.shift(); // 队列出队
+            list.push(node.val); // 保存节点值
+            if (node.left) queue.push(node.left); // 左子节点入队
+            if (node.right) queue.push(node.right); // 右子节点入队
+        }
+        return list;
+    }
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="binary_tree_bfs.ts"
+    /* 层序遍历 */
+    function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] {
+        // 初始化队列，加入根节点
+        const queue = [root];
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        const list: number[] = [];
+        while (queue.length) {
+            let node = queue.shift() as TreeNode; // 队列出队
+            list.push(node.val); // 保存节点值
+            if (node.left) {
+                queue.push(node.left); // 左子节点入队
+            }
+            if (node.right) {
+                queue.push(node.right); // 右子节点入队
+            }
+        }
+        return list;
+    }
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="binary_tree_bfs.dart"
+    /* 层序遍历 */
+    List<int> levelOrder(TreeNode? root) {
+      // 初始化队列，加入根节点
+      Queue<TreeNode?> queue = Queue();
+      queue.add(root);
+      // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+      List<int> res = [];
+      while (queue.isNotEmpty) {
+        TreeNode? node = queue.removeFirst(); // 队列出队
+        res.add(node!.val); // 保存节点值
+        if (node.left != null) queue.add(node.left); // 左子节点入队
+        if (node.right != null) queue.add(node.right); // 右子节点入队
+      }
+      return res;
+    }
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="binary_tree_bfs.rs"
+    /* 层序遍历 */
+    fn level_order(root: &Rc<RefCell<TreeNode>>) -> Vec<i32> {
+        // 初始化队列，加入根结点
+        let mut que = VecDeque::new();
+        que.push_back(Rc::clone(&root));
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        let mut vec = Vec::new();
+
+        while let Some(node) = que.pop_front() {                 // 队列出队
+            vec.push(node.borrow().val);                         // 保存结点值
+            if let Some(left) = node.borrow().left.as_ref() {
+                que.push_back(Rc::clone(left));                  // 左子结点入队
+            }
+            if let Some(right) = node.borrow().right.as_ref() {
+                que.push_back(Rc::clone(right));                 // 右子结点入队
+            };
+        }
+        vec
+    }
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_tree_bfs.c"
+    /* 层序遍历 */
+    int *levelOrder(TreeNode *root, int *size) {
+        /* 辅助队列 */
+        int front, rear;
+        int index, *arr;
+        TreeNode *node;
+        TreeNode **queue;
+
+        /* 辅助队列 */
+        queue = (TreeNode **)malloc(sizeof(TreeNode *) * MAX_NODE_SIZE);
+        // 队列指针
+        front = 0, rear = 0;
+        // 加入根节点
+        queue[rear++] = root;
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        /* 辅助数组 */
+        arr = (int *)malloc(sizeof(int) * MAX_NODE_SIZE);
+        // 数组指针
+        index = 0;
+        while (front < rear) {
+            // 队列出队
+            node = queue[front++];
+            // 保存节点值
+            arr[index++] = node->val;
+            if (node->left != NULL) {
+                // 左子节点入队
+                queue[rear++] = node->left;
+            }
+            if (node->right != NULL) {
+                // 右子节点入队
+                queue[rear++] = node->right;
+            }
+        }
+        // 更新数组长度的值
+        *size = index;
+        arr = realloc(arr, sizeof(int) * (*size));
+
+        // 释放辅助数组空间
+        free(queue);
+        return arr;
+    }
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_tree_bfs.zig"
+    // 层序遍历
+    fn levelOrder(comptime T: type, mem_allocator: std.mem.Allocator, root: *inc.TreeNode(T)) !std.ArrayList(T) {
+        // 初始化队列，加入根节点
+        const L = std.TailQueue(*inc.TreeNode(T));
+        var queue = L{};
+        var root_node = try mem_allocator.create(L.Node);
+        root_node.data = root;
+        queue.append(root_node); 
+        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
+        var list = std.ArrayList(T).init(std.heap.page_allocator);
+        while (queue.len > 0) {
+            var queue_node = queue.popFirst().?;    // 队列出队
+            var node = queue_node.data;
+            try list.append(node.val);              // 保存节点值
+            if (node.left != null) {
+                var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node);
+                tmp_node.data = node.left.?;
+                queue.append(tmp_node);             // 左子节点入队
+            }
+            if (node.right != null) {
+                var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node);
+                tmp_node.data = node.right.?;
+                queue.append(tmp_node);             // 右子节点入队
+            }        
+        }
+        return list;
+    }
+    ```
+
+### 2. &nbsp; 复杂度分析
+
+- **时间复杂度 $O(n)$** ：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为节点数量。
+- **空间复杂度 $O(n)$** ：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 $(n + 1) / 2$ 个节点，占用 $O(n)$ 空间。
+
+## 7.2.2 &nbsp; 前序、中序、后序遍历
+
+相应地，前序、中序和后序遍历都属于「深度优先遍历 depth-first traversal」，它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。
+
+图 7-10 展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。**深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈**，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。
+
+![二叉搜索树的前、中、后序遍历](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_dfs.png)
+
+<p align="center"> 图 7-10 &nbsp; 二叉搜索树的前、中、后序遍历 </p>
+
+### 1. &nbsp; 代码实现
+
+深度优先搜索通常基于递归实现：
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_tree_dfs.py"
+    def pre_order(root: TreeNode | None):
+        """前序遍历"""
+        if root is None:
+            return
+        # 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        res.append(root.val)
+        pre_order(root=root.left)
+        pre_order(root=root.right)
+
+    def in_order(root: TreeNode | None):
