mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-13 07:46:06 +00:00
build
This commit is contained in:
krahets
@@ -0,0 +1,610 @@
|
||||
---
|
||||
comments: true
|
||||
---
|
||||
|
||||
# 12.4 Задача о Ханойской башне
|
||||
|
||||
В задачах сортировки слиянием и построения двоичного дерева мы делили исходную задачу на две подзадачи, каждая из которых имела размер, равный примерно половине исходной задачи. Однако для задачи о Ханойской башне используется другая стратегия разбиения.
|
||||
|
||||
!!! question
|
||||
|
||||
Даны три стержня, обозначенные как `A` , `B` и `C` . В начальном состоянии на стержне `A` находятся $n$ дисков, расположенных сверху вниз в порядке от меньшего к большему. Нужно переместить эти $n$ дисков на стержень `C` , сохранив их исходный порядок (как показано на рисунке 12-10). Во время перемещения дисков необходимо соблюдать следующие правила.
|
||||
|
||||
1. Диск можно снять только с вершины одного стержня и положить только на вершину другого стержня.
|
||||
2. За один раз можно перемещать только один диск.
|
||||
3. Меньший диск всегда должен лежать на большем.
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
<p align="center"> Рисунок 12-10 Пример задачи о Ханойской башне </p>
|
||||
|
||||
**Обозначим задачу о Ханойской башне размера $i$ как $f(i)$** . Например, $f(3)$ означает задачу перемещения 3 дисков со стержня `A` на стержень `C` .
|
||||
|
||||
### 1. Рассмотрим базовые случаи
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке 12-11, для задачи $f(1)$ , то есть когда имеется только один диск, достаточно просто переместить его напрямую со стержня `A` на стержень `C` .
|
||||
|
||||
=== "<1>"
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
=== "<2>"
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
<p align="center"> Рисунок 12-11 Решение задачи размера 1 </p>
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке 12-12, для задачи $f(2)$ , то есть когда есть два диска, **поскольку меньший диск все время должен лежать на большем, приходится использовать `B` как вспомогательный стержень**.
|
||||
|
||||
1. Сначала переместить верхний маленький диск с `A` на `B` .
|
||||
2. Затем переместить большой диск с `A` на `C` .
|
||||
3. Наконец, переместить маленький диск с `B` на `C` .
|
||||
|
||||
=== "<1>"
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
=== "<2>"
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
=== "<3>"
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
=== "<4>"
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
<p align="center"> Рисунок 12-12 Решение задачи размера 2 </p>
|
||||
|
||||
Процесс решения задачи $f(2)$ можно кратко описать так: **переместить два диска с `A` на `C` с помощью `B`** . Здесь `C` называется целевым стержнем, а `B` - буферным стержнем.
|
||||
|
||||
### 2. Разбиение на подзадачи
|
||||
|
||||
Для задачи $f(3)$ , то есть когда имеется три диска, ситуация становится немного сложнее.
|
||||
|
||||
Поскольку решения $f(1)$ и $f(2)$ уже известны, можно подойти к задаче с точки зрения divide and conquer и **рассматривать два верхних диска на `A` как единое целое**, выполняя шаги, показанные на рисунке 12-13. Так три диска успешно перемещаются с `A` на `C` .
|
||||
|
||||
1. Сделать `B` целевым стержнем, а `C` буферным, и переместить два диска с `A` на `B` .
|
||||
2. Переместить оставшийся один диск с `A` напрямую на `C` .
|
||||
3. Сделать `C` целевым стержнем, а `A` буферным, и переместить два диска с `B` на `C` .
|
||||
|
||||
=== "<1>"
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
=== "<2>"
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
=== "<3>"
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
=== "<4>"
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
<p align="center"> Рисунок 12-13 Решение задачи размера 3 </p>
|
||||
|
||||
По своей сути **мы разбиваем задачу $f(3)$ на две подзадачи $f(2)$ и одну подзадачу $f(1)$** . Если последовательно решить эти три подзадачи, исходная задача тоже будет решена. Это показывает, что подзадачи независимы и что их решения можно объединить.
|
||||
|
||||
Таким образом, можно сформулировать показанную на рисунке 12-14 стратегию divide and conquer для задачи о Ханойской башне: исходная задача $f(n)$ разбивается на две подзадачи $f(n-1)$ и одну подзадачу $f(1)$ , которые затем решаются в следующем порядке.
|
||||
|
||||
1. Переместить $n-1$ дисков с `A` на `B` с помощью `C` .
|
||||
2. Переместить оставшийся $1$ диск напрямую с `A` на `C` .
|
||||
3. Переместить $n-1$ дисков с `B` на `C` с помощью `A` .
|
||||
|
||||
Для двух подзадач $f(n-1)$ **можно применять тот же способ рекурсивного разбиения**, пока не будет достигнута наименьшая подзадача $f(1)$ . А решение для $f(1)$ уже известно и требует всего одного перемещения.
