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2026-07-15 16:36:06 +00:00 · 2023-08-20 13:37:08 +08:00
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 <p align="center"> 图：n 皇后问题的约束条件 </p>

-### 逐行放置策略
+### 1. &nbsp; 逐行放置策略

 皇后的数量和棋盘的行数都为 $n$ ，因此我们容易得到一个推论：**棋盘每行都允许且只允许放置一个皇后**。

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 本质上看，**逐行放置策略起到了剪枝的作用**，它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。

-### 列与对角线剪枝
+### 2. &nbsp; 列与对角线剪枝

 为了满足列约束，我们可以利用一个长度为 $n$ 的布尔型数组 `cols` 记录每一列是否有皇后。在每次决定放置前，我们通过 `cols` 将已有皇后的列进行剪枝，并在回溯中动态更新 `cols` 的状态。

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 <p align="center"> 图：处理列约束和对角线约束 </p>

-### 代码实现
+### 3. &nbsp; 代码实现

 请注意，$n$ 维方阵中 $row - col$ 的范围是 $[-n + 1, n - 1]$ ，$row + col$ 的范围是 $[0, 2n - 2]$ ，所以主对角线和次对角线的数量都为 $2n - 1$ ，即数组 `diag1` 和 `diag2` 的长度都为 $2n - 1$ 。

@@ -36,7 +36,7 @@ comments: true

 <p align="center"> 图：全排列的递归树 </p>

-### 重复选择剪枝
+### 1. &nbsp; 重复选择剪枝

 为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 `selected` ，其中 `selected[i]` 表示 `choices[i]` 是否已被选择。剪枝的实现原理为：

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 观察上图发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$ 。

-### 代码实现
+### 2. &nbsp; 代码实现

 想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将他们展开在 `backtrack()` 函数中。

@@ -489,7 +489,7 @@ comments: true

 那么如何去除重复的排列呢？最直接地，考虑借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，**因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝**，这样可以进一步提升算法效率。

-### 相等元素剪枝
+### 1. &nbsp; 相等元素剪枝

 观察发现，在第一轮中，选择 $1$ 或选择 $\hat{1}$ 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 $\hat{1}$ 剪枝掉。

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 <p align="center"> 图：重复排列剪枝 </p>

-### 代码实现
+### 2. &nbsp; 代码实现

 在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 `duplicated` ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。

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 最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。`selected` 使用 $O(n)$ 空间。同一时刻最多共有 $n$ 个 `duplicated` ，使用 $O(n^2)$ 空间。**因此空间复杂度为 $O(n^2)$** 。

-### 两种剪枝对比
+### 3. &nbsp; 两种剪枝对比

 请注意，虽然 `selected` 和 `duplicated` 都用作剪枝，但两者的目标不同：

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 - 输入集合中的元素可以被无限次重复选取。
 - 子集是不区分元素顺序的，比如 $\{4, 5\}$ 和 $\{5, 4\}$ 是同一个子集。

-### 参考全排列解法
+### 1. &nbsp; 参考全排列解法

 类似于全排列问题，我们可以把子集的生成过程想象成一系列选择的结果，并在选择过程中实时更新“元素和”，当元素和等于 `target` 时，就将子集记录至结果列表。

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 - 当数组元素较多，尤其是当 `target` 较大时，搜索过程会产生大量的重复子集。
 - 比较子集（数组）的异同非常耗时，需要先排序数组，再比较数组中每个元素的异同。

-### 重复子集剪枝
+### 2. &nbsp; 重复子集剪枝

 **我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重**。观察下图，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，具体来看：

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 总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \cdots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \cdots , x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m$ ，**不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝**。

-### 代码实现
+### 3. &nbsp; 代码实现

 为实现该剪枝，我们初始化变量 `start` ，用于指示遍历起点。**当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i$ 开始遍历**。这样做就可以让选择序列满足 $i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m$ ，从而保证子集唯一。

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 <p align="center"> 图：相等元素导致的重复子集 </p>

-### 相等元素剪枝
+### 1. &nbsp; 相等元素剪枝

 为解决此问题，**我们需要限制相等元素在每一轮中只被选择一次**。实现方式比较巧妙：由于数组是已排序的，因此相等元素都是相邻的。这意味着在某轮选择中，若当前元素与其左边元素相等，则说明它已经被选择过，因此直接跳过当前元素。

 与此同时，**本题规定中的每个数组元素只能被选择一次**。幸运的是，我们也可以利用变量 `start` 来满足该约束：当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i + 1$ 开始向后遍历。这样即能去除重复子集，也能避免重复选择元素。

-### 代码实现
+### 2. &nbsp; 代码实现

 === "Java"