+        """中序遍历"""
+        if root is None:
+            return
+        # 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        in_order(root=root.left)
+        res.append(root.val)
+        in_order(root=root.right)
+
+    def post_order(root: TreeNode | None):
+        """后序遍历"""
+        if root is None:
+            return
+        # 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        post_order(root=root.left)
+        post_order(root=root.right)
+        res.append(root.val)
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_tree_dfs.cpp"
+    /* 前序遍历 */
+    void preOrder(TreeNode *root) {
+        if (root == nullptr)
+            return;
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        vec.push_back(root->val);
+        preOrder(root->left);
+        preOrder(root->right);
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    void inOrder(TreeNode *root) {
+        if (root == nullptr)
+            return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        inOrder(root->left);
+        vec.push_back(root->val);
+        inOrder(root->right);
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    void postOrder(TreeNode *root) {
+        if (root == nullptr)
+            return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        postOrder(root->left);
+        postOrder(root->right);
+        vec.push_back(root->val);
+    }
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_tree_dfs.java"
+    /* 前序遍历 */
+    void preOrder(TreeNode root) {
+        if (root == null)
+            return;
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        list.add(root.val);
+        preOrder(root.left);
+        preOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    void inOrder(TreeNode root) {
+        if (root == null)
+            return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        inOrder(root.left);
+        list.add(root.val);
+        inOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    void postOrder(TreeNode root) {
+        if (root == null)
+            return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        postOrder(root.left);
+        postOrder(root.right);
+        list.add(root.val);
+    }
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_tree_dfs.cs"
+    /* 前序遍历 */
+    void PreOrder(TreeNode? root) {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        list.Add(root.val);
+        PreOrder(root.left);
+        PreOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    void InOrder(TreeNode? root) {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        InOrder(root.left);
+        list.Add(root.val);
+        InOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    void PostOrder(TreeNode? root) {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        PostOrder(root.left);
+        PostOrder(root.right);
+        list.Add(root.val);
+    }
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_tree_dfs.go"
+    /* 前序遍历 */
+    func preOrder(node *TreeNode) {
+        if node == nil {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        nums = append(nums, node.Val)
+        preOrder(node.Left)
+        preOrder(node.Right)
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    func inOrder(node *TreeNode) {
+        if node == nil {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        inOrder(node.Left)
+        nums = append(nums, node.Val)
+        inOrder(node.Right)
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    func postOrder(node *TreeNode) {
+        if node == nil {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        postOrder(node.Left)
+        postOrder(node.Right)
+        nums = append(nums, node.Val)
+    }
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_tree_dfs.swift"
+    /* 前序遍历 */
+    func preOrder(root: TreeNode?) {
+        guard let root = root else {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        list.append(root.val)
+        preOrder(root: root.left)
+        preOrder(root: root.right)
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    func inOrder(root: TreeNode?) {
+        guard let root = root else {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        inOrder(root: root.left)
+        list.append(root.val)
+        inOrder(root: root.right)
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    func postOrder(root: TreeNode?) {
+        guard let root = root else {
+            return
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        postOrder(root: root.left)
+        postOrder(root: root.right)
+        list.append(root.val)
+    }
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="binary_tree_dfs.js"
+    /* 前序遍历 */
+    function preOrder(root) {
+        if (root === null) return;
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        list.push(root.val);
+        preOrder(root.left);
+        preOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    function inOrder(root) {
+        if (root === null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        inOrder(root.left);
+        list.push(root.val);
+        inOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    function postOrder(root) {
+        if (root === null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        postOrder(root.left);
+        postOrder(root.right);
+        list.push(root.val);
+    }
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="binary_tree_dfs.ts"
+    /* 前序遍历 */
+    function preOrder(root: TreeNode | null): void {
+        if (root === null) {
+            return;
+        }
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        list.push(root.val);
+        preOrder(root.left);
+        preOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    function inOrder(root: TreeNode | null): void {
+        if (root === null) {