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
<p align="center"> Рисунок 12-14 Стратегия divide and conquer для решения задачи о Ханойской башне </p>
|
||||
|
||||
### 3. Реализация кода
|
||||
|
||||
В коде мы объявляем рекурсивную функцию `dfs(i, src, buf, tar)` , которая перемещает $i$ верхних дисков со стержня `src` на целевой стержень `tar` с помощью буферного стержня `buf` :
|
||||
|
||||
=== "Python"
|
||||
|
||||
```python title="hanota.py"
|
||||
def move(src: list[int], tar: list[int]):
|
||||
"""Переместить один диск"""
|
||||
# Снять диск с вершины src
|
||||
pan = src.pop()
|
||||
# Положить диск на вершину tar
|
||||
tar.append(pan)
|
||||
|
||||
def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]):
|
||||
"""Решить задачу Ханойской башни f(i)"""
|
||||
# Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
|
||||
if i == 1:
|
||||
move(src, tar)
|
||||
return
|
||||
# Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
|
||||
dfs(i - 1, src, tar, buf)
|
||||
# Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
|
||||
move(src, tar)
|
||||
# Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
|
||||
dfs(i - 1, buf, src, tar)
|
||||
|
||||
def solve_hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]):
|
||||
"""Решить задачу Ханойской башни"""
|
||||
n = len(A)
|
||||
# Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
|
||||
dfs(n, A, B, C)
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "C++"
|
||||
|
||||
```cpp title="hanota.cpp"
|
||||
/* Переместить один диск */
|
||||
void move(vector<int> &src, vector<int> &tar) {
|
||||
// Снять диск с вершины src
|
||||
int pan = src.back();
|
||||
src.pop_back();
|
||||
// Положить диск на вершину tar
|
||||
tar.push_back(pan);
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
|
||||
void dfs(int i, vector<int> &src, vector<int> &buf, vector<int> &tar) {
|
||||
// Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
|
||||
if (i == 1) {
|
||||
move(src, tar);
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
|
||||
dfs(i - 1, src, tar, buf);
|
||||
// Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
|
||||
move(src, tar);
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
|
||||
dfs(i - 1, buf, src, tar);
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни */
|
||||
void solveHanota(vector<int> &A, vector<int> &B, vector<int> &C) {
|
||||
int n = A.size();
|
||||
// Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
|
||||
dfs(n, A, B, C);
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Java"
|
||||
|
||||
```java title="hanota.java"
|
||||
/* Переместить один диск */
|
||||
void move(List<Integer> src, List<Integer> tar) {
|
||||
// Снять диск с вершины src
|
||||
Integer pan = src.remove(src.size() - 1);
|
||||
// Положить диск на вершину tar
|
||||
tar.add(pan);
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
|
||||
void dfs(int i, List<Integer> src, List<Integer> buf, List<Integer> tar) {
|
||||
// Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
|
||||
if (i == 1) {
|
||||
move(src, tar);
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
|
||||
dfs(i - 1, src, tar, buf);
|
||||
// Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
|
||||
move(src, tar);
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
|
||||
dfs(i - 1, buf, src, tar);
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни */
|
||||
void solveHanota(List<Integer> A, List<Integer> B, List<Integer> C) {
|
||||
int n = A.size();
|
||||
// Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
|
||||
dfs(n, A, B, C);
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "C#"
|
||||
|
||||
```csharp title="hanota.cs"
|
||||
/* Переместить один диск */
|
||||
void Move(List<int> src, List<int> tar) {
|
||||
// Снять диск с вершины src
|
||||
int pan = src[^1];
|
||||
src.RemoveAt(src.Count - 1);
|
||||
// Положить диск на вершину tar
|
||||
tar.Add(pan);
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
|
||||
void DFS(int i, List<int> src, List<int> buf, List<int> tar) {
|
||||
// Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
|
||||
if (i == 1) {
|
||||
Move(src, tar);
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
|
||||
DFS(i - 1, src, tar, buf);
|
||||
// Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
|
||||
Move(src, tar);
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
|
||||
DFS(i - 1, buf, src, tar);
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни */
|
||||
void SolveHanota(List<int> A, List<int> B, List<int> C) {
|
||||
int n = A.Count;
|
||||
// Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
|
||||
DFS(n, A, B, C);
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Go"
|
||||
|
||||
```go title="hanota.go"
|
||||
/* Переместить один диск */
|
||||
func move(src, tar *list.List) {
|
||||
// Снять диск с вершины src
|
||||
pan := src.Back()
|
||||
// Положить диск на вершину tar
|
||||
tar.PushBack(pan.Value)
|
||||
// Убрать верхний диск из src
|
