xinyin025/hello-algo
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2023-02-27 03:45:08 +08:00
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+76 -37
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0.4. &nbsp; 一起参与创作
</a>
</li>
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2. &nbsp; &nbsp; 计算复杂度
2. &nbsp; &nbsp; 复杂度分析
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2. &nbsp; &nbsp; 复杂度分析
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12. &nbsp; &nbsp; 附录
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12. &nbsp; &nbsp; 附录
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12.1. &nbsp; 编程环境安装
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12.2. &nbsp; 一起参与创作
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参考文献
</label>
@@ -1719,7 +1758,7 @@
<p>如果感觉对复杂度分析的概念一知半解，无需担心，后续章节会展开介绍。</p>
<h2 id="213">2.1.3. &nbsp; 复杂度分析重要性<a class="headerlink" href="#213" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>复杂度分析给出一把评价算法效率的“标尺”，告诉我们执行某个算法需要多少时间和空间资源，也让我们可以开展不同算法之间的效率对比。</p>
<p>计算复杂度是个数学概念，对于初学者可能比较抽象，学习难度相对较高。从这个角度出发，其并不适合作为第一章内容。但是，当我们讨论某个数据结构或者算法的特点时，难以避免需要分析它的运行速度和空间使用情况。<strong>因此，在展开学习数据结构与算法之前，建议读者先对计算复杂度建立起初步的了解，并且能够完成简单案例的复杂度分析</strong>。</p>
<p>复杂度是个数学概念，对于初学者可能比较抽象，学习难度相对较高。从这个角度出发，其并不适合作为第一章内容。但是，当我们讨论某个数据结构或者算法的特点时，难以避免需要分析它的运行速度和空间使用情况。<strong>因此，在展开学习数据结构与算法之前，建议读者先对复杂度建立起初步的了解，并且能够完成简单案例的复杂度分析</strong>。</p>
chapter_computational_complexity/space_complexity/index.html
+75 -36
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0.4. &nbsp; 一起参与创作
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12. &nbsp; &nbsp; 附录
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参考文献
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chapter_computational_complexity/space_time_tradeoff/index.html
+84 -41
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</a>
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0.4. &nbsp; 一起参与创作
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2. &nbsp; &nbsp; 复杂度分析
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<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
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12. &nbsp; &nbsp; 附录
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12. &nbsp; &nbsp; 附录
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12.1. &nbsp; 编程环境安装
</a>
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12.2. &nbsp; 一起参与创作
</a>
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</ul>
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<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
参考文献
</label>
@@ -1673,10 +1712,9 @@
<p>你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是，数组中同一个元素在答案里不能重复出现。</p>
<p>你可以按任意顺序返回答案。</p>
</div>
<p>「暴力枚举」和「辅助哈希表」分别为 <strong>空间最优</strong> 和 <strong>时间最优</strong> 的两种解法。本着时间比空间更宝贵的原则，后者是本题的最佳解法。</p>
<p>「暴力枚举」和「辅助哈希表」分别对应 <strong>空间最优</strong> 和 <strong>时间最优</strong> 的两种解法。本着时间比空间更宝贵的原则，后者是本题的最佳解法。</p>
<h3 id="_1">方法一：暴力枚举<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>时间复杂度 <span class="arithmatex">\(O(N^2)\)</span> ，空间复杂度 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> ，属于「时间换空间」。</p>
<p>虽然仅使用常数大小的额外空间，但运行速度过慢。</p>
<p>考虑直接遍历所有所有可能性。通过开启一个两层循环，判断两个整数的和是否为 <code>target</code> ，若是则返回它俩的索引（即下标）即可。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:10"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_1_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label></div>
<div class="tabbed-content">
<div class="tabbed-block">
@@ -1825,9 +1863,13 @@
</div>
</div>
</div>
<p>该方法的时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(N^2)\)</span> ，空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> ，<strong>属于时间换空间</strong>。本方法时间复杂度较高，在大数据量下非常耗时。</p>
<h3 id="_2">方法二：辅助哈希表<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>时间复杂度 <span class="arithmatex">\(O(N)\)</span> ，空间复杂度 <span class="arithmatex">\(O(N)\)</span> ，属于「空间换时间」。</p>
<p>借助辅助哈希表 dic ，通过保存数组元素与索引的映射来提升算法运行速度。</p>
<p>考虑借助一个哈希表，key 为数组元素、value 为元素索引。循环遍历数组中的每个元素 <code>num</code> ，并执行：</p>
<ol>
<li>判断数字 <code>target - num</code> 是否在哈希表中，若是则直接返回该两个元素的索引；</li>
<li>将元素 <code>num</code> 和其索引添加进哈希表；</li>
</ol>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:10"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label></div>
<div class="tabbed-content">
