xinyin025/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-08-21 07:47:14 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

deploy

Browse Source
This commit is contained in:
krahets
2026-03-30 08:17:41 +08:00
parent 68cafe99dd
commit 46bccf0065
484 changed files with 60193 additions and 20315 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files
ru/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur/index.html
+52 -52
View File
@@ -39,7 +39,7 @@
<title>12.2 Поисковая стратегия divide and conquer - Hello Algo</title>
<title>12.2 Поисковая стратегия разделяй и властвуй - Hello Algo</title>
@@ -65,8 +65,8 @@
<link rel="preconnect" href="https://fonts.gstatic.com" crossorigin>
<link rel="stylesheet" href="https://fonts.googleapis.com/css?family=Noto+Sans:300,300i,400,400i,500,500i,700,700i%7CJetBrains+Mono:400,400i,700,700i&display=fallback">
<style>:root{--md-text-font:"Noto Sans";--md-code-font:"JetBrains Mono"}</style>
<link rel="stylesheet" href="https://fonts.googleapis.com/css?family=PT+Sans:300,300i,400,400i,500,500i,700,700i%7CJetBrains+Mono:400,400i,700,700i&display=fallback">
<style>:root{--md-text-font:"PT Sans";--md-code-font:"JetBrains Mono"}</style>
@@ -97,7 +97,7 @@
<div data-md-component="skip">
<a href="#122-divide-and-conquer" class="md-skip">
<a href="#122" class="md-skip">
Перейти к содержанию
</a>
@@ -152,7 +152,7 @@
<div class="md-header__topic" data-md-component="header-topic">
<span class="md-ellipsis">
12.2 &nbsp; Поисковая стратегия divide and conquer
12.2 &nbsp; Поисковая стратегия разделяй и властвуй
</span>
</div>
@@ -574,7 +574,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 1. Знакомство с алгоритмами
Глава 1. Введение в алгоритмы
@@ -596,7 +596,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 1. Знакомство с алгоритмами
Глава 1. Введение в алгоритмы
</label>
@@ -646,7 +646,7 @@
<span class="md-ellipsis">
1.2 Что такое структуры данных и алгоритмы
1.2 Что такое алгоритм
@@ -1181,7 +1181,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 4. Массив и связный список
Глава 4. Массивы и списки
@@ -1203,7 +1203,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 4. Массив и связный список
Глава 4. Массивы и списки
</label>
@@ -1309,7 +1309,7 @@
<span class="md-ellipsis">
4.4 Память и кеш *
4.4 Оперативная память и кэш *
@@ -1591,7 +1591,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 6. Хеширование
Глава 6. Хеш-таблицы
@@ -1613,7 +1613,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 6. Хеширование
Глава 6. Хеш-таблицы
</label>
@@ -1691,7 +1691,7 @@
<span class="md-ellipsis">
6.3 Хеш-алгоритмы
6.3 Алгоритмы хеширования
@@ -1786,7 +1786,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 7. Дерево
Глава 7. Деревья
@@ -1808,7 +1808,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 7. Дерево
Глава 7. Деревья
</label>
@@ -1886,7 +1886,7 @@
<span class="md-ellipsis">
7.3 Представление дерева массивом
7.3 Представление двоичного дерева массивом
@@ -1970,7 +1970,7 @@
<span class="md-ellipsis">
7.6 Резюме
7.6 Краткие итоги
@@ -2133,7 +2133,7 @@
<span class="md-ellipsis">
8.3 Задача Top-K
8.3 Задача Top-k
@@ -2224,7 +2224,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 9. Граф
Глава 9. Графы
@@ -2246,7 +2246,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 9. Граф
Глава 9. Графы
</label>
@@ -2296,7 +2296,7 @@
<span class="md-ellipsis">
9.2 Базовые операции над графами
9.2 Базовые операции графа
@@ -2352,7 +2352,7 @@
<span class="md-ellipsis">
9.4 Резюме
9.4 Краткие итоги
@@ -2491,7 +2491,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.2 Точка вставки двоичного поиска
10.2 Двоичный поиск точки вставки
@@ -2519,7 +2519,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.3 Граничные случаи двоичного поиска
10.3 Двоичный поиск границ
@@ -2547,7 +2547,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.4 Стратегия оптимизации через хеширование
10.4 Стратегии оптимизации хеширования
@@ -2575,7 +2575,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.5 Алгоритмы поиска: новый взгляд
10.5 Переосмысление алгоритмов поиска
@@ -2780,7 +2780,7 @@
<span class="md-ellipsis">
11.3 Пузырьковая сортировка
11.3 Сортировка пузырьком
@@ -2808,7 +2808,7 @@
<span class="md-ellipsis">
11.4 Сортировка вставкой
11.4 Сортировка вставками
@@ -3115,7 +3115,7 @@
<span class="md-ellipsis">
12.1 Алгоритмы разделяй и властвуй
12.1 Стратегия разделяй и властвуй
@@ -3152,7 +3152,7 @@
<span class="md-ellipsis">
12.2 Стратегия поиска разделяй и властвуй
12.2 Поисковая стратегия разделяй и властвуй
@@ -3170,7 +3170,7 @@
<span class="md-ellipsis">
12.2 Стратегия поиска разделяй и властвуй
12.2 Поисковая стратегия разделяй и властвуй
@@ -3197,10 +3197,10 @@
<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="#1-divide-and-conquer" class="md-nav__link">
<a href="#1" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
1. &nbsp; Реализация двоичного поиска на основе divide and conquer
1. &nbsp; Реализация двоичного поиска на основе "разделяй и властвуй"
</span>
</a>
@@ -3479,7 +3479,7 @@
<span class="md-ellipsis">
13.4 Задача о $n$ ферзях
13.4 Задача о n ферзях
@@ -3620,7 +3620,7 @@
<span class="md-ellipsis">
14.1 Введение в динамическое программирование
14.1 Первое знакомство с динамическим программированием
@@ -3732,7 +3732,7 @@
<span class="md-ellipsis">
14.5 Задача о неограниченном рюкзаке
14.5 Задача о полном рюкзаке
@@ -4285,10 +4285,10 @@
<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="#1-divide-and-conquer" class="md-nav__link">
<a href="#1" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
1. &nbsp; Реализация двоичного поиска на основе divide and conquer
1. &nbsp; Реализация двоичного поиска на основе "разделяй и властвуй"
</span>
</a>
@@ -4332,40 +4332,40 @@
<!-- Page content -->
<h1 id="122-divide-and-conquer">12.2 &nbsp; Поисковая стратегия divide and conquer<a class="headerlink" href="#122-divide-and-conquer" title="Permanent link">&para;</a></h1>
<h1 id="122">12.2 &nbsp; Поисковая стратегия разделяй и властвуй<a class="headerlink" href="#122" title="Permanent link">&para;</a></h1>
<p>Мы уже знаем, что алгоритмы поиска делятся на две большие категории.</p>
<ul>
<li><strong>Полный перебор</strong>: реализуется через обход структуры данных, временная сложность равна <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> .</li>
<li><strong>Адаптивный поиск</strong>: использует особую организацию данных или априорную информацию, временная сложность может достигать <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> и даже <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> .</li>
