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 由于实际测试具有较大的局限性，我们可以考虑仅通过一些计算来评估算法的效率。这种估算方法被称为「渐近复杂度分析 Asymptotic Complexity Analysis」，简称为「复杂度分析」。

-**复杂度分析评估的是算法运行效率随着输入数据量增多时的增长趋势**。这个定义有些拗口，我们可以将其分为三个重点来理解：
+复杂度分析评估的是算法执行所需的时间和空间资源。**它被表示为一个函数，描述了随着输入数据大小的增加，算法所需时间（空间）的增长趋势**。这个定义有些拗口，我们可以将其分为三个重点来理解：

-1. “算法运行效率”可分为运行时间和占用空间两部分，与之对应地，复杂度可分为「时间复杂度 Time Complexity」和「空间复杂度 Space Complexity」。
-2. “随着输入数据量增多时”意味着复杂度反映了算法运行效率与输入数据量之间的关系。
+1. “时间（空间）”分别对应「时间复杂度 Time Complexity」和「空间复杂度 Space Complexity」。
+2. “随着输入数据大小的增加”意味着复杂度反映了算法运行效率与输入数据体量之间的关系。
 3. “增长趋势”表示复杂度分析关注的是算法时间与空间的增长趋势，而非具体的运行时间或占用空间。

 **复杂度分析克服了实际测试方法的弊端**。首先，它独立于测试环境，分析结果适用于所有运行平台。其次，它可以体现不同数据量下的算法效率，尤其是在大数据量下的算法性能。
@@ -675,7 +675,7 @@ $$

    部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果你遇到看不懂的地方，可以在学习完后面章节后再来复习。

-### 常数阶 $O(1)$
+### 1. &nbsp; 常数阶 $O(1)$

 常数阶常见于数量与输入数据大小 $n$ 无关的常量、变量、对象。

@@ -1008,7 +1008,7 @@ $$
    }
    ```

-### 线性阶 $O(n)$
+### 2. &nbsp; 线性阶 $O(n)$

 线性阶常见于元素数量与 $n$ 成正比的数组、链表、栈、队列等。

@@ -1419,7 +1419,7 @@ $$

 <p align="center"> 图：递归函数产生的线性阶空间复杂度 </p>

-### 平方阶 $O(n^2)$
+### 3. &nbsp; 平方阶 $O(n^2)$

 平方阶常见于矩阵和图，元素数量与 $n$ 成平方关系。

@@ -1798,7 +1798,7 @@ $$

 <p align="center"> 图：递归函数产生的平方阶空间复杂度 </p>

-### 指数阶 $O(2^n)$
+### 4. &nbsp; 指数阶 $O(2^n)$

 指数阶常见于二叉树。高度为 $n$ 的「满二叉树」的节点数量为 $2^n - 1$ ，占用 $O(2^n)$ 空间。

@@ -1970,7 +1970,7 @@ $$

 <p align="center"> 图：满二叉树产生的指数阶空间复杂度 </p>

-### 对数阶 $O(\log n)$
+### 5. &nbsp; 对数阶 $O(\log n)$

 对数阶常见于分治算法和数据类型转换等。

@@ -644,7 +644,7 @@ $T(n)$ 是一次函数，说明时间的增长趋势是线性的，因此其时

 根据定义，确定 $f(n)$ 之后，我们便可得到时间复杂度 $O(f(n))$ 。那么如何确定渐近上界 $f(n)$ 呢？总体分为两步：首先统计操作数量，然后判断渐近上界。

-### 第一步：统计操作数量
+### 1. &nbsp; 第一步：统计操作数量

 针对代码，逐行从上到下计算即可。然而，由于上述 $c \cdot f(n)$ 中的常数项 $c$ 可以取任意大小，**因此操作数量 $T(n)$ 中的各种系数、常数项都可以被忽略**。根据此原则，可以总结出以下计数简化技巧：

@@ -875,7 +875,7 @@ $$
    }
    ```

-### 第二步：判断渐近上界
+### 2. &nbsp; 第二步：判断渐近上界

 **时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以被忽略。

@@ -913,7 +913,7 @@ $$

    部分示例代码需要一些预备知识，包括数组、递归等。如果你遇到不理解的部分，可以在学习完后面章节后再回顾。现阶段，请先专注于理解时间复杂度的含义和推算方法。

-### 常数阶 $O(1)$
+### 1. &nbsp; 常数阶 $O(1)$

 常数阶的操作数量与输入数据大小 $n$ 无关，即不随着 $n$ 的变化而变化。

@@ -1082,7 +1082,7 @@ $$
    }
    ```

-### 线性阶 $O(n)$
+### 2. &nbsp; 线性阶 $O(n)$

 线性阶的操作数量相对于输入数据大小以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中。

@@ -1404,7 +1404,7 @@ $$

 值得注意的是，**数据大小 $n$ 需根据输入数据的类型来具体确定**。比如在第一个示例中，变量 $n$ 为输入数据大小；在第二个示例中，数组长度 $n$ 为数据大小。

-### 平方阶 $O(n^2)$
+### 3. &nbsp; 平方阶 $O(n^2)$

 平方阶的操作数量相对于输入数据大小以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环都为 $O(n)$ ，因此总体为 $O(n^2)$ 。

@@ -1881,7 +1881,7 @@ $$
    }
    ```

-### 指数阶 $O(2^n)$
+### 4. &nbsp; 指数阶 $O(2^n)$

 生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为 $1$ 个细胞，分裂一轮后变为 $2$ 个，分裂两轮后变为 $4$ 个，以此类推，分裂 $n$ 轮后有 $2^n$ 个细胞。

@@ -2246,7 +2246,7 @@ $$

 指数阶增长非常迅速，在穷举法（暴力搜索、回溯等）中比较常见。对于数据规模较大的问题，指数阶是不可接受的，通常需要使用「动态规划」或「贪心」等算法来解决。

-### 对数阶 $O(\log n)$
+### 5. &nbsp; 对数阶 $O(\log n)$

 与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。设输入数据大小为 $n$ ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 $\log_2 n$ ，即 $2^n$ 的反函数。

@@ -2556,7 +2556,7 @@ $$

 对数阶常出现于基于「分治」的算法中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。它增长缓慢，是理想的时间复杂度，仅次于常数阶。

-### 线性对数阶 $O(n \log n)$
+### 6. &nbsp; 线性对数阶 $O(n \log n)$

 线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 $O(\log n)$ 和 $O(n)$ 。

@@ -2748,7 +2748,7 @@ $$

 <p align="center"> 图：线性对数阶的时间复杂度 </p>

-### 阶乘阶 $O(n!)$
+### 7. &nbsp; 阶乘阶 $O(n!)$

 阶乘阶对应数学上的“全排列”问题。给定 $n$ 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为：