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@@ -3436,15 +3436,15 @@
 
 
 <h1 id="121">12.1. &nbsp; 分治算法<a class="headerlink" href="#121" title="Permanent link">&para;</a></h1>
-<p>「分治 Divide and Conquer」，全称分而治之，是一种非常重要的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两部分，主要步骤如下：</p>
+<p>「分治 Divide and Conquer」，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两步：</p>
 <ol>
 <li><strong>分（划分阶段）</strong>：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止；</li>
 <li><strong>治（合并阶段）</strong>：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解；</li>
 </ol>
-<p>之前学过的「归并排序」是分治策略的典型应用之一，对于该算法：</p>
+<p>已介绍过的「归并排序」是分治策略的典型应用之一，它的分治策略为：</p>
 <ol>
 <li><strong>分</strong>：递归地将原数组（原问题）划分为两个子数组（子问题），直到子数组只剩一个元素（最小子问题）。</li>
-<li><strong>治</strong>：从底至顶地将有序的子数组进行合并，从而得到有序的原数组。</li>
+<li><strong>治</strong>：从底至顶地将有序的子数组（子问题的解）进行合并，从而得到有序的原数组（原问题的解）。</li>
 </ol>
 <p><img alt="归并排序的分治策略" src="../divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_merge_sort.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 归并排序的分治策略 </p>
@@ -3454,21 +3454,21 @@
 <ol>
 <li><strong>问题可以被分解</strong>：原问题可以被分解成规模更小、类似的子问题，以及能够以相同方式递归地进行划分。</li>
 <li><strong>子问题是独立的</strong>：子问题之间是没有重叠的，互相没有依赖，可以被独立解决。</li>
-<li><strong>子问题的解可以被合并</strong>：原问题的解可以通过合并子问题的解得来。</li>
+<li><strong>子问题的解可以被合并</strong>：原问题的解通过合并子问题的解得来。</li>
 </ol>
-<p>归并排序显然是满足以上三条判断依据的：</p>
+<p>显然归并排序，满足以上三条判断依据：</p>
 <ol>
-<li>递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题），当子数组只有一个元素时天然有序；</li>
-<li>每个子数组都可以独立地进行排序，因此子问题是独立的；</li>
+<li>递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）；</li>
+<li>每个子数组都可以独立地进行排序（子问题可以独立进行求解）；</li>
 <li>两个有序子数组（子问题的解）可以被合并为一个有序数组（原问题的解）；</li>
 </ol>
 <h2 id="1212">12.1.2. &nbsp; 通过分治提升效率<a class="headerlink" href="#1212" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>分治不仅可以有效地解决算法问题，<strong>往往还可以提升算法效率</strong>。在排序算法中，归并排序相较于选择、冒泡、插入排序更快，就是因为其应用了分治策略。</p>
-<p>那么，我们不禁发问：<strong>为什么分治可以提升算法效率，其底层逻辑是什么</strong>？换句话说，将大问题分解为多个子问题、解决子问题、将子问题的解合并为原问题的解，这三步为什么比直接解决原问题效率更高？这个问题可以从操作数量和并行计算两方面来讨论。</p>
+<p>分治不仅可以有效地解决算法问题，<strong>往往还可以带来算法效率的提升</strong>。在排序算法中，快速排序、归并排序、堆排序相较于选择、冒泡、插入排序更快，就是因为它们应用了分治策略。</p>
+<p>那么，我们不禁发问：<strong>为什么分治可以提升算法效率，其底层逻辑是什么</strong>？换句话说，将大问题分解为多个子问题、解决子问题、将子问题的解合并为原问题的解，这几步的效率为什么比直接解决原问题的效率更高？这个问题可以从操作数量和并行计算两方面来讨论。</p>
 <h3 id="_1">操作数量优化<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>以「冒泡排序」为例，其处理一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的数组需要 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 时间。假设我们把数组从中点分为两个子数组，则划分需要 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，排序每个子数组需要 <span class="arithmatex">\(O((n/2)^2)\)</span> 时间，合并两个子数组需要 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，总体时间复杂度为：</p>
+<p>以「冒泡排序」为例，其处理一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的数组需要 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 时间。假设我们把数组从中点分为两个子数组，则划分需要 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，排序每个子数组需要 <span class="arithmatex">\(O((\frac{n}{2})^2)\)</span> 时间，合并两个子数组需要 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，总体时间复杂度为：</p>
 <div class="arithmatex">\[
-O(n + (n/2)^2 \times 2 + n) = O(n^2 / 2 + 2n)
+O(n + (\frac{n}{2})^2 \times 2 + n) = O(\frac{n^2}{2} + 2n)
 \]</div>
 <p><img alt="划分数组前后的冒泡排序" src="../divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_bubble_sort.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 划分数组前后的冒泡排序 </p>
@@ -3481,13 +3481,13 @@ n^2 - \frac{n^2}{2} - 2n &amp; &gt; 0 \newline
 n(n - 4) &amp; &gt; 0
 \end{aligned}
 \]</div>
-<p><strong>这意味着当 <span class="arithmatex">\(n &gt; 4\)</span> 时，划分后的操作数量更少，排序效率可能更高</strong>。当然，划分后的时间复杂度仍然是平方阶 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> ，即复杂度并没有降低，只是其中的常数项变小了。</p>
-<p>那么，<strong>如果我们把子数组不断地再从中点划分为两个子数组</strong>，直至子数组只剩一个元素时停止划分呢？这就达到了「归并排序」的情况，时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> 。</p>
-<p>再思考，<strong>如果我们多设置几个划分点</strong>，将原数组平均划分为 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 个子数组呢？这种情况就与「桶排序」非常类似了，它非常适合排序海量数据，理论上时间复杂度可以达到 <span class="arithmatex">\(O(n + k)\)</span> 。</p>
+<p><strong>这意味着当 <span class="arithmatex">\(n &gt; 4\)</span> 时，划分后的操作数量更少，排序效率应该更高</strong>。请注意，划分后的时间复杂度仍然是平方阶 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> ，只是复杂度中的常数项变小了。</p>
+<p>进一步想，<strong>如果我们把子数组不断地再从中点划分为两个子数组</strong>，直至子数组只剩一个元素时停止划分呢？这种思路实际上就是「归并排序」，时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> 。</p>
+<p>再思考，<strong>如果我们多设置几个划分点</strong>，将原数组平均划分为 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 个子数组呢？这种情况与「桶排序」非常类似，它非常适合排序海量数据，理论上时间复杂度可以达到 <span class="arithmatex">\(O(n + k)\)</span> 。</p>
 <h3 id="_2">并行计算优化<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>我们知道，分治生成的子问题是相互独立的，<strong>因此通常可以并行解决</strong>。也就是说，分治不仅可以降低算法的时间复杂度，<strong>还有利于操作系统的并行优化</strong>。</p>
 <p>并行优化在多核或多处理器的环境中尤其有效，因为系统可以同时处理多个子问题，更加充分地利用计算资源，从而显著减少总体的运行时间。</p>
-<p>例如在桶排序中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。</p>
+<p>比如在桶排序中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。</p>
 <p><img alt="桶排序的并行计算" src="../divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_parallel_computing.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 桶排序的并行计算 </p>
 
@@ -3500,7 +3500,7 @@ n(n - 4) &amp; &gt; 0
 <li><strong>汉诺塔问题</strong>：汉诺塔问题可以视为典型的分治策略，通过递归解决。</li>
 <li><strong>求解逆序对</strong>：在一个序列中，如果前面的数字大于后面的数字，那么这两个数字构成一个逆序对。求解逆序对问题可以通过分治的思想，借助归并排序进行求解。</li>
 </ul>
-<p>另一方面，<strong>分治在算法和数据结构的设计中应用非常广泛</strong>，举几个已经学过的例子：</p>
+<p>另一方面，分治在算法和数据结构的设计中应用非常广泛，举几个已经学过的例子：</p>
 <ul>
 <li><strong>二分查找</strong>：二分查找是将有序数组从中点索引分为两部分，然后根据目标值与中间元素值比较结果，决定排除哪一半区间，然后在剩余区间执行相同的二分操作。</li>
 <li><strong>归并排序</strong>：文章开头已介绍，不再赘述。</li>