</ul>
<p>На практике <strong>алгоритмы поиска с временной сложностью <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> обычно реализуются на основе стратегии divide and conquer</strong>, например двоичный поиск и деревья.</p>
<p>На практике <strong>алгоритмы поиска с временной сложностью <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> обычно реализуются на основе стратегии "разделяй и властвуй"</strong>, например двоичный поиск и деревья.</p>
<ul>
<li>На каждом шаге двоичный поиск раскладывает задачу (поиск целевого элемента в массиве) на более мелкую задачу (поиск целевого элемента в одной половине массива), и этот процесс продолжается, пока массив не станет пустым или пока не будет найден целевой элемент.</li>
<li>Деревья являются типичными представителями идей divide and conquer; в таких структурах данных, как двоичное дерево поиска, AVL-дерево и куча, временная сложность различных операций равна <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> .</li>
<li>Деревья являются типичными представителями идей "разделяй и властвуй"; в таких структурах данных, как двоичное дерево поиска, AVL-дерево и куча, временная сложность различных операций равна <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> .</li>
</ul>
<p>Стратегия divide and conquer для двоичного поиска выглядит следующим образом.</p>
<p>Стратегия "разделяй и властвуй" для двоичного поиска выглядит следующим образом.</p>
<ul>
<li><strong>Задача раскладывается на части</strong>: двоичный поиск рекурсивно разбивает исходную задачу (поиск в массиве) на подзадачу (поиск в одной половине массива), и это достигается сравнением среднего элемента с целевым значением.</li>
<li><strong>Подзадачи независимы</strong>: в двоичном поиске на каждом шаге обрабатывается только одна подзадача, и она не зависит от других подзадач.</li>
<li><strong>Решения подзадач не нужно объединять</strong>: двоичный поиск нацелен на поиск конкретного элемента, поэтому объединять решения подзадач не требуется. Как только подзадача решена, одновременно считается решенной и исходная задача.</li>
</ul>
<p>По сути divide and conquer повышает эффективность поиска потому, что при полном переборе за один шаг удается исключить только один вариант, <strong>тогда как при поиске на основе divide and conquer за один шаг можно исключить половину вариантов</strong>.</p>
<h3 id="1-divide-and-conquer">1. &nbsp; Реализация двоичного поиска на основе divide and conquer<a class="headerlink" href="#1-divide-and-conquer" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>В предыдущих главах двоичный поиск реализовывался через итерацию. Теперь реализуем его с помощью divide and conquer, то есть через рекурсию.</p>
<p>Иными словами, стратегия "разделяй и властвуй" повышает эффективность поиска потому, что при полном переборе за один шаг удается исключить только один вариант, <strong>тогда как при поиске на основе "разделяй и властвуй" за один шаг можно исключить половину вариантов</strong>.</p>
<h3 id="1">1. &nbsp; Реализация двоичного поиска на основе "разделяй и властвуй"<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>В предыдущих главах двоичный поиск реализовывался через итерацию. Теперь реализуем его с помощью стратегии "разделяй и властвуй", то есть через рекурсию.</p>
<div class="admonition question">
<p class="admonition-title">Question</p>
<p>Дан отсортированный массив <code>nums</code> длины <span class="arithmatex">\(n\)</span> , в котором все элементы уникальны. Найдите элемент <code>target</code> .</p>
</div>
<p>С точки зрения divide and conquer обозначим подзадачу, соответствующую интервалу поиска <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> , через <span class="arithmatex">\(f(i, j)\)</span> .</p>
<p>С точки зрения стратегии "разделяй и властвуй" обозначим подзадачу, соответствующую интервалу поиска <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> , через <span class="arithmatex">\(f(i, j)\)</span> .</p>
<p>Начиная с исходной задачи <span class="arithmatex">\(f(0, n-1)\)</span> , выполняем двоичный поиск по следующим шагам.</p>
<ol>
<li>Вычислить середину <span class="arithmatex">\(m\)</span> интервала поиска <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> и с ее помощью исключить половину интервала.</li>
<li>Рекурсивно решить подзадачу вдвое меньшего размера; это может быть либо <span class="arithmatex">\(f(i, m-1)\)</span> , либо <span class="arithmatex">\(f(m+1, j)\)</span> .</li>
<li>Повторять шаг <code>1.</code> и шаг <code>2.</code> , пока не будет найден <code>target</code> или пока интервал не станет пустым.</li>
</ol>
<p>На рисунке 12-4 показан процесс применения divide and conquer для поиска элемента <span class="arithmatex">\(6\)</span> в массиве.</p>
<p><img alt="Процесс двоичного поиска в стиле divide and conquer" class="animation-figure" src="../binary_search_recur.assets/binary_search_recur.png" /></p>
<p align="center"> Рисунок 12-4 &nbsp; Процесс двоичного поиска в стиле divide and conquer </p>
<p>На рисунке 12-4 показан процесс применения стратегии "разделяй и властвуй" для поиска элемента <span class="arithmatex">\(6\)</span> в массиве.</p>
<p><img alt="Процесс двоичного поиска в стиле разделяй и властвуй" class="animation-figure" src="../binary_search_recur.assets/binary_search_recur.png" /></p>
<p align="center"> Рисунок 12-4 &nbsp; Процесс двоичного поиска в стиле разделяй и властвуй </p>
<p>В реализации кода мы объявляем рекурсивную функцию <code>dfs()</code> для решения задачи <span class="arithmatex">\(f(i, j)\)</span> :</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:13"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_12" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_13" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Python</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Java</label><label for="__tabbed_1_4">C#</label><label for="__tabbed_1_5">Go</label><label for="__tabbed_1_6">Swift</label><label for="__tabbed_1_7">JS</label><label for="__tabbed_1_8">TS</label><label for="__tabbed_1_9">Dart</label><label for="__tabbed_1_10">Rust</label><label for="__tabbed_1_11">C</label><label for="__tabbed_1_12">Kotlin</label><label for="__tabbed_1_13">Ruby</label></div>
@@ -4777,7 +4777,7 @@ aria-label="Нижний колонтитул"
<a
href="../divide_and_conquer/"
class="md-footer__link md-footer__link--prev"
aria-label="Назад: 12.1 Алгоритмы разделяй и властвуй"