||||
src.Remove(pan)
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
|
||||
func dfsHanota(i int, src, buf, tar *list.List) {
|
||||
// Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
|
||||
if i == 1 {
|
||||
move(src, tar)
|
||||
return
|
||||
}
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
|
||||
dfsHanota(i-1, src, tar, buf)
|
||||
// Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
|
||||
move(src, tar)
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
|
||||
dfsHanota(i-1, buf, src, tar)
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни */
|
||||
func solveHanota(A, B, C *list.List) {
|
||||
n := A.Len()
|
||||
// Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
|
||||
dfsHanota(n, A, B, C)
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Swift"
|
||||
|
||||
```swift title="hanota.swift"
|
||||
/* Переместить один диск */
|
||||
func move(src: inout [Int], tar: inout [Int]) {
|
||||
// Снять диск с вершины src
|
||||
let pan = src.popLast()!
|
||||
// Положить диск на вершину tar
|
||||
tar.append(pan)
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
|
||||
func dfs(i: Int, src: inout [Int], buf: inout [Int], tar: inout [Int]) {
|
||||
// Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
|
||||
if i == 1 {
|
||||
move(src: &src, tar: &tar)
|
||||
return
|
||||
}
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
|
||||
dfs(i: i - 1, src: &src, buf: &tar, tar: &buf)
|
||||
// Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
|
||||
move(src: &src, tar: &tar)
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
|
||||
dfs(i: i - 1, src: &buf, buf: &src, tar: &tar)
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни */
|
||||
func solveHanota(A: inout [Int], B: inout [Int], C: inout [Int]) {
|
||||
let n = A.count
|
||||
// Хвост списка соответствует вершине столбца
|
||||
// Переместить верхние n дисков из src в C с помощью B
|
||||
dfs(i: n, src: &A, buf: &B, tar: &C)
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "JS"
|
||||
|
||||
```javascript title="hanota.js"
|
||||
/* Переместить один диск */
|
||||
function move(src, tar) {
|
||||
// Снять диск с вершины src
|
||||
const pan = src.pop();
|
||||
// Положить диск на вершину tar
|
||||
tar.push(pan);
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
|
||||
function dfs(i, src, buf, tar) {
|
||||
// Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
|
||||
if (i === 1) {
|
||||
move(src, tar);
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
|
||||
dfs(i - 1, src, tar, buf);
|
||||
// Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
|
||||
move(src, tar);
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
|
||||
dfs(i - 1, buf, src, tar);
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни */
|
||||
function solveHanota(A, B, C) {
|
||||
const n = A.length;
|
||||
// Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
|
||||
dfs(n, A, B, C);
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "TS"
|
||||
|
||||
```typescript title="hanota.ts"
|
||||
/* Переместить один диск */
|
||||
function move(src: number[], tar: number[]): void {
|
||||
// Снять диск с вершины src
|
||||
const pan = src.pop();
|
||||
// Положить диск на вершину tar
|
||||
tar.push(pan);
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
|
||||
function dfs(i: number, src: number[], buf: number[], tar: number[]): void {
|
||||
// Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
|
||||
if (i === 1) {
|
||||
move(src, tar);
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
|
||||
dfs(i - 1, src, tar, buf);
|
||||
// Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
|
||||
move(src, tar);
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
|
||||
dfs(i - 1, buf, src, tar);
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни */
|
||||
function solveHanota(A: number[], B: number[], C: number[]): void {
|
||||
const n = A.length;
|
||||
// Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
|
||||
dfs(n, A, B, C);
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Dart"
|
||||
|
||||
```dart title="hanota.dart"
|
||||
/* Переместить один диск */
|
||||
void move(List<int> src, List<int> tar) {
|
||||
// Снять диск с вершины src
|
||||
int pan = src.removeLast();
|
||||
// Положить диск на вершину tar
|
||||
tar.add(pan);
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
|
||||
void dfs(int i, List<int> src, List<int> buf, List<int> tar) {
|
||||
// Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
|
||||
if (i == 1) {
|
||||
move(src, tar);
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
|
||||
dfs(i - 1, src, tar, buf);
|
||||
// Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
|
||||
move(src, tar);
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
|
||||
dfs(i - 1, buf, src, tar);
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни */
|
||||
void solveHanota(List<int> A, List<int> B, List<int> C) {
|
||||
int n = A.length;
|
||||
// Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
|
||||
dfs(n, A, B, C);
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Rust"
|
||||
|
||||
```rust title="hanota.rs"
|
||||
/* Переместить один диск */
|
||||
fn move_pan(src: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
|
||||
// Снять диск с вершины src
|
||||
let pan = src.pop().unwrap();
|
||||
// Положить диск на вершину tar
|
||||
tar.push(pan);
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
|
||||
fn dfs(i: i32, src: &mut Vec<i32>, buf: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
|
||||
// Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
|
||||
if i == 1 {
|
||||
move_pan(src, tar);
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
|
||||
dfs(i - 1, src, tar, buf);
|
||||
// Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
|
||||
move_pan(src, tar);
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
|
||||
dfs(i - 1, buf, src, tar);
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни */
|
||||
fn solve_hanota(A: &mut Vec<i32>, B: &mut Vec<i32>, C: &mut Vec<i32>) {
|
||||
let n = A.len() as i32;
|
||||
// Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
|
||||
dfs(n, A, B, C);
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "C"
|
||||
|
||||
```c title="hanota.c"
|
||||
/* Переместить один диск */
|
||||
void move(int *src, int *srcSize, int *tar, int *tarSize) {
|
||||
// Снять диск с вершины src
|
||||
int pan = src[*srcSize - 1];
|
||||
src[*srcSize - 1] = 0;
|
||||
(*srcSize)--;
|
||||
// Положить диск на вершину tar
|
||||
tar[*tarSize] = pan;
|
||||
(*tarSize)++;
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
|
||||
void dfs(int i, int *src, int *srcSize, int *buf, int *bufSize, int *tar, int *tarSize) {
|
||||
// Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
|
||||
if (i == 1) {
|
||||
move(src, srcSize, tar, tarSize);
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
|
||||
dfs(i - 1, src, srcSize, tar, tarSize, buf, bufSize);
|
||||
// Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
|
||||
move(src, srcSize, tar, tarSize);
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
|
||||
dfs(i - 1, buf, bufSize, src, srcSize, tar, tarSize);
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни */
|
||||
void solveHanota(int *A, int *ASize, int *B, int *BSize, int *C, int *CSize) {
|
||||
// Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
|
||||
dfs(*ASize, A, ASize, B, BSize, C, CSize);
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Kotlin"
|
||||
|
||||
```kotlin title="hanota.kt"
|
||||
/* Переместить один диск */
|
||||
fun move(src: MutableList<Int>, tar: MutableList<Int>) {
|
||||
// Снять диск с вершины src
|
||||
val pan = src.removeAt(src.size - 1)
|
||||
// Положить диск на вершину tar
|
||||
tar.add(pan)
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
|
||||
fun dfs(i: Int, src: MutableList<Int>, buf: MutableList<Int>, tar: MutableList<Int>) {
|
||||
// Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
|
||||
if (i == 1) {
|
||||
move(src, tar)
|
||||
return
|
||||
}
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
|
||||
dfs(i - 1, src, tar, buf)
|
||||
// Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
|
||||
move(src, tar)
|
||||
// Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
|
||||
dfs(i - 1, buf, src, tar)
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Решить задачу Ханойской башни */
|
||||
fun solveHanota(A: MutableList<Int>, B: MutableList<Int>, C: MutableList<Int>) {
|
||||
val n = A.size
|
||||
// Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
|
||||
dfs(n, A, B, C)
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Ruby"
|
||||
|
||||
```ruby title="hanota.rb"
|
||||
=begin
|
||||
File: hanota.rb
|
||||
Created Time: 2024-05-13
|
||||
Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
|
||||
=end
|
||||
|
||||
# ## Переместить один диск ###
|
||||
def move(src, tar)
|
||||
# Снять диск с вершины src
|
||||
pan = src.pop
|
||||
# Положить диск на вершину tar
|
||||
tar << pan
|
||||
end
|
||||
|
||||
=begin
|
||||
File: hanota.rb
|
||||
Created Time: 2024-05-13
|
||||
Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
|
||||
=end
|
||||
|
||||
# ## Переместить один диск ###
|
||||
def move(src, tar)
|
||||
# Снять диск с вершины src
|
||||
pan = src.pop
|
||||
# Положить диск на вершину tar
|
||||
tar << pan
|
||||
end
|
||||
|
||||
# ## Решить задачу Ханойской башни f(i) ###
|
||||
def dfs(i, src, buf, tar)
|
||||
# Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
|
||||
if i == 1
|
||||
move(src, tar)
|
||||
return
|
||||
end
|
||||
|
||||
# Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
|
||||
dfs(i - 1, src, tar, buf)
|
||||
# Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
|
||||
move(src, tar)
|
||||
# Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
|
||||
dfs(i - 1, buf, src, tar)
|
||||
end
|
||||
|
||||
=begin
|
||||
File: hanota.rb
|
||||
Created Time: 2024-05-13