<div class="tabbed-block">
@@ -1989,6 +2031,7 @@
</div>
</div>
</div>
<p>该方法的时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(N)\)</span> ，空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(N)\)</span> ，<strong>体现空间换时间</strong>。本方法虽然引入了额外空间使用，但时间和空间使用整体更加均衡，因此为本题最优解法。</p>
chapter_computational_complexity/summary/index.html
+75 -36
View File
@@ -261,10 +261,6 @@
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0.4. &nbsp; 一起参与创作
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</li>
</ul>
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</li>
@@ -462,14 +430,14 @@
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2. &nbsp; &nbsp; 计算复杂度
2. &nbsp; &nbsp; 复杂度分析
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2. &nbsp; &nbsp; 计算复杂度
2. &nbsp; &nbsp; 复杂度分析
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12. &nbsp; &nbsp; 附录
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
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12. &nbsp; &nbsp; 附录
</label>
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</a>
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12.2. &nbsp; 一起参与创作
</a>
</li>
</ul>
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</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--section md-nav__item--nested">
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<label class="md-nav__title" for="__nav_14">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
参考文献
</label>
chapter_computational_complexity/time_complexity/index.html
+76 -37
View File
@@ -261,10 +261,6 @@
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</a>
</li>
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0.4. &nbsp; 一起参与创作
</a>
</li>
</ul>
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</li>
@@ -462,14 +430,14 @@
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2. &nbsp; &nbsp; 计算复杂度
2. &nbsp; &nbsp; 复杂度分析
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
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2. &nbsp; &nbsp; 计算复杂度
2. &nbsp; &nbsp; 复杂度分析
</label>
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12. &nbsp; &nbsp; 附录
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12. &nbsp; &nbsp; 附录
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_appendix/installation/" class="md-nav__link">
12.1. &nbsp; 编程环境安装
</a>
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<li class="md-nav__item">
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12.2. &nbsp; 一起参与创作
</a>
</li>
</ul>
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</li>
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<label class="md-nav__title" for="__nav_14">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
参考文献
</label>
@@ -2174,7 +2213,7 @@
<p>相比直接统计算法运行时间，时间复杂度分析的做法有什么好处呢？以及有什么不足？</p>
<p><strong>时间复杂度可以有效评估算法效率</strong>。算法 <code>B</code> 运行时间的增长是线性的，在 <span class="arithmatex">\(n &gt; 1\)</span> 时慢于算法 <code>A</code> ，在 <span class="arithmatex">\(n &gt; 1000000\)</span> 时慢于算法 <code>C</code> 。实质上，只要输入数据大小 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 足够大，复杂度为「常数阶」的算法一定优于「线性阶」的算法，这也正是时间增长趋势的含义。</p>
<p><strong>时间复杂度的推算方法更加简便</strong>。在时间复杂度分析中，我们可以将统计「计算操作的运行时间」简化为统计「计算操作的数量」，这是因为，无论是运行平台还是计算操作类型，都与算法运行时间的增长趋势无关。因而，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间统一看作是相同的“单位时间”，这样的简化做法大大降低了估算难度。</p>
<p><strong>时间复杂度也存在一定的局限性</strong>。比如，虽然算法 <code>A</code> 和 <code>C</code> 的时间复杂度相同，但是实际的运行时间有非常大的差别。再比如，虽然算法 <code>B</code> 比 <code>C</code> 的时间复杂度要更高，但在输入数据大小 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 比较小时，算法 <code>B</code> 是要明显优于算法 <code>C</code> 的。对于以上情况，我们很难仅凭时间复杂度来判定算法效率高低。然而，即使存在这些问题，计算复杂度仍然是评判算法效率的最有效且常用的方法。</p>
<p><strong>时间复杂度也存在一定的局限性</strong>。比如，虽然算法 <code>A</code> 和 <code>C</code> 的时间复杂度相同，但是实际的运行时间有非常大的差别。再比如，虽然算法 <code>B</code> 比 <code>C</code> 的时间复杂度要更高，但在输入数据大小 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 比较小时，算法 <code>B</code> 是要明显优于算法 <code>C</code> 的。对于以上情况，我们很难仅凭时间复杂度来判定算法效率高低。然而，即使存在这些问题，复杂度分析仍然是评判算法效率的最有效且常用的方法。</p>
<h2 id="223">2.2.3. &nbsp; 函数渐近上界<a class="headerlink" href="#223" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>设算法「计算操作数量」为 <span class="arithmatex">\(T(n)\)</span> ，其是一个关于输入数据大小 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的函数。例如，以下算法的操作数量为</p>
<div class="arithmatex">\[