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chapter_sorting/insertion_sort.md
+62 -61
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@@ -2,23 +2,26 @@
comments: true
---
# 11.3.   插入排序
# 11.4.   插入排序
「插入排序 Insertion Sort」是一种基于数组插入操作的排序算法。具体来说，选择一个待排序的元素作为基准值 `base` ，将 `base` 与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小，并将其插入到正确的位置。
「插入排序 Insertion Sort」是一种简单的排序算法，它的工作原理与手动整理一副牌的过程非常相似。
回顾数组插入操作，我们需要将从目标索引到 `base` 之间的所有元素向右移动一位，然后再将 `base` 赋值给目标索引。
具体来说，我们在未排序区间选择一个基准元素，将该元素与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小，并将该元素插入到正确的位置。
回忆数组的元素插入操作，设基准元素为 `base` ，我们需要将从目标索引到 `base` 之间的所有元素向右移动一位，然后再将 `base` 赋值给目标索引。
![单次插入操作](insertion_sort.assets/insertion_operation.png)
<p align="center"> Fig. 单次插入操作 </p>
## 11.3.1. &nbsp; 算法流程
## 11.4.1. &nbsp; 算法流程
插入排序的整体流程如下：
1. 首先，选取数组的第 2 个元素作为 `base` ，执行插入操作后，**数组的前 2 个元素已排序**。
2. 接着，选取第 3 个元素作为 `base` ，执行插入操作后，**数组的前 3 个元素已排序**。
3. 以此类推，在最后一轮中，选取数组尾元素作为 `base` ，执行插入操作后，**所有元素均已排序**。
1. 初始状态下，数组的第 1 个元素已完成排序。
2. 选取数组的第 2 个元素作为 `base` ，将其插入到正确位置后，**数组的前 2 个元素已排序**。
3. 选取第 3 个元素作为 `base` ，将其插入到正确位置后，**数组的前 3 个元素已排序**。
4. 以此类推，在最后一轮中，选取最后一个元素作为 `base` ，将其插入到正确位置后，**所有元素均已排序**。
![插入排序流程](insertion_sort.assets/insertion_sort_overview.png)
@@ -29,15 +32,15 @@ comments: true
```java title="insertion_sort.java"
/* 插入排序 */
void insertionSort(int[] nums) {
// 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
// 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
int base = nums[i], j = i - 1;
// 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
// 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
while (j >= 0 && nums[j] > base) {
nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
j--;
}
nums[j + 1] = base; // 2. 将 base 赋值到正确位置
nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
@@ -47,15 +50,15 @@ comments: true
```cpp title="insertion_sort.cpp"
/* 插入排序 */
void insertionSort(vector<int> &nums) {
// 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
// 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
int base = nums[i], j = i - 1;
// 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
// 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
while (j >= 0 && nums[j] > base) {
nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
j--;
}
nums[j + 1] = base; // 2. 将 base 赋值到正确位置
nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
@@ -65,15 +68,15 @@ comments: true
```python title="insertion_sort.py"
def insertion_sort(nums: list[int]) -> None:
"""插入排序"""
# 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
# 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
for i in range(1, len(nums)):
base = nums[i]
j = i - 1
# 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
# 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
while j >= 0 and nums[j] > base:
nums[j + 1] = nums[j] # 1. 将 nums[j] 向右移动一位
nums[j + 1] = nums[j] # 将 nums[j] 向右移动一位
j -= 1
nums[j + 1] = base # 2. 将 base 赋值到正确位置
nums[j + 1] = base # 将 base 赋值到正确位置
```
=== "Go"
@@ -81,16 +84,16 @@ comments: true
```go title="insertion_sort.go"
/* 插入排序 */
func insertionSort(nums []int) {
// 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for i := 1; i < len(nums); i++ {
base := nums[i]
j := i - 1
// 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
// 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
for j >= 0 && nums[j] > base {
nums[j+1] = nums[j] // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
nums[j+1] = nums[j] // 将 nums[j] 向右移动一位
j--
}
nums[j+1] = base // 2. 将 base 赋值到正确位置
nums[j+1] = base // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
@@ -100,16 +103,16 @@ comments: true
```javascript title="insertion_sort.js"
/* 插入排序 */
function insertionSort(nums) {
// 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
// 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
let base = nums[i],
j = i - 1;
// 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
// 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
while (j >= 0 && nums[j] > base) {
nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
j--;
}
nums[j + 1] = base; // 2. 将 base 赋值到正确位置
nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
@@ -119,16 +122,16 @@ comments: true
```typescript title="insertion_sort.ts"
/* 插入排序 */
function insertionSort(nums: number[]): void {
// 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
// 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
const base = nums[i];
let j = i - 1;
// 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
// 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
while (j >= 0 && nums[j] > base) {
nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
j--;
}
nums[j + 1] = base; // 2. 将 base 赋值到正确位置
nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
@@ -138,16 +141,16 @@ comments: true
```c title="insertion_sort.c"
/* 插入排序 */
void insertionSort(int nums[], int size) {
// 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
// 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
for (int i = 1; i < size; i++) {
int base = nums[i], j = i - 1;
// 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
// 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
while (j >= 0 && nums[j] > base) {
// 1. 将 nums[j] 向右移动一位
// 将 nums[j] 向右移动一位
nums[j + 1] = nums[j];
j--;
}
// 2. 将 base 赋值到正确位置
// 将 base 赋值到正确位置
nums[j + 1] = base;
}
}
@@ -158,15 +161,15 @@ comments: true
```csharp title="insertion_sort.cs"
/* 插入排序 */
void insertionSort(int[] nums) {
// 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
// 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
for (int i = 1; i < nums.Length; i++) {
int bas = nums[i], j = i - 1;
// 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
// 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
while (j >= 0 && nums[j] > bas) {
nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
j--;
}
nums[j + 1] = bas; // 2. 将 base 赋值到正确位置
nums[j + 1] = bas; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
@@ -176,16 +179,16 @@ comments: true
```swift title="insertion_sort.swift"
/* 插入排序 */
func insertionSort(nums: inout [Int]) {
// 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
// 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
for i in stride(from: 1, to: nums.count, by: 1) {
let base = nums[i]
var j = i - 1
// 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
// 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
while j >= 0, nums[j] > base {
nums[j + 1] = nums[j] // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
nums[j + 1] = nums[j] // 将 nums[j] 向右移动一位
j -= 1
}
nums[j + 1] = base // 2. 将 base 赋值到正确位置
nums[j + 1] = base // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
@@ -195,38 +198,36 @@ comments: true
```zig title="insertion_sort.zig"
// 插入排序
fn insertionSort(nums: []i32) void {
// 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
// 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
var i: usize = 1;
while (i < nums.len) : (i += 1) {
var base = nums[i];
var j: usize = i;
// 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
// 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
while (j >= 1 and nums[j - 1] > base) : (j -= 1) {
nums[j] = nums[j - 1]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
nums[j] = nums[j - 1]; // 将 nums[j] 向右移动一位
}
nums[j] = base; // 2. 将 base 赋值到正确位置
nums[j] = base; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
## 11.3.2. &nbsp; 算法特性
## 11.4.2. &nbsp; 算法特性
**时间复杂度 $O(n^2)$** ：最差情况下，每次插入操作分别需要循环 $n - 1$ , $n-2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和得到 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 $O(n)$ ，因此是“自适应排序”。
- **时间复杂度 $O(n^2)$ 、自适应排序** ：最差情况下，每次插入操作分别需要循环 $n - 1$ , $n-2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和得到 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。
- **空间复杂度 $O(1)$ 、原地排序** ：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。
- **稳定排序**：在插入操作过程中，我们会将元素插入到相等元素的右侧，不会改变它们的顺序。
**空间复杂度 $O(1)$** ：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间，所以插入排序是“原地排序”。
## 11.4.3. &nbsp; 插入排序优势
在插入操作过程中，我们会将元素插入到相等元素的右侧，不会改变它们的顺序，因此是“稳定排序”。
插入排序的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，而我们即将学习的快速排序的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。尽管插入排序的时间复杂度相比快速排序更高，**但在数据量较小的情况下，插入排序通常更快**。
## 11.3.3. &nbsp; 插入排序优势
这个结论与线性查找和二分查找的适用情况的结论类似。快速排序这类 $O(n \log n)$ 的算法属于基于分治的排序算法，往往包含更多单元计算操作。而在数据量较小时，$n^2$ 和 $n \log n$ 的数值比较接近，复杂度不占主导作用；每轮中的单元计算操作数量起到决定性因素。
回顾冒泡排序和插入排序的复杂度分析，两者的循环轮数都是 $\frac{(n - 1) n}{2}$ 。然而，它们之间存在以下差异：
实际上，许多编程语言（例如 Java）的内置排序函数都采用了插入排序，大致思路为：对于长数组，采用基于分治的排序算法，例如快速排序；对于短数组，直接使用插入排序。
- 冒泡操作基于元素交换实现，需要借助一个临时变量，共涉及 3 个单元操作；
- 插入操作基于元素赋值实现，仅需 1 个单元操作；
虽然冒泡排序、选择排序和插入排序的时间复杂度都为 $O(n^2)$ ，但在实际情况中，**插入排序的使用频率显著高于冒泡排序和选择排序**。这是因为：
粗略估计下来，冒泡排序的计算开销约为插入排序的 3 倍，因此插入排序更受欢迎。实际上，许多编程语言（如 Java）的内置排序函数都采用了插入排序，大致思路为：
- 对于长数组，采用基于分治的排序算法，例如「快速排序」，时间复杂度为 $O(n \log n)$ ；
- 对于短数组，直接使用「插入排序」，时间复杂度为 $O(n^2)$ ；
尽管插入排序的时间复杂度高于快速排序，**但在数据量较小的情况下，插入排序实际上更快**。这是因为在数据量较小时，复杂度中的常数项（即每轮中的单元操作数量）起主导作用。这个现象与「线性查找」和「二分查找」的情况相似。
- 冒泡排序基于元素交换实现，需要借助一个临时变量，共涉及 3 个单元操作；插入排序基于元素赋值实现，仅需 1 个单元操作。因此，**冒泡排序的计算开销通常比插入排序更高**。
- 选择排序在任何情况下的时间复杂度都为 $O(n^2)$ 。**如果给定一组部分有序的数据，插入排序通常比选择排序效率更高**。
- 选择排序不稳定，无法应用于多级排序。