+            return;
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        inOrder(root.left);
+        list.push(root.val);
+        inOrder(root.right);
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    function postOrder(root: TreeNode | null): void {
+        if (root === null) {
+            return;
+        }
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        postOrder(root.left);
+        postOrder(root.right);
+        list.push(root.val);
+    }
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="binary_tree_dfs.dart"
+    /* 前序遍历 */
+    void preOrder(TreeNode? node) {
+      if (node == null) return;
+      // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+      list.add(node.val);
+      preOrder(node.left);
+      preOrder(node.right);
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    void inOrder(TreeNode? node) {
+      if (node == null) return;
+      // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+      inOrder(node.left);
+      list.add(node.val);
+      inOrder(node.right);
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    void postOrder(TreeNode? node) {
+      if (node == null) return;
+      // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+      postOrder(node.left);
+      postOrder(node.right);
+      list.add(node.val);
+    }
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="binary_tree_dfs.rs"
+    /* 前序遍历 */
+    fn pre_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
+        let mut result = vec![];
+
+        if let Some(node) = root {
+            // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
+            result.push(node.borrow().val);
+            result.append(&mut pre_order(node.borrow().left.as_ref()));
+            result.append(&mut pre_order(node.borrow().right.as_ref()));
+        }
+        result
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    fn in_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
+        let mut result = vec![];
+
+        if let Some(node) = root {
+            // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
+            result.append(&mut in_order(node.borrow().left.as_ref()));
+            result.push(node.borrow().val);
+            result.append(&mut in_order(node.borrow().right.as_ref()));
+        }
+        result
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    fn post_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
+        let mut result = vec![];
+
+        if let Some(node) = root {
+            // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
+            result.append(&mut post_order(node.borrow().left.as_ref()));
+            result.append(&mut post_order(node.borrow().right.as_ref()));
+            result.push(node.borrow().val);
+        }
+        result
+    }
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_tree_dfs.c"
+    /* 前序遍历 */
+    void preOrder(TreeNode *root, int *size) {
+        if (root == NULL)
+            return;
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        arr[(*size)++] = root->val;
+        preOrder(root->left, size);
+        preOrder(root->right, size);
+    }
+
+    /* 中序遍历 */
+    void inOrder(TreeNode *root, int *size) {
+        if (root == NULL)
+            return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        inOrder(root->left, size);
+        arr[(*size)++] = root->val;
+        inOrder(root->right, size);
+    }
+
+    /* 后序遍历 */
+    void postOrder(TreeNode *root, int *size) {
+        if (root == NULL)
+            return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        postOrder(root->left, size);
+        postOrder(root->right, size);
+        arr[(*size)++] = root->val;
+    }
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_tree_dfs.zig"
+    // 前序遍历
+    fn preOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
+        try list.append(root.?.val);
+        try preOrder(T, root.?.left);
+        try preOrder(T, root.?.right);
+    }
+
+    // 中序遍历
+    fn inOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
+        try inOrder(T, root.?.left);
+        try list.append(root.?.val);
+        try inOrder(T, root.?.right);
+    }
+
+    // 后序遍历
+    fn postOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
+        if (root == null) return;
+        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
+        try postOrder(T, root.?.left);
+        try postOrder(T, root.?.right);
+        try list.append(root.?.val);
+    }
+    ```
+
+!!! note
+
+    深度优先搜索也可以基于迭代实现，有兴趣的同学可以自行研究。
+
+图 7-11 展示了前序遍历二叉树的递归过程，其可分为“递”和“归”两个逆向的部分。
+
+1. “递”表示开启新方法，程序在此过程中访问下一个节点。
+2. “归”表示函数返回，代表当前节点已经访问完毕。
+
+=== "<1>"
+    ![前序遍历的递归过程](binary_tree_traversal.assets/preorder_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![preorder_step2](binary_tree_traversal.assets/preorder_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![preorder_step3](binary_tree_traversal.assets/preorder_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![preorder_step4](binary_tree_traversal.assets/preorder_step4.png)
+
+=== "<5>"
+    ![preorder_step5](binary_tree_traversal.assets/preorder_step5.png)
+
+=== "<6>"
+    ![preorder_step6](binary_tree_traversal.assets/preorder_step6.png)
+
+=== "<7>"
+    ![preorder_step7](binary_tree_traversal.assets/preorder_step7.png)
+
+=== "<8>"
+    ![preorder_step8](binary_tree_traversal.assets/preorder_step8.png)
+
+=== "<9>"
+    ![preorder_step9](binary_tree_traversal.assets/preorder_step9.png)
+
+=== "<10>"
+    ![preorder_step10](binary_tree_traversal.assets/preorder_step10.png)
+
+=== "<11>"
+    ![preorder_step11](binary_tree_traversal.assets/preorder_step11.png)
+
+<p align="center"> 图 7-11 &nbsp; 前序遍历的递归过程 </p>
+
+### 2. &nbsp; 复杂度分析
+
+- **时间复杂度 $O(n)$** ：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间。
+- **空间复杂度 $O(n)$** ：在最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到 $n$ ，系统占用 $O(n)$ 栈帧空间。