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chapter_backtracking/permutations_problem.md

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 <p align="center"> 图：全排列的递归树 </p>
 
-### 重复选择剪枝
+### 1. &nbsp; 重复选择剪枝
 
 为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 `selected` ，其中 `selected[i]` 表示 `choices[i]` 是否已被选择。剪枝的实现原理为：
 
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 观察上图发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$ 。
 
-### 代码实现
+### 2. &nbsp; 代码实现
 
 想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将他们展开在 `backtrack()` 函数中。
 
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 那么如何去除重复的排列呢？最直接地，考虑借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，**因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝**，这样可以进一步提升算法效率。
 
-### 相等元素剪枝
+### 1. &nbsp; 相等元素剪枝
 
 观察发现，在第一轮中，选择 $1$ 或选择 $\hat{1}$ 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 $\hat{1}$ 剪枝掉。
 
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 <p align="center"> 图：重复排列剪枝 </p>
 
-### 代码实现
+### 2. &nbsp; 代码实现
 
 在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 `duplicated` ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。
 
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 最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。`selected` 使用 $O(n)$ 空间。同一时刻最多共有 $n$ 个 `duplicated` ，使用 $O(n^2)$ 空间。**因此空间复杂度为 $O(n^2)$** 。
 
-### 两种剪枝对比
+### 3. &nbsp; 两种剪枝对比
 
 请注意，虽然 `selected` 和 `duplicated` 都用作剪枝，但两者的目标不同：