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chapter_computational_complexity/time_complexity.md

@@ -644,7 +644,7 @@ $T(n)$ 是一次函数，说明时间的增长趋势是线性的，因此其时
 
 根据定义，确定 $f(n)$ 之后，我们便可得到时间复杂度 $O(f(n))$ 。那么如何确定渐近上界 $f(n)$ 呢？总体分为两步：首先统计操作数量，然后判断渐近上界。
 
-### 第一步：统计操作数量
+### 1.   第一步：统计操作数量
 
 针对代码，逐行从上到下计算即可。然而，由于上述 $c \cdot f(n)$ 中的常数项 $c$ 可以取任意大小，**因此操作数量 $T(n)$ 中的各种系数、常数项都可以被忽略**。根据此原则，可以总结出以下计数简化技巧：
 
@@ -875,7 +875,7 @@ $$
     }
     ```
 
-### 第二步：判断渐近上界
+### 2.   第二步：判断渐近上界
 
 **时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以被忽略。
 
@@ -913,7 +913,7 @@ $$
 
     部分示例代码需要一些预备知识，包括数组、递归等。如果你遇到不理解的部分，可以在学习完后面章节后再回顾。现阶段，请先专注于理解时间复杂度的含义和推算方法。
 
-### 常数阶 $O(1)$
+### 1.   常数阶 $O(1)$
 
 常数阶的操作数量与输入数据大小 $n$ 无关，即不随着 $n$ 的变化而变化。
 
@@ -1082,7 +1082,7 @@ $$
     }
     ```
 
-### 线性阶 $O(n)$
+### 2.   线性阶 $O(n)$
 
 线性阶的操作数量相对于输入数据大小以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中。
 
@@ -1404,7 +1404,7 @@ $$
 
 值得注意的是，**数据大小 $n$ 需根据输入数据的类型来具体确定**。比如在第一个示例中，变量 $n$ 为输入数据大小；在第二个示例中，数组长度 $n$ 为数据大小。
 
-### 平方阶 $O(n^2)$
+### 3.   平方阶 $O(n^2)$
 
 平方阶的操作数量相对于输入数据大小以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环都为 $O(n)$ ，因此总体为 $O(n^2)$ 。
 
@@ -1881,7 +1881,7 @@ $$
     }
     ```
 
-### 指数阶 $O(2^n)$
+### 4.   指数阶 $O(2^n)$
 
 生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为 $1$ 个细胞，分裂一轮后变为 $2$ 个，分裂两轮后变为 $4$ 个，以此类推，分裂 $n$ 轮后有 $2^n$ 个细胞。
 
@@ -2246,7 +2246,7 @@ $$
 
 指数阶增长非常迅速，在穷举法（暴力搜索、回溯等）中比较常见。对于数据规模较大的问题，指数阶是不可接受的，通常需要使用「动态规划」或「贪心」等算法来解决。
 
-### 对数阶 $O(\log n)$
+### 5.   对数阶 $O(\log n)$
 
 与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。设输入数据大小为 $n$ ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 $\log_2 n$ ，即 $2^n$ 的反函数。
 
@@ -2556,7 +2556,7 @@ $$
 
 对数阶常出现于基于「分治」的算法中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。它增长缓慢，是理想的时间复杂度，仅次于常数阶。
 
-### 线性对数阶 $O(n \log n)$
+### 6.   线性对数阶 $O(n \log n)$
 
 线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 $O(\log n)$ 和 $O(n)$ 。
 
@@ -2748,7 +2748,7 @@ $$
 
 <p align="center"> 图：线性对数阶的时间复杂度 </p>
 
-### 阶乘阶 $O(n!)$
+### 7. &nbsp; 阶乘阶 $O(n!)$
 
 阶乘阶对应数学上的“全排列”问题。给定 $n$ 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为：