aria-label="Назад: 12.1 Стратегия разделяй и властвуй"
rel="prev"
>
<div class="md-footer__button md-icon">
@@ -4789,7 +4789,7 @@ aria-label="Нижний колонтитул"
Назад
</span>
<div class="md-ellipsis">
12.1 Алгоритмы разделяй и властвуй
12.1 Стратегия разделяй и властвуй
</div>
</div>
</a>
ru/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/index.html
+42 -42
View File
@@ -65,8 +65,8 @@
<link rel="preconnect" href="https://fonts.gstatic.com" crossorigin>
<link rel="stylesheet" href="https://fonts.googleapis.com/css?family=Noto+Sans:300,300i,400,400i,500,500i,700,700i%7CJetBrains+Mono:400,400i,700,700i&display=fallback">
<style>:root{--md-text-font:"Noto Sans";--md-code-font:"JetBrains Mono"}</style>
<link rel="stylesheet" href="https://fonts.googleapis.com/css?family=PT+Sans:300,300i,400,400i,500,500i,700,700i%7CJetBrains+Mono:400,400i,700,700i&display=fallback">
<style>:root{--md-text-font:"PT Sans";--md-code-font:"JetBrains Mono"}</style>
@@ -574,7 +574,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 1. Знакомство с алгоритмами
Глава 1. Введение в алгоритмы
@@ -596,7 +596,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 1. Знакомство с алгоритмами
Глава 1. Введение в алгоритмы
</label>
@@ -646,7 +646,7 @@
<span class="md-ellipsis">
1.2 Что такое структуры данных и алгоритмы
1.2 Что такое алгоритм
@@ -1181,7 +1181,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 4. Массив и связный список
Глава 4. Массивы и списки
@@ -1203,7 +1203,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 4. Массив и связный список
Глава 4. Массивы и списки
</label>
@@ -1309,7 +1309,7 @@
<span class="md-ellipsis">
4.4 Память и кеш *
4.4 Оперативная память и кэш *
@@ -1591,7 +1591,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 6. Хеширование
Глава 6. Хеш-таблицы
@@ -1613,7 +1613,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 6. Хеширование
Глава 6. Хеш-таблицы
</label>
@@ -1691,7 +1691,7 @@
<span class="md-ellipsis">
6.3 Хеш-алгоритмы
6.3 Алгоритмы хеширования
@@ -1786,7 +1786,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 7. Дерево
Глава 7. Деревья
@@ -1808,7 +1808,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 7. Дерево
Глава 7. Деревья
</label>
@@ -1886,7 +1886,7 @@
<span class="md-ellipsis">
7.3 Представление дерева массивом
7.3 Представление двоичного дерева массивом
@@ -1970,7 +1970,7 @@
<span class="md-ellipsis">
7.6 Резюме
7.6 Краткие итоги
@@ -2133,7 +2133,7 @@
<span class="md-ellipsis">
8.3 Задача Top-K
8.3 Задача Top-k
@@ -2224,7 +2224,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 9. Граф
Глава 9. Графы
@@ -2246,7 +2246,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 9. Граф
Глава 9. Графы
</label>
@@ -2296,7 +2296,7 @@
<span class="md-ellipsis">
9.2 Базовые операции над графами
9.2 Базовые операции графа
@@ -2352,7 +2352,7 @@
<span class="md-ellipsis">
9.4 Резюме
9.4 Краткие итоги
@@ -2491,7 +2491,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.2 Точка вставки двоичного поиска
10.2 Двоичный поиск точки вставки
@@ -2519,7 +2519,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.3 Граничные случаи двоичного поиска
10.3 Двоичный поиск границ
@@ -2547,7 +2547,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.4 Стратегия оптимизации через хеширование
10.4 Стратегии оптимизации хеширования
@@ -2575,7 +2575,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.5 Алгоритмы поиска: новый взгляд
10.5 Переосмысление алгоритмов поиска
@@ -2780,7 +2780,7 @@
<span class="md-ellipsis">
11.3 Пузырьковая сортировка
11.3 Сортировка пузырьком
@@ -2808,7 +2808,7 @@
<span class="md-ellipsis">
11.4 Сортировка вставкой
11.4 Сортировка вставками
@@ -3115,7 +3115,7 @@
<span class="md-ellipsis">
12.1 Алгоритмы разделяй и властвуй
12.1 Стратегия разделяй и властвуй
@@ -3143,7 +3143,7 @@
<span class="md-ellipsis">
12.2 Стратегия поиска разделяй и властвуй
12.2 Поисковая стратегия разделяй и властвуй
@@ -3225,10 +3225,10 @@
<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="#1-divide-and-conquer" class="md-nav__link">
<a href="#1" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
1. &nbsp; Проверка, является ли это задачей divide and conquer
1. &nbsp; Проверка, является ли это задачей "разделяй и властвуй"
</span>
</a>
@@ -3512,7 +3512,7 @@
<span class="md-ellipsis">
13.4 Задача о $n$ ферзях
13.4 Задача о n ферзях
@@ -3653,7 +3653,7 @@
<span class="md-ellipsis">
14.1 Введение в динамическое программирование
14.1 Первое знакомство с динамическим программированием
@@ -3765,7 +3765,7 @@
<span class="md-ellipsis">
14.5 Задача о неограниченном рюкзаке
14.5 Задача о полном рюкзаке
@@ -4318,10 +4318,10 @@
<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="#1-divide-and-conquer" class="md-nav__link">
<a href="#1" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
1. &nbsp; Проверка, является ли это задачей divide and conquer
1. &nbsp; Проверка, является ли это задачей "разделяй и властвуй"
</span>
</a>
@@ -4406,15 +4406,15 @@
<p><img alt="Пример данных для построения двоичного дерева" class="animation-figure" src="../build_binary_tree_problem.assets/build_tree_example.png" /></p>
<p align="center"> Рисунок 12-5 &nbsp; Пример данных для построения двоичного дерева </p>
<h3 id="1-divide-and-conquer">1. &nbsp; Проверка, является ли это задачей divide and conquer<a class="headerlink" href="#1-divide-and-conquer" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>Исходная задача - построить двоичное дерево по <code>preorder</code> и <code>inorder</code> - является типичной задачей divide and conquer.</p>
<h3 id="1">1. &nbsp; Проверка, является ли это задачей "разделяй и властвуй"<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>Исходная задача - построить двоичное дерево по <code>preorder</code> и <code>inorder</code> - является типичной задачей для стратегии "разделяй и властвуй".</p>
<ul>
<li><strong>Задача раскладывается на части</strong>: если смотреть с точки зрения divide and conquer, исходную задачу можно разбить на две подзадачи: построение левого поддерева и построение правого поддерева, плюс одно действие: инициализация корневого узла. Для каждого поддерева (подзадачи) можно использовать тот же способ разбиения, пока не будет достигнута наименьшая подзадача (пустое поддерево).</li>
<li><strong>Задача раскладывается на части</strong>: если смотреть с точки зрения стратегии "разделяй и властвуй", исходную задачу можно разбить на две подзадачи: построение левого поддерева и построение правого поддерева, плюс одно действие: инициализация корневого узла. Для каждого поддерева (подзадачи) можно использовать тот же способ разбиения, пока не будет достигнута наименьшая подзадача (пустое поддерево).</li>
