build

chapter_heap/build_heap.md

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 # 8.2   建堆操作
 
-如果我们想要根据输入列表生成一个堆，这个过程被称为「建堆」。
+在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为「建堆」。
 
 ## 8.2.1   借助入堆方法实现
 
-最直接的方法是借助“元素入堆操作”实现，首先创建一个空堆，然后将列表元素依次添加到堆中。
+最直接的方法是借助“元素入堆操作”实现。我们首先创建一个空堆，然后将列表元素依次执行“入堆”。
 
-设元素数量为 $n$ ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ 。在依次添加元素时，堆的平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
+设元素数量为 $n$ ，入堆操作使用 $O(\log{n})$ 时间，因此将所有元素入堆的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
 
 ## 8.2.2   基于堆化操作实现
 
-有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，**然后迭代地对各个节点执行“从顶至底堆化”**。当然，**我们不需要对叶节点执行堆化操作**，因为它们没有子节点。
+有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度可以达到 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，然后倒序遍历该堆，依次对每个节点执行“从顶至底堆化”。
+
+请注意，因为叶节点没有子节点，所以无需堆化。在代码实现中，我们从最后一个节点的父节点开始进行堆化。
 
 === "Java"
 
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 为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 $O(n)$ ？我们来展开推算一下。
 
-- 完全二叉树中，设节点总数为 $n$ ，则叶节点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此，在排除叶节点后，需要堆化的节点数量为 $(n - 1)/2$ ，复杂度为 $O(n)$ 。
+- 在完全二叉树中，设节点总数为 $n$ ，则叶节点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此，在排除叶节点后，需要堆化的节点数量为 $(n - 1)/2$ ，复杂度为 $O(n)$ 。
 - 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ 。
 
 将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。**然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的特性**。
@@ -221,7 +223,7 @@ T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline
 \end{aligned}
 $$
 
-**使用错位相减法**，令下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得
+使用错位相减法，用下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得
 
 $$
 2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h

chapter_heap/heap.md

@@ -324,7 +324,7 @@ comments: true
 
 下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取逆（例如，将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ）。感兴趣的读者可以自行实现。
 
-### 堆的存储与表示
+### 1.   堆的存储与表示
 
 我们在二叉树章节中学习到，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，**我们将采用数组来存储堆**。
 
@@ -565,7 +565,7 @@ comments: true
     }
     ```
 
-### 访问堆顶元素
+### 2.   访问堆顶元素
 
 堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素。
 
@@ -676,7 +676,7 @@ comments: true
     }
     ```
 
-### 元素入堆
+### 3.   元素入堆
 
 给定元素 `val` ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。因此，**需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点**，这个操作被称为「堆化 Heapify」。
 
@@ -1049,7 +1049,7 @@ comments: true
     }
     ```
 
-### 堆顶元素出堆
+### 4.   堆顶元素出堆
 
 堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采取以下操作步骤：