|
||||
Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
|
||||
=end
|
||||
|
||||
# ## Переместить один диск ###
|
||||
def move(src, tar)
|
||||
# Снять диск с вершины src
|
||||
pan = src.pop
|
||||
# Положить диск на вершину tar
|
||||
tar << pan
|
||||
end
|
||||
|
||||
# ## Решить задачу Ханойской башни f(i) ###
|
||||
def dfs(i, src, buf, tar)
|
||||
# Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
|
||||
if i == 1
|
||||
move(src, tar)
|
||||
return
|
||||
end
|
||||
|
||||
# Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
|
||||
dfs(i - 1, src, tar, buf)
|
||||
# Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
|
||||
move(src, tar)
|
||||
# Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
|
||||
dfs(i - 1, buf, src, tar)
|
||||
end
|
||||
|
||||
# ## Решить задачу Ханойской башни ###
|
||||
def solve_hanota(_A, _B, _C)
|
||||
n = _A.length
|
||||
# Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
|
||||
dfs(n, _A, _B, _C)
|
||||
end
|
||||
```
|
||||
|
||||
??? pythontutor "Визуализация кода"
|
||||
|
||||
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20move%28src%3A%20list%5Bint%5D%2C%20tar%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A1%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%20%D1%81%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D1%8B%20src%0A%20%20%20%20pan%20%3D%20src.pop%28%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D1%83%20tar%0A%20%20%20%20tar.append%28pan%29%0A%0A%0Adef%20dfs%28i%3A%20int%2C%20src%3A%20list%5Bint%5D%2C%20buf%3A%20list%5Bint%5D%2C%20tar%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%83%20%D0%A5%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D0%B1%D0%B0%D1%88%D0%BD%D0%B8%20f%28i%29%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%20src%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%81%D1%8F%20%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%2C%20%D1%81%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%83%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B5%D0%B3%D0%BE%20%D0%B2%20tar%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20move%28src%2C%20tar%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20f%28i-1%29%3A%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20i-1%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%B8%D0%B7%20src%20%D0%B2%20buf%20%D1%81%20%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E%20tar%0A%20%20%20%20dfs%28i%20-%201%2C%20src%2C%20tar%2C%20buf%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20f%281%29%3A%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D1%88%D0%B8%D0%B9%D1%81%D1%8F%20%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%20%D0%B8%D0%B7%20src%20%D0%B2%20tar%0A%20%20%20%20move%28src%2C%20tar%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20f%28i-1%29%3A%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20i-1%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%B8%D0%B7%20buf%20%D0%B2%20tar%20%D1%81%20%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E%20src%0A%20%20%20%20dfs%28i%20-%201%2C%20buf%2C%20src%2C%20tar%29%0A%0A%0Adef%20solve_hanota%28A%3A%20list%5Bint%5D%2C%20B%3A%20list%5Bint%5D%2C%20C%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%83%20%D0%A5%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D0%B1%D0%B0%D1%88%D0%BD%D0%B8%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28A%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20n%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%B8%D0%B7%20A%20%D0%B2%20C%20%D1%81%20%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E%20B%0A%20%20%20%20dfs%28n%2C%20A%2C%20B%2C%20C%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A5%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%20%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0%20%D1%81%D0%BE%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%82%D0%B2%D1%83%D0%B5%D1%82%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B5%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B1%D1%86%D0%B0%0A%20%20%20%20A%20%3D%20%5B5%2C%204%2C%203%2C%202%2C%201%5D%0A%20%20%20%20B%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20C%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%98%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%3A%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22A%20%3D%20%7BA%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22B%20%3D%20%7BB%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22C%20%3D%20%7BC%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20solve_hanota%28A%2C%20B%2C%20C%29%0A%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%3A%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22A%20%3D%20%7BA%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22B%20%3D%20%7BB%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22C%20%3D%20%7BC%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=12&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
|
||||