<li><strong>Подзадачи независимы</strong>: левое и правое поддеревья независимы друг от друга и не пересекаются. При построении левого поддерева нам нужно смотреть только на ту часть прямого и симметричного обходов, которая соответствует левому поддереву. Для правого поддерева рассуждение аналогично.</li>
<li><strong>Решения подзадач можно объединить</strong>: когда левое и правое поддеревья (решения подзадач) уже построены, их можно присоединить к корневому узлу и тем самым получить решение исходной задачи.</li>
</ul>
<h3 id="2">2. &nbsp; Как разделить поддеревья<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>Из анализа выше видно, что эта задача действительно решается через divide and conquer, <strong>но как именно, имея прямой обход <code>preorder</code> и симметричный обход <code>inorder</code>, разделить левое и правое поддеревья</strong>?</p>
<p>Из анализа выше видно, что эта задача действительно решается через "разделяй и властвуй", <strong>но как именно, имея прямой обход <code>preorder</code> и симметричный обход <code>inorder</code>, отделить левое и правое поддеревья</strong>?</p>
<p>По определению и <code>preorder</code> , и <code>inorder</code> можно разбить на три части.</p>
<ul>
<li>Прямой обход: <code>[ корневой узел | левое поддерево | правое поддерево ]</code> , например для дерева на рисунке 12-5 это <code>[ 3 | 9 | 2 1 7 ]</code> .</li>
@@ -4467,7 +4467,7 @@
</tbody>
</table>
</div>
<p>Обратите внимание, что <span class="arithmatex">\((m-l)\)</span> в индексе корневого узла правого поддерева означает "число узлов в левом поддереве"; лучше всего понимать это выражение вместе с рисунком ниже.</p>
<p>Стоит отметить, что <span class="arithmatex">\((m-l)\)</span> в индексе корневого узла правого поддерева означает число узлов в левом поддереве; лучше всего понимать это выражение вместе с рисунком ниже.</p>
<p><img alt="Представление индексных интервалов корня и поддеревьев" class="animation-figure" src="../build_binary_tree_problem.assets/build_tree_division_pointers.png" /></p>
<p align="center"> Рисунок 12-7 &nbsp; Представление индексных интервалов корня и поддеревьев </p>
@@ -4959,7 +4959,7 @@ aria-label="Нижний колонтитул"
<a
href="../binary_search_recur/"
class="md-footer__link md-footer__link--prev"
aria-label="Назад: 12.2 Стратегия поиска разделяй и властвуй"
aria-label="Назад: 12.2 Поисковая стратегия разделяй и властвуй"
rel="prev"
>
<div class="md-footer__button md-icon">
@@ -4971,7 +4971,7 @@ aria-label="Нижний колонтитул"
Назад
</span>
<div class="md-ellipsis">
12.2 Стратегия поиска разделяй и властвуй
12.2 Поисковая стратегия разделяй и властвуй
</div>
</div>
</a>
ru/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer/index.html
+72 -72
View File
@@ -39,7 +39,7 @@
<title>12.1 Алгоритмы "разделяй и властвуй" - Hello Algo</title>
<title>12.1 Стратегия разделяй и властвуй - Hello Algo</title>
@@ -65,8 +65,8 @@
<link rel="preconnect" href="https://fonts.gstatic.com" crossorigin>
<link rel="stylesheet" href="https://fonts.googleapis.com/css?family=Noto+Sans:300,300i,400,400i,500,500i,700,700i%7CJetBrains+Mono:400,400i,700,700i&display=fallback">
<style>:root{--md-text-font:"Noto Sans";--md-code-font:"JetBrains Mono"}</style>
<link rel="stylesheet" href="https://fonts.googleapis.com/css?family=PT+Sans:300,300i,400,400i,500,500i,700,700i%7CJetBrains+Mono:400,400i,700,700i&display=fallback">
<style>:root{--md-text-font:"PT Sans";--md-code-font:"JetBrains Mono"}</style>
@@ -152,7 +152,7 @@
<div class="md-header__topic" data-md-component="header-topic">
<span class="md-ellipsis">
12.1 &nbsp; Алгоритмы "разделяй и властвуй"
12.1 &nbsp; Стратегия разделяй и властвуй
</span>
</div>
@@ -574,7 +574,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 1. Знакомство с алгоритмами
Глава 1. Введение в алгоритмы
@@ -596,7 +596,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 1. Знакомство с алгоритмами
Глава 1. Введение в алгоритмы
</label>
@@ -646,7 +646,7 @@
<span class="md-ellipsis">
1.2 Что такое структуры данных и алгоритмы
1.2 Что такое алгоритм
@@ -1181,7 +1181,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 4. Массив и связный список
Глава 4. Массивы и списки
@@ -1203,7 +1203,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 4. Массив и связный список
Глава 4. Массивы и списки
</label>
@@ -1309,7 +1309,7 @@
<span class="md-ellipsis">
4.4 Память и кеш *
4.4 Оперативная память и кэш *
@@ -1591,7 +1591,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 6. Хеширование
Глава 6. Хеш-таблицы
@@ -1613,7 +1613,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 6. Хеширование
Глава 6. Хеш-таблицы
</label>
@@ -1691,7 +1691,7 @@
<span class="md-ellipsis">
6.3 Хеш-алгоритмы
6.3 Алгоритмы хеширования
@@ -1786,7 +1786,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 7. Дерево
Глава 7. Деревья
@@ -1808,7 +1808,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 7. Дерево
Глава 7. Деревья
</label>
@@ -1886,7 +1886,7 @@
<span class="md-ellipsis">
7.3 Представление дерева массивом
7.3 Представление двоичного дерева массивом
@@ -1970,7 +1970,7 @@
<span class="md-ellipsis">
7.6 Резюме
7.6 Краткие итоги
@@ -2133,7 +2133,7 @@
<span class="md-ellipsis">
8.3 Задача Top-K
8.3 Задача Top-k
@@ -2224,7 +2224,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 9. Граф
Глава 9. Графы
@@ -2246,7 +2246,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 9. Граф
Глава 9. Графы
</label>
@@ -2296,7 +2296,7 @@
<span class="md-ellipsis">
9.2 Базовые операции над графами
9.2 Базовые операции графа
@@ -2352,7 +2352,7 @@
<span class="md-ellipsis">
9.4 Резюме
9.4 Краткие итоги
@@ -2491,7 +2491,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.2 Точка вставки двоичного поиска
10.2 Двоичный поиск точки вставки
@@ -2519,7 +2519,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.3 Граничные случаи двоичного поиска
10.3 Двоичный поиск границ
@@ -2547,7 +2547,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.4 Стратегия оптимизации через хеширование
10.4 Стратегии оптимизации хеширования
@@ -2575,7 +2575,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.5 Алгоритмы поиска: новый взгляд
10.5 Переосмысление алгоритмов поиска
@@ -2780,7 +2780,7 @@
<span class="md-ellipsis">
11.3 Пузырьковая сортировка
11.3 Сортировка пузырьком
@@ -2808,7 +2808,7 @@
<span class="md-ellipsis">
