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chapter_backtracking/permutations_problem/index.html

@@ -2580,14 +2580,14 @@
         
           <li class="md-nav__item">
   <a href="#_1" class="md-nav__link">
-    代码实现
+    重复选择剪枝
   </a>
   
 </li>
         
           <li class="md-nav__item">
   <a href="#_2" class="md-nav__link">
-    重复选择剪枝
+    代码实现
   </a>
   
 </li>
@@ -2607,21 +2607,21 @@
         
           <li class="md-nav__item">
   <a href="#_3" class="md-nav__link">
-    代码实现
+    相等元素剪枝
   </a>
   
 </li>
         
           <li class="md-nav__item">
   <a href="#_4" class="md-nav__link">
-    两种剪枝对比
+    代码实现
   </a>
   
 </li>
         
           <li class="md-nav__item">
   <a href="#_5" class="md-nav__link">
-    复杂度分析
+    两种剪枝对比
   </a>
   
 </li>
@@ -3393,14 +3393,14 @@
         
           <li class="md-nav__item">
   <a href="#_1" class="md-nav__link">
-    代码实现
+    重复选择剪枝
   </a>
   
 </li>
         
           <li class="md-nav__item">
   <a href="#_2" class="md-nav__link">
-    重复选择剪枝
+    代码实现
   </a>
   
 </li>
@@ -3420,21 +3420,21 @@
         
           <li class="md-nav__item">
   <a href="#_3" class="md-nav__link">
-    代码实现
+    相等元素剪枝
   </a>
   
 </li>
         
           <li class="md-nav__item">
   <a href="#_4" class="md-nav__link">
-    两种剪枝对比
+    代码实现
   </a>
   
 </li>
         
           <li class="md-nav__item">
   <a href="#_5" class="md-nav__link">
-    复杂度分析
+    两种剪枝对比
   </a>
   
 </li>
@@ -3499,13 +3499,24 @@
 <p class="admonition-title">Question</p>
 <p>输入一个整数数组，数组中不包含重复元素，返回所有可能的排列。</p>
 </div>
-<p><strong>从回溯算法的角度看，我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果</strong>。假设输入数组为 <span class="arithmatex">\([1, 2, 3]\)</span> ，如果我们先选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 、再选择 <span class="arithmatex">\(3\)</span> 、最后选择 <span class="arithmatex">\(2\)</span> ，则获得排列 <span class="arithmatex">\([1, 3, 2]\)</span> 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。</p>
-<p>从回溯算法代码的角度看，候选集合 <code>choices</code> 是输入数组中的所有元素，状态 <code>state</code> 是直至目前已被选择的元素。注意，每个元素只允许被选择一次，<strong>因此在遍历选择时，应当排除已经选择过的元素</strong>。</p>
+<p>从回溯算法的角度看，<strong>我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果</strong>。假设输入数组为 <span class="arithmatex">\([1, 2, 3]\)</span> ，如果我们先选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 、再选择 <span class="arithmatex">\(3\)</span> 、最后选择 <span class="arithmatex">\(2\)</span> ，则获得排列 <span class="arithmatex">\([1, 3, 2]\)</span> 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。</p>
+<p>从回溯代码的角度看，候选集合 <code>choices</code> 是输入数组中的所有元素，状态 <code>state</code> 是直至目前已被选择的元素。请注意，每个元素只允许被选择一次，<strong>因此 <code>state</code> 中的所有元素都应该是唯一的</strong>。</p>
 <p>如下图所示，我们可以将搜索过程展开成一个递归树，树中的每个节点代表当前状态 <code>state</code> 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。</p>
 <p><img alt="全排列的递归树" src="../permutations_problem.assets/permutations_i.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 全排列的递归树 </p>
 
-<h3 id="_1">代码实现<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
+<h3 id="_1">重复选择剪枝<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
+<p>为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 <code>selected</code> ，其中 <code>selected[i]</code> 表示 <code>choices[i]</code> 是否已被选择。剪枝的实现原理为：</p>
+<ul>
+<li>在做出选择 <code>choice[i]</code> 后，我们就将 <code>selected[i]</code> 赋值为 <span class="arithmatex">\(\text{True}\)</span> ，代表它已被选择。</li>
+<li>遍历选择列表 <code>choices</code> 时，跳过所有已被选择过的节点，即剪枝。</li>
+</ul>
+<p>如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。</p>
+<p><img alt="全排列剪枝示例" src="../permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png" /></p>
+<p align="center"> Fig. 全排列剪枝示例 </p>
+
+<p>观察上图发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 <span class="arithmatex">\(O(n^n)\)</span> 降低至 <span class="arithmatex">\(O(n!)\)</span> 。</p>
+<h3 id="_2">代码实现<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将他们展开在 <code>backtrack()</code> 函数中。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:11"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_1_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@@ -3797,28 +3808,25 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<h3 id="_2">重复选择剪枝<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>需要重点关注的是，我们引入了一个布尔型数组 <code>selected</code> ，它的长度与输入数组长度相等，其中 <code>selected[i]</code> 表示 <code>choices[i]</code> 是否已被选择。我们利用 <code>selected</code> 避免某个元素被重复选择，从而实现剪枝。</p>
-<p>如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。<strong>此剪枝操作可将搜索空间大小从 <span class="arithmatex">\(O(n^n)\)</span> 降低至 <span class="arithmatex">\(O(n!)\)</span></strong> 。</p>
-<p><img alt="全排列剪枝示例" src="../permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 全排列剪枝示例 </p>
-
 <h2 id="1322">13.2.2. &nbsp; 考虑相等元素的情况<a class="headerlink" href="#1322" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <div class="admonition question">
 <p class="admonition-title">Question</p>
 <p>输入一个整数数组，<strong>数组中可能包含重复元素</strong>，返回所有不重复的排列。</p>
 </div>
-<p>假设输入数组为 <span class="arithmatex">\([1, 1, 2]\)</span> 。为了方便区分两个重复的元素 <span class="arithmatex">\(1\)</span> ，接下来我们将第二个元素记为 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 。如下图所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。</p>
+<p>假设输入数组为 <span class="arithmatex">\([1, 1, 2]\)</span> 。为了方便区分两个重复元素 <span class="arithmatex">\(1\)</span> ，我们将第二个 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 记为 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 。</p>
+<p>如下图所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。</p>
 <p><img alt="重复排列" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 重复排列 </p>
 