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20move%28src%3A%20list%5Bint%5D%2C%20tar%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A1%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%20%D1%81%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D1%8B%20src%0A%20%20%20%20pan%20%3D%20src.pop%28%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D1%83%20tar%0A%20%20%20%20tar.append%28pan%29%0A%0A%0Adef%20dfs%28i%3A%20int%2C%20src%3A%20list%5Bint%5D%2C%20buf%3A%20list%5Bint%5D%2C%20tar%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%83%20%D0%A5%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D0%B1%D0%B0%D1%88%D0%BD%D0%B8%20f%28i%29%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%20src%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%81%D1%8F%20%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%2C%20%D1%81%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%83%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B5%D0%B3%D0%BE%20%D0%B2%20tar%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20move%28src%2C%20tar%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20f%28i-1%29%3A%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20i-1%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%B8%D0%B7%20src%20%D0%B2%20buf%20%D1%81%20%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E%20tar%0A%20%20%20%20dfs%28i%20-%201%2C%20src%2C%20tar%2C%20buf%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20f%281%29%3A%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D1%88%D0%B8%D0%B9%D1%81%D1%8F%20%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%20%D0%B8%D0%B7%20src%20%D0%B2%20tar%0A%20%20%20%20move%28src%2C%20tar%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20f%28i-1%29%3A%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20i-1%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%B8%D0%B7%20buf%20%D0%B2%20tar%20%D1%81%20%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E%20src%0A%20%20%20%20dfs%28i%20-%201%2C%20buf%2C%20src%2C%20tar%29%0A%0A%0Adef%20solve_hanota%28A%3A%20list%5Bint%5D%2C%20B%3A%20list%5Bint%5D%2C%20C%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%83%20%D0%A5%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D0%B1%D0%B0%D1%88%D0%BD%D0%B8%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28A%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20n%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%B8%D0%B7%20A%20%D0%B2%20C%20%D1%81%20%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E%20B%0A%20%20%20%20dfs%28n%2C%20A%2C%20B%2C%20C%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A5%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%20%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0%20%D1%81%D0%BE%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%82%D0%B2%D1%83%D0%B5%D1%82%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B5%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B1%D1%86%D0%B0%0A%20%20%20%20A%20%3D%20%5B5%2C%204%2C%203%2C%202%2C%201%5D%0A%20%20%20%20B%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20C%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%98%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%3A%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22A%20%3D%20%7BA%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22B%20%3D%20%7BB%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22C%20%3D%20%7BC%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20solve_hanota%28A%2C%20B%2C%20C%29%0A%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%3A%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22A%20%3D%20%7BA%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22B%20%3D%20%7BB%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22C%20%3D%20%7BC%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=12&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке 12-15, задача о Ханойской башне формирует дерево рекурсии высоты $n$ , в котором каждый узел представляет подзадачу и соответствует одному открытому вызову `dfs()` ; **поэтому временная сложность равна $O(2^n)$ , а пространственная сложность равна $O(n)$** .
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
<p align="center"> Рисунок 12-15 Дерево рекурсии задачи о Ханойской башне </p>
|
||||
|
||||
!!! quote
|
||||
|
||||
Задача о Ханойской башне происходит из древней легенды. В одном из храмов древней Индии монахи имели три высоких алмазных стержня и $64$ золотых диска разного размера. Монахи непрерывно перекладывали диски и верили, что в тот момент, когда последний диск будет правильно перенесен, мир подойдет к концу.
|
||||
|
||||
Однако даже если бы монахи перемещали по одному диску в секунду, им понадобилось бы примерно $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ секунд, то есть около $585$ миллиардов лет, что намного превышает текущую оценку возраста Вселенной. Поэтому, если легенда и верна, нам, вероятно, пока не о чем беспокоиться.
|
||||
Reference in New Issue
Block a user