11.4 Сортировка вставкой
11.4 Сортировка вставками
@@ -3124,7 +3124,7 @@
<span class="md-ellipsis">
12.1 Алгоритмы разделяй и властвуй
12.1 Стратегия разделяй и властвуй
@@ -3142,7 +3142,7 @@
<span class="md-ellipsis">
12.1 Алгоритмы разделяй и властвуй
12.1 Стратегия разделяй и властвуй
@@ -3169,10 +3169,10 @@
<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="#1211-divide-and-conquer" class="md-nav__link">
<a href="#1211" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
12.1.1 &nbsp; Как определить задачу divide and conquer
12.1.1 &nbsp; Как определить задачу "разделяй и властвуй"
</span>
</a>
@@ -3180,15 +3180,15 @@
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#1212-divide-and-conquer" class="md-nav__link">
<a href="#1212" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
12.1.2 &nbsp; Повышение эффективности с помощью divide and conquer
12.1.2 &nbsp; Повышение эффективности с помощью "разделяй и властвуй"
</span>
</a>
<nav class="md-nav" aria-label="12.1.2 Повышение эффективности с помощью divide and conquer">
<nav class="md-nav" aria-label="12.1.2 Повышение эффективности с помощью &quot;разделяй и властвуй&quot;">
<ul class="md-nav__list">
<li class="md-nav__item">
@@ -3219,10 +3219,10 @@
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#1213-divide-and-conquer" class="md-nav__link">
<a href="#1213" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
12.1.3 &nbsp; Типичные применения divide and conquer
12.1.3 &nbsp; Типичные применения стратегии "разделяй и властвуй"
</span>
</a>
@@ -3252,7 +3252,7 @@
<span class="md-ellipsis">
12.2 Стратегия поиска разделяй и властвуй
12.2 Поисковая стратегия разделяй и властвуй
@@ -3529,7 +3529,7 @@
<span class="md-ellipsis">
13.4 Задача о $n$ ферзях
13.4 Задача о n ферзях
@@ -3670,7 +3670,7 @@
<span class="md-ellipsis">
14.1 Введение в динамическое программирование
14.1 Первое знакомство с динамическим программированием
@@ -3782,7 +3782,7 @@
<span class="md-ellipsis">
14.5 Задача о неограниченном рюкзаке
14.5 Задача о полном рюкзаке
@@ -4335,10 +4335,10 @@
<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="#1211-divide-and-conquer" class="md-nav__link">
<a href="#1211" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
12.1.1 &nbsp; Как определить задачу divide and conquer
12.1.1 &nbsp; Как определить задачу "разделяй и властвуй"
</span>
</a>
@@ -4346,15 +4346,15 @@
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#1212-divide-and-conquer" class="md-nav__link">
<a href="#1212" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
12.1.2 &nbsp; Повышение эффективности с помощью divide and conquer
12.1.2 &nbsp; Повышение эффективности с помощью "разделяй и властвуй"
</span>
</a>
<nav class="md-nav" aria-label="12.1.2 Повышение эффективности с помощью divide and conquer">
<nav class="md-nav" aria-label="12.1.2 Повышение эффективности с помощью &quot;разделяй и властвуй&quot;">
<ul class="md-nav__list">
<li class="md-nav__item">
@@ -4385,10 +4385,10 @@
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#1213-divide-and-conquer" class="md-nav__link">
<a href="#1213" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
12.1.3 &nbsp; Типичные применения divide and conquer
12.1.3 &nbsp; Типичные применения стратегии "разделяй и властвуй"
</span>
</a>
@@ -4432,22 +4432,22 @@
<!-- Page content -->
<h1 id="121">12.1 &nbsp; Алгоритмы "разделяй и властвуй"<a class="headerlink" href="#121" title="Permanent link">&para;</a></h1>
<p><u>Разделяй и властвуй (divide and conquer)</u> - это очень важная и широко используемая стратегия построения алгоритмов. Обычно она реализуется через рекурсию и включает два этапа: "разделение" и "решение".</p>
<h1 id="121">12.1 &nbsp; Стратегия разделяй и властвуй<a class="headerlink" href="#121" title="Permanent link">&para;</a></h1>
<p><u>Разделяй и властвуй (divide and conquer)</u> - это очень важная и широко используемая стратегия построения алгоритмов. Обычно она реализуется через рекурсию и включает два этапа: "разделение" и "объединение".</p>
<ol>
<li><strong>Разделение (этап декомпозиции)</strong>: рекурсивно разбить исходную задачу на две или более подзадачи, пока не будет достигнута наименьшая подзадача.</li>
<li><strong>Решение (этап объединения)</strong>: начиная с уже известных решений наименьших подзадач, снизу вверх объединять решения подзадач и тем самым получать решение исходной задачи.</li>
<li><strong>Объединение (этап синтеза)</strong>: начиная с уже известных решений наименьших подзадач, снизу вверх объединять решения подзадач и тем самым получать решение исходной задачи.</li>
</ol>
<p>Как показано на рисунке 12-1, "сортировка слиянием" является одним из типичных примеров применения стратегии "разделяй и властвуй".</p>
<ol>
<li><strong>Разделение</strong>: рекурсивно разделить исходный массив (исходную задачу) на два подмассива (подзадачи), пока в подмассиве не останется только один элемент (наименьшая подзадача).</li>
<li><strong>Решение</strong>: снизу вверх объединять упорядоченные подмассивы (решения подзадач), чтобы получить упорядоченный исходный массив (решение исходной задачи).</li>
<li><strong>Объединение</strong>: снизу вверх объединять упорядоченные подмассивы (решения подзадач), чтобы получить упорядоченный исходный массив (решение исходной задачи).</li>
</ol>
<p><img alt="Стратегия divide and conquer в сортировке слиянием" class="animation-figure" src="../divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_merge_sort.png" /></p>
<p align="center"> Рисунок 12-1 &nbsp; Стратегия divide and conquer в сортировке слиянием </p>
<p><img alt="Стратегия разделяй и властвуй в сортировке слиянием" class="animation-figure" src="../divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_merge_sort.png" /></p>
<p align="center"> Рисунок 12-1 &nbsp; Стратегия разделяй и властвуй в сортировке слиянием </p>
<h2 id="1211-divide-and-conquer">12.1.1 &nbsp; Как определить задачу divide and conquer<a class="headerlink" href="#1211-divide-and-conquer" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>Чтобы понять, подходит ли задача для решения методом divide and conquer, обычно можно ориентироваться на следующие критерии.</p>
<h2 id="1211">12.1.1 &nbsp; Как определить задачу "разделяй и властвуй"<a class="headerlink" href="#1211" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>Чтобы понять, подходит ли задача для решения методом "разделяй и властвуй", обычно можно ориентироваться на следующие критерии.</p>
<ol>
