build

chapter_backtracking/subset_sum_problem.md

@@ -15,7 +15,7 @@ comments: true
 - 输入集合中的元素可以被无限次重复选取。
 - 子集是不区分元素顺序的，比如 $\{4, 5\}$ 和 $\{5, 4\}$ 是同一个子集。
 
-### 参考全排列解法
+### 1.   参考全排列解法
 
 类似于全排列问题，我们可以把子集的生成过程想象成一系列选择的结果，并在选择过程中实时更新“元素和”，当元素和等于 `target` 时，就将子集记录至结果列表。
 
@@ -445,7 +445,7 @@ comments: true
 - 当数组元素较多，尤其是当 `target` 较大时，搜索过程会产生大量的重复子集。
 - 比较子集（数组）的异同非常耗时，需要先排序数组，再比较数组中每个元素的异同。
 
-### 重复子集剪枝
+### 2.   重复子集剪枝
 
 **我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重**。观察下图，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，具体来看：
 
@@ -464,7 +464,7 @@ comments: true
 
 总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \cdots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \cdots , x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m$ ，**不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝**。
 
-### 代码实现
+### 3.   代码实现
 
 为实现该剪枝，我们初始化变量 `start` ，用于指示遍历起点。**当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i$ 开始遍历**。这样做就可以让选择序列满足 $i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m$ ，从而保证子集唯一。
 
@@ -932,13 +932,13 @@ comments: true
 
 <p align="center"> 图：相等元素导致的重复子集 </p>
 
-### 相等元素剪枝
+### 1. &nbsp; 相等元素剪枝
 
 为解决此问题，**我们需要限制相等元素在每一轮中只被选择一次**。实现方式比较巧妙：由于数组是已排序的，因此相等元素都是相邻的。这意味着在某轮选择中，若当前元素与其左边元素相等，则说明它已经被选择过，因此直接跳过当前元素。
 
 与此同时，**本题规定中的每个数组元素只能被选择一次**。幸运的是，我们也可以利用变量 `start` 来满足该约束：当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i + 1$ 开始向后遍历。这样即能去除重复子集，也能避免重复选择元素。
 
-### 代码实现
+### 2. &nbsp; 代码实现
 
 === "Java"