-<p>那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，<strong>因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝</strong>，这样可以进一步提升算法效率。</p>
-<p>观察发现，在第一轮中，选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 或选择 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 是等价的，因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此，我们应该把 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝掉。同理，在第一轮选择 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 后，第二轮选择中的 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 也会产生重复分支，因此也需要将第二轮的 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝。</p>
-<p>本质上看，<strong>我们的目标是实现在某一轮选择中，多个相等的元素仅被选择一次</strong>。</p>
+<p>那么如何去除重复的排列呢？最直接地，考虑借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，<strong>因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝</strong>，这样可以进一步提升算法效率。</p>
+<h3 id="_3">相等元素剪枝<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
+<p>观察发现，在第一轮中，选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 或选择 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝掉。</p>
+<p>同理，在第一轮选择 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 后，第二轮选择中的 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 也会产生重复分支，因此也应将第二轮的 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝。</p>
+<p>本质上看，<strong>我们的目标是在某一轮选择中，保证多个相等的元素仅被选择一次</strong>。</p>
 <p><img alt="重复排列剪枝" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 重复排列剪枝 </p>
 
-<h3 id="_3">代码实现<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
+<h3 id="_4">代码实现<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 <code>duplicated</code> ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:11"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label><label for="__tabbed_2_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@@ -4127,20 +4135,18 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<h3 id="_4">两种剪枝对比<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>注意，虽然 <code>selected</code> 和 <code>duplicated</code> 都起到剪枝的作用，但他们剪掉的是不同的分支：</p>
+<p>假设元素两两之间互不相同，则 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个元素共有 <span class="arithmatex">\(n!\)</span>  种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的列表，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间。因此，<strong>时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n!n)\)</span></strong> 。</p>
+<p>最大递归深度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 栈帧空间。<code>selected</code> 使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 空间。同一时刻最多共有 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个 <code>duplicated</code> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 空间。<strong>因此空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span></strong> 。</p>
+<h3 id="_5">两种剪枝对比<a class="headerlink" href="#_5" title="Permanent link">&para;</a></h3>
+<p>请注意，虽然 <code>selected</code> 和 <code>duplicated</code> 都用作剪枝，但两者的目标不同：</p>
 <ul>
-<li><strong>剪枝条件一</strong>：整个搜索过程中只有一个 <code>selected</code> 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在 <code>state</code> 中重复出现。</li>
-<li><strong>剪枝条件二</strong>：每轮选择（即每个开启的 <code>backtrack</code> 函数）都包含一个 <code>duplicated</code> 。它记录的是在遍历中哪些元素已被选择过，作用是保证相等元素只被选择一次，以避免产生重复的搜索分支。</li>
+<li><strong>重复选择剪枝</strong>：整个搜索过程中只有一个 <code>selected</code> 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在 <code>state</code> 中重复出现。</li>
+<li><strong>相等元素剪枝</strong>：每轮选择（即每个开启的 <code>backtrack</code> 函数）都包含一个 <code>duplicated</code> 。它记录的是在遍历中哪些元素已被选择过，作用是保证相等元素只被选择一次。</li>
 </ul>
 <p>下图展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。</p>
 <p><img alt="两种剪枝条件的作用范围" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 两种剪枝条件的作用范围 </p>
 
-<h3 id="_5">复杂度分析<a class="headerlink" href="#_5" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>假设元素两两之间互不相同，则 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个元素共有 <span class="arithmatex">\(n!\)</span>  种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的列表，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间。因此，<strong>时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n!n)\)</span></strong> 。</p>
-<p>最大递归深度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 栈帧空间。<code>selected</code> 使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 空间。同一时刻最多共有 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个 <code>duplicated</code> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 空间。因此，<strong>全排列 I 的空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ，全排列 II 的空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span></strong> 。</p>
-