<li><strong>Задача раскладывается на части</strong>: исходную задачу можно разбить на более мелкие и похожие подзадачи, причем такое разбиение можно применять рекурсивно.</li>
<li><strong>Подзадачи независимы</strong>: подзадачи не пересекаются, не зависят друг от друга и могут решаться независимо.</li>
@@ -4459,9 +4459,9 @@
<li><strong>Подзадачи независимы</strong>: каждый подмассив можно сортировать отдельно (то есть каждую подзадачу можно решать независимо).</li>
<li><strong>Решения подзадач можно объединить</strong>: два упорядоченных подмассива (решения подзадач) можно объединить в один упорядоченный массив (решение исходной задачи).</li>
</ol>
<h2 id="1212-divide-and-conquer">12.1.2 &nbsp; Повышение эффективности с помощью divide and conquer<a class="headerlink" href="#1212-divide-and-conquer" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p><strong>Стратегия divide and conquer не только позволяет эффективно решать алгоритмические задачи, но и часто повышает эффективность самих алгоритмов</strong>. Именно поэтому быстрая сортировка, сортировка слиянием и пирамидальная сортировка обычно работают быстрее, чем сортировка выбором, пузырьком и вставками.</p>
<p>Тогда возникает естественный вопрос: <strong>почему divide and conquer повышает эффективность алгоритма и какова логика этого на более глубоком уровне</strong>? Иными словами, почему разбиение большой задачи на несколько подзадач, решение этих подзадач и последующее объединение их решений оказывается эффективнее, чем прямое решение исходной задачи? Этот вопрос можно рассмотреть с двух сторон: через число операций и через параллельные вычисления.</p>
<h2 id="1212">12.1.2 &nbsp; Повышение эффективности с помощью "разделяй и властвуй"<a class="headerlink" href="#1212" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p><strong>Стратегия "разделяй и властвуй" не только позволяет эффективно решать алгоритмические задачи, но и часто повышает эффективность самих алгоритмов</strong>. Именно поэтому быстрая сортировка, сортировка слиянием и пирамидальная сортировка обычно работают быстрее, чем сортировка выбором, пузырьком и вставками.</p>
<p>Тогда возникает естественный вопрос: <strong>почему стратегия "разделяй и властвуй" повышает эффективность алгоритма и какова внутренняя логика этого подхода</strong>? Иными словами, почему разбиение большой задачи на несколько подзадач, решение этих подзадач и последующее объединение их решений оказывается эффективнее, чем прямое решение исходной задачи? Этот вопрос можно рассмотреть с двух сторон: через число операций и через параллельные вычисления.</p>
<h3 id="1">1. &nbsp; Оптимизация числа операций<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>Рассмотрим "сортировку пузырьком": для массива длины <span class="arithmatex">\(n\)</span> ей требуется <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> времени. Предположим, что мы разделим массив на два подмассива в середине, как показано на рисунке 12-2. Тогда само разбиение потребует <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> времени, сортировка каждого подмассива займет <span class="arithmatex">\(O((n / 2)^2)\)</span> времени, а объединение двух подмассивов потребует еще <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> времени. Общая временная сложность будет равна:</p>
<div class="arithmatex">\[
@@ -4480,34 +4480,34 @@ n(n - 4) &amp; &gt; 0
\]</div>
<p><strong>Это означает, что при <span class="arithmatex">\(n &gt; 4\)</span> число операций после разбиения становится меньше, а значит, сортировка должна работать быстрее</strong>. При этом важно заметить, что временная сложность после разбиения все еще остается квадратичной, то есть <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> ; уменьшается лишь константный множитель.</p>
<p>Если пойти дальше и <strong>продолжать делить каждый подмассив пополам</strong>, пока в нем не останется только один элемент, то мы фактически получим "сортировку слиянием", чья временная сложность равна <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> .</p>
<p>Можно пойти еще дальше и спросить: <strong>что если задать несколько точек разделения</strong> и равномерно разбить исходный массив на <span class="arithmatex">\(k\)</span> подмассивов? Такая ситуация очень похожа на "блочную сортировку", которая особенно хорошо подходит для сортировки очень больших объемов данных и теоретически может достигать временной сложности <span class="arithmatex">\(O(n + k)\)</span> .</p>
<p>Можно пойти еще дальше и спросить: <strong>что если задать несколько точек разделения</strong> и равномерно разбить исходный массив на <span class="arithmatex">\(k\)</span> подмассивов? Такая ситуация очень похожа на блочную сортировку, которая особенно хорошо подходит для сортировки очень больших объемов данных и теоретически может достигать временной сложности <span class="arithmatex">\(O(n + k)\)</span> .</p>
<h3 id="2">2. &nbsp; Оптимизация параллельных вычислений<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>Мы знаем, что подзадачи, порождаемые divide and conquer, являются независимыми, <strong>а значит, их обычно можно решать параллельно</strong>. Иначе говоря, divide and conquer не только может уменьшить временную сложность алгоритма, <strong>но и хорошо сочетается с параллельной оптимизацией на уровне системы</strong>.</p>
<p>Мы знаем, что подзадачи, порождаемые стратегией "разделяй и властвуй", являются независимыми, <strong>а значит, их обычно можно решать параллельно</strong>. Иначе говоря, "разделяй и властвуй" не только может уменьшить временную сложность алгоритма, <strong>но и хорошо сочетается с параллельной оптимизацией на уровне системы</strong>.</p>
<p>Параллельная оптимизация особенно эффективна в среде с несколькими ядрами или несколькими процессорами, потому что система может одновременно обрабатывать разные подзадачи, лучше загружая вычислительные ресурсы и тем самым заметно сокращая общее время работы.</p>
<p>Например, в показанной ниже "блочной сортировке" большой объем данных равномерно распределяется по блокам. Тогда сортировку каждого блока можно поручить отдельным вычислительным единицам, а после завершения просто объединить результаты.</p>
<p><img alt="Параллельные вычисления в блочной сортировке" class="animation-figure" src="../divide_and_conquer.assets/divide_and_conquer_parallel_computing.png" /></p>
<p align="center"> Рисунок 12-3 &nbsp; Параллельные вычисления в блочной сортировке </p>
<h2 id="1213-divide-and-conquer">12.1.3 &nbsp; Типичные применения divide and conquer<a class="headerlink" href="#1213-divide-and-conquer" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>С одной стороны, divide and conquer можно использовать для решения многих классических алгоритмических задач.</p>
<h2 id="1213">12.1.3 &nbsp; Типичные применения стратегии "разделяй и властвуй"<a class="headerlink" href="#1213" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>С одной стороны, стратегию "разделяй и властвуй" можно использовать для решения многих классических алгоритмических задач.</p>
<ul>
<li><strong>Поиск ближайшей пары точек</strong>: сначала множество точек делится на две части, затем ищется ближайшая пара в каждой части, а затем ближайшая пара, пересекающая границу между двумя частями.</li>
<li><strong>Умножение больших чисел</strong>: например, алгоритм Карацубы, который раскладывает умножение больших чисел на несколько умножений и сложений меньших чисел.</li>
<li><strong>Умножение матриц</strong>: например, алгоритм Штрассена, который раскладывает умножение больших матриц на несколько умножений и сложений матриц меньшего размера.</li>
<li><strong>Задача о Ханойской башне</strong>: задача о Ханойской башне решается рекурсивно и является типичным примером применения divide and conquer.</li>
<li><strong>Подсчет инверсий</strong>: если в последовательности предыдущее число больше следующего, то такая пара образует инверсию. Эту задачу можно решить с помощью идей divide and conquer, опираясь на сортировку слиянием.</li>
<li><strong>Задача о Ханойской башне</strong>: задача о Ханойской башне решается рекурсивно и является типичным примером применения стратегии "разделяй и властвуй".</li>
<li><strong>Подсчет инверсий</strong>: если в последовательности предыдущее число больше следующего, то такая пара образует инверсию. Эту задачу можно решить с помощью идей "разделяй и властвуй", опираясь на сортировку слиянием.</li>
</ul>
<p>С другой стороны, divide and conquer очень широко применяется при проектировании алгоритмов и структур данных.</p>
<p>С другой стороны, стратегия "разделяй и властвуй" очень широко применяется при проектировании алгоритмов и структур данных.</p>
<ul>
<li><strong>Двоичный поиск</strong>: двоичный поиск делит отсортированный массив на две части по индексу середины, а затем, в зависимости от результата сравнения целевого значения со средним элементом, исключает одну из половин и повторяет ту же операцию на оставшемся интервале.</li>
<li><strong>Сортировка слиянием</strong>: она уже была рассмотрена в начале этого раздела, поэтому не будем повторяться.</li>
<li><strong>Быстрая сортировка</strong>: в ней выбирается опорное значение, после чего массив делится на два подмассива: один содержит элементы меньше опорного, а другой - больше. Затем такая же операция повторяется для обеих частей, пока в подмассиве не останется один элемент.</li>
<li><strong>Блочная сортировка</strong>: ее основная идея заключается в распределении данных по нескольким блокам, сортировке элементов внутри каждого блока и последующем последовательном извлечении элементов из блоков для построения отсортированного массива.</li>
<li><strong>Деревья</strong>: например, двоичные деревья поиска, AVL-деревья, красно-черные деревья, B-деревья, B+ деревья и т.д. Их операции поиска, вставки и удаления можно рассматривать как применение divide and conquer.</li>
<li><strong>Кучи</strong>: куча является особым видом полного бинарного дерева, а такие операции, как вставка, удаление и упорядочивание, по сути содержат идеи divide and conquer.</li>
<li><strong>Хеш-таблицы</strong>: хотя хеш-таблицы напрямую не используют divide and conquer, некоторые способы разрешения коллизий косвенно опираются на эту стратегию. Например, длинные цепочки в методе цепочек могут преобразовываться в красно-черные деревья для повышения эффективности поиска.</li>
<li><strong>Деревья</strong>: например, двоичные деревья поиска, AVL-деревья, красно-черные деревья, B-деревья, B+ деревья и т.д. Их операции поиска, вставки и удаления можно рассматривать как применение стратегии "разделяй и властвуй".</li>
<li><strong>Кучи</strong>: куча является особым видом полного двоичного дерева, а такие операции, как вставка, удаление и упорядочивание, по сути содержат идеи "разделяй и властвуй".</li>
<li><strong>Хеш-таблицы</strong>: хотя хеш-таблицы напрямую не используют стратегию "разделяй и властвуй", некоторые способы разрешения коллизий косвенно опираются на эту идею. Например, длинные цепочки в методе цепочек могут преобразовываться в красно-черные деревья для повышения эффективности поиска.</li>
</ul>
<p>Нетрудно заметить, что <strong>divide and conquer - это "тихая" алгоритмическая идея</strong>, скрыто присутствующая внутри самых разных алгоритмов и структур данных.</p>
<p>Нетрудно заметить, что <strong>"разделяй и властвуй" - это "тихая" алгоритмическая идея</strong>, скрыто присутствующая внутри самых разных алгоритмов и структур данных.</p>
<!-- Source file information -->
@@ -4554,7 +4554,7 @@ aria-label="Нижний колонтитул"
<a
href="../binary_search_recur/"
class="md-footer__link md-footer__link--next"
aria-label="Вперед: 12.2 Стратегия поиска разделяй и властвуй"
aria-label="Вперед: 12.2 Поисковая стратегия разделяй и властвуй"
rel="next"
>
<div class="md-footer__title">
@@ -4562,7 +4562,7 @@ aria-label="Нижний колонтитул"
Вперед
</span>
<div class="md-ellipsis">
12.2 Стратегия поиска разделяй и властвуй
12.2 Поисковая стратегия разделяй и властвуй
</div>
</div>
<div class="md-footer__button md-icon">
ru/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/index.html
+37 -37
View File
@@ -65,8 +65,8 @@
<link rel="preconnect" href="https://fonts.gstatic.com" crossorigin>
<link rel="stylesheet" href="https://fonts.googleapis.com/css?family=Noto+Sans:300,300i,400,400i,500,500i,700,700i%7CJetBrains+Mono:400,400i,700,700i&display=fallback">
<style>:root{--md-text-font:"Noto Sans";--md-code-font:"JetBrains Mono"}</style>
<link rel="stylesheet" href="https://fonts.googleapis.com/css?family=PT+Sans:300,300i,400,400i,500,500i,700,700i%7CJetBrains+Mono:400,400i,700,700i&display=fallback">
<style>:root{--md-text-font:"PT Sans";--md-code-font:"JetBrains Mono"}</style>
@@ -574,7 +574,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 1. Знакомство с алгоритмами
Глава 1. Введение в алгоритмы
@@ -596,7 +596,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 1. Знакомство с алгоритмами
Глава 1. Введение в алгоритмы
</label>
@@ -646,7 +646,7 @@
<span class="md-ellipsis">
1.2 Что такое структуры данных и алгоритмы
1.2 Что такое алгоритм
@@ -1181,7 +1181,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 4. Массив и связный список
Глава 4. Массивы и списки
@@ -1203,7 +1203,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 4. Массив и связный список
Глава 4. Массивы и списки
</label>
@@ -1309,7 +1309,7 @@
<span class="md-ellipsis">
4.4 Память и кеш *
4.4 Оперативная память и кэш *
@@ -1591,7 +1591,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 6. Хеширование
Глава 6. Хеш-таблицы
@@ -1613,7 +1613,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 6. Хеширование
Глава 6. Хеш-таблицы
</label>
@@ -1691,7 +1691,7 @@
<span class="md-ellipsis">
6.3 Хеш-алгоритмы
6.3 Алгоритмы хеширования
@@ -1786,7 +1786,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 7. Дерево
Глава 7. Деревья
@@ -1808,7 +1808,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 7. Дерево
Глава 7. Деревья
</label>
@@ -1886,7 +1886,7 @@
<span class="md-ellipsis">
7.3 Представление дерева массивом
7.3 Представление двоичного дерева массивом
@@ -1970,7 +1970,7 @@
<span class="md-ellipsis">
7.6 Резюме
7.6 Краткие итоги
@@ -2133,7 +2133,7 @@
<span class="md-ellipsis">
8.3 Задача Top-K
8.3 Задача Top-k
@@ -2224,7 +2224,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 9. Граф
Глава 9. Графы
@@ -2246,7 +2246,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 9. Граф
Глава 9. Графы
</label>
@@ -2296,7 +2296,7 @@
<span class="md-ellipsis">
9.2 Базовые операции над графами
9.2 Базовые операции графа
@@ -2352,7 +2352,7 @@
<span class="md-ellipsis">
9.4 Резюме
9.4 Краткие итоги
@@ -2491,7 +2491,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.2 Точка вставки двоичного поиска
10.2 Двоичный поиск точки вставки
@@ -2519,7 +2519,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.3 Граничные случаи двоичного поиска
10.3 Двоичный поиск границ
@@ -2547,7 +2547,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.4 Стратегия оптимизации через хеширование
10.4 Стратегии оптимизации хеширования
@@ -2575,7 +2575,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.5 Алгоритмы поиска: новый взгляд
10.5 Переосмысление алгоритмов поиска
@@ -2780,7 +2780,7 @@
<span class="md-ellipsis">
11.3 Пузырьковая сортировка
11.3 Сортировка пузырьком
@@ -2808,7 +2808,7 @@
<span class="md-ellipsis">
11.4 Сортировка вставкой
11.4 Сортировка вставками
@@ -3115,7 +3115,7 @@
<span class="md-ellipsis">
12.1 Алгоритмы разделяй и властвуй
12.1 Стратегия разделяй и властвуй
@@ -3143,7 +3143,7 @@
<span class="md-ellipsis">
12.2 Стратегия поиска разделяй и властвуй
12.2 Поисковая стратегия разделяй и властвуй
@@ -3501,7 +3501,7 @@
<span class="md-ellipsis">
13.4 Задача о $n$ ферзях
13.4 Задача о n ферзях
@@ -3642,7 +3642,7 @@
<span class="md-ellipsis">
14.1 Введение в динамическое программирование
14.1 Первое знакомство с динамическим программированием
@@ -3754,7 +3754,7 @@
<span class="md-ellipsis">
14.5 Задача о неограниченном рюкзаке
14.5 Задача о полном рюкзаке
@@ -4431,8 +4431,8 @@
<p>Процесс решения задачи <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> можно кратко описать так: <strong>переместить два диска с <code>A</code> на <code>C</code> с помощью <code>B</code></strong> . Здесь <code>C</code> называется целевым стержнем, а <code>B</code> - буферным стержнем.</p>
<h3 id="2">2. &nbsp; Разбиение на подзадачи<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>Для задачи <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> , то есть когда имеется три диска, ситуация становится немного сложнее.</p>
<p>Поскольку решения <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> и <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> уже известны, можно подойти к задаче с точки зрения divide and conquer и <strong>рассматривать два верхних диска на <code>A</code> как единое целое</strong>, выполняя шаги, показанные на рисунке 12-13. Так три диска успешно перемещаются с <code>A</code> на <code>C</code> .</p>
<p>Для задачи <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> , то есть когда имеется три диска, ситуация становится сложнее.</p>
<p>Поскольку решения <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> и <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> уже известны, можно подойти к задаче с точки зрения стратегии "разделяй и властвуй" и <strong>рассматривать два верхних диска на <code>A</code> как единое целое</strong>, выполняя шаги, показанные на рисунке 12-13. Так три диска успешно перемещаются с <code>A</code> на <code>C</code> .</p>
<ol>
<li>Сделать <code>B</code> целевым стержнем, а <code>C</code> буферным, и переместить два диска с <code>A</code> на <code>B</code> .</li>
<li>Переместить оставшийся один диск с <code>A</code> напрямую на <code>C</code> .</li>
@@ -4456,16 +4456,16 @@
</div>
<p align="center"> Рисунок 12-13 &nbsp; Решение задачи размера 3 </p>
<p>По своей сути <strong>мы разбиваем задачу <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> на две подзадачи <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> и одну подзадачу <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span></strong> . Если последовательно решить эти три подзадачи, исходная задача тоже будет решена. Это показывает, что подзадачи независимы и что их решения можно объединить.</p>
<p>Таким образом, можно сформулировать показанную на рисунке 12-14 стратегию divide and conquer для задачи о Ханойской башне: исходная задача <span class="arithmatex">\(f(n)\)</span> разбивается на две подзадачи <span class="arithmatex">\(f(n-1)\)</span> и одну подзадачу <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> , которые затем решаются в следующем порядке.</p>
<p>Иначе говоря, <strong>мы разбиваем задачу <span class="arithmatex">\(f(3)\)</span> на две подзадачи <span class="arithmatex">\(f(2)\)</span> и одну подзадачу <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span></strong> . Если последовательно решить эти три подзадачи, исходная задача тоже будет решена. Это показывает, что подзадачи независимы и что их решения можно объединить.</p>
<p>Таким образом, можно сформулировать показанную на рисунке 12-14 стратегию "разделяй и властвуй" для задачи о Ханойской башне: исходная задача <span class="arithmatex">\(f(n)\)</span> разбивается на две подзадачи <span class="arithmatex">\(f(n-1)\)</span> и одну подзадачу <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> , которые затем решаются в следующем порядке.</p>
<ol>
<li>Переместить <span class="arithmatex">\(n-1\)</span> дисков с <code>A</code> на <code>B</code> