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chapter_tree/array_representation_of_tree/index.html

@@ -3391,18 +3391,18 @@
 <p>在链表表示下，二叉树的存储单元为节点 <code>TreeNode</code> ，节点之间通过指针相连接。在上节中，我们学习了在链表表示下的二叉树的各项基本操作。</p>
 <p>那么，能否用「数组」来表示二叉树呢？答案是肯定的。</p>
 <h2 id="731">7.3.1. &nbsp; 表示完美二叉树<a class="headerlink" href="#731" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>先分析一个简单案例，给定一个完美二叉树，我们将节点按照层序遍历的顺序编号（从 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 开始），此时每个节点都对应唯一的索引。</p>
+<p>先分析一个简单案例。给定一个完美二叉树，我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。</p>
 <p>根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：<strong>若节点的索引为 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ，则该节点的左子节点索引为 <span class="arithmatex">\(2i + 1\)</span> ，右子节点索引为 <span class="arithmatex">\(2i + 2\)</span></strong> 。</p>
 <p><img alt="完美二叉树的数组表示" src="../array_representation_of_tree.assets/array_representation_binary_tree.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 完美二叉树的数组表示 </p>
 
-<p><strong>映射公式的作用相当于链表中的指针</strong>。如果我们将节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，那么对于数组中的任意节点，我们都可以通过映射公式来访问其子节点。</p>
+<p><strong>映射公式的角色相当于链表中的指针</strong>。给定数组中的任意一个节点，我们都可以通过映射公式来访问它的左（右）子节点。</p>
 <h2 id="732">7.3.2. &nbsp; 表示任意二叉树<a class="headerlink" href="#732" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>然而，完美二叉树只是一个特例。在二叉树的中间层，通常存在许多 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> ，而层序遍历序列并不包含这些 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 。我们无法仅凭该序列来推测 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 的数量和分布位置，<strong>这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列</strong>。显然在这种情况下，上述的数组表示方法已经失效。</p>
+<p>然而完美二叉树是一个特例，在二叉树的中间层，通常存在许多 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 。由于层序遍历序列并不包含这些 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> ，因此我们无法仅凭该序列来推测 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 的数量和分布位置。<strong>这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列</strong>。显然在这种情况下，上述的数组表示方法已经失效。</p>
 <p><img alt="层序遍历序列对应多种二叉树可能性" src="../array_representation_of_tree.assets/array_representation_without_empty.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 层序遍历序列对应多种二叉树可能性 </p>
 
-<p>为了解决此问题，<strong>我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span></strong>。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。</p>
+<p>为了解决此问题，<strong>我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span></strong> 。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:11"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_1_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -3419,7 +3419,7 @@
 </div>
 <div class="tabbed-block">
 <div class="highlight"><pre><span></span><code><a id="__codelineno-2-1" name="__codelineno-2-1" href="#__codelineno-2-1"></a><span class="c1"># 二叉树的数组表示</span>
-<a id="__codelineno-2-2" name="__codelineno-2-2" href="#__codelineno-2-2"></a><span class="c1"># 直接使用 None 来表示空位</span>
+<a id="__codelineno-2-2" name="__codelineno-2-2" href="#__codelineno-2-2"></a><span class="c1"># 使用 None 来表示空位</span>
 <a id="__codelineno-2-3" name="__codelineno-2-3" href="#__codelineno-2-3"></a><span class="n">tree</span> <span class="o">=</span> <span class="p">[</span><span class="mi">1</span><span class="p">,</span> <span class="mi">2</span><span class="p">,</span> <span class="mi">3</span><span class="p">,</span> <span class="mi">4</span><span class="p">,</span> <span class="kc">None</span><span class="p">,</span> <span class="mi">6</span><span class="p">,</span> <span class="mi">7</span><span class="p">,</span> <span class="mi">8</span><span class="p">,</span> <span class="mi">9</span><span class="p">,</span> <span class="kc">None</span><span class="p">,</span> <span class="kc">None</span><span class="p">,</span> <span class="mi">12</span><span class="p">,</span> <span class="kc">None</span><span class="p">,</span> <span class="kc">None</span><span class="p">,</span> <span class="mi">15</span><span class="p">]</span>
 </code></pre></div>
 </div>
@@ -3431,13 +3431,13 @@
 </div>
 <div class="tabbed-block">
 <div class="highlight"><pre><span></span><code><a id="__codelineno-4-1" name="__codelineno-4-1" href="#__codelineno-4-1"></a><span class="cm">/* 二叉树的数组表示 */</span>
-<a id="__codelineno-4-2" name="__codelineno-4-2" href="#__codelineno-4-2"></a><span class="c1">// 直接使用 null 来表示空位</span>
+<a id="__codelineno-4-2" name="__codelineno-4-2" href="#__codelineno-4-2"></a><span class="c1">// 使用 null 来表示空位</span>
 <a id="__codelineno-4-3" name="__codelineno-4-3" href="#__codelineno-4-3"></a><span class="kd">let</span><span class="w"> </span><span class="nx">tree</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="p">[</span><span class="mf">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">2</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">3</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">4</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">6</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">7</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">8</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">9</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">12</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">15</span><span class="p">];</span>
 </code></pre></div>
 </div>
 <div class="tabbed-block">
 <div class="highlight"><pre><span></span><code><a id="__codelineno-5-1" name="__codelineno-5-1" href="#__codelineno-5-1"></a><span class="cm">/* 二叉树的数组表示 */</span>
-<a id="__codelineno-5-2" name="__codelineno-5-2" href="#__codelineno-5-2"></a><span class="c1">// 直接使用 null 来表示空位</span>
+<a id="__codelineno-5-2" name="__codelineno-5-2" href="#__codelineno-5-2"></a><span class="c1">// 使用 null 来表示空位</span>
 <a id="__codelineno-5-3" name="__codelineno-5-3" href="#__codelineno-5-3"></a><span class="kd">let</span><span class="w"> </span><span class="nx">tree</span><span class="o">:</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="kt">number</span><span class="w"> </span><span class="o">|</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">)[]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="p">[</span><span class="mf">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">2</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">3</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">4</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">6</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">7</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">8</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">9</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">12</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">15</span><span class="p">];</span>
 </code></pre></div>
 </div>
@@ -3474,10 +3474,14 @@
 <p><img alt="任意类型二叉树的数组表示" src="../array_representation_of_tree.assets/array_representation_with_empty.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 任意类型二叉树的数组表示 </p>
 
-<p>以下为数组表示下二叉树的实现，包括：</p>
+<p>值得说明的是，<strong>完全二叉树非常适合使用数组来表示</strong>。回顾完全二叉树的定义，<span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 只出现在最底层且靠右的位置，<strong>因此所有 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 一定出现在层序遍历序列的末尾</strong>。这意味着使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> ，非常方便。</p>
+<p><img alt="完全二叉树的数组表示" src="../array_representation_of_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png" /></p>
+<p align="center"> Fig. 完全二叉树的数组表示 </p>
+
+<p>如下代码给出了数组表示下的二叉树的简单实现，包括以下操作：</p>
 <ul>
-<li>获取节点数量、节点值、左（右）子节点、父节点等基础操作；</li>
-<li>获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历的节点值序列；</li>
+<li>给定某节点，获取它的值、左（右）子节点、父节点；</li>
+<li>获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历序列；</li>
 </ul>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:11"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label><label for="__tabbed_2_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@@ -3859,21 +3863,18 @@
 </div>
 </div>
 <h2 id="733">7.3.3. &nbsp; 优势与局限性<a class="headerlink" href="#733" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>二叉树的数组表示存在以下优点：</p>
+<p>二叉树的数组表示的优点包括：</p>
 <ul>
-<li>数组存储在连续的内存空间中，缓存友好，访问与遍历速度较快；</li>
+<li>数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快；</li>
 <li>不需要存储指针，比较节省空间；</li>
 <li>允许随机访问节点；</li>
 </ul>
 <p>然而，数组表示也具有一些局限性：</p>
 <ul>
-<li>数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。</li>
+<li>数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树；</li>
 <li>增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低；</li>
-<li>当二叉树中存在大量 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。</li>
+<li>当二叉树中存在大量 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低；</li>
 </ul>
-<p><strong>完全二叉树非常适合使用数组来表示</strong>。回顾完全二叉树的定义，<span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 只出现在最底层且靠右的位置，<strong>这意味着所有 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 一定出现在层序遍历序列的末尾</strong>。因此，在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 。</p>
-<p><img alt="完全二叉树的数组表示" src="../array_representation_of_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 完全二叉树的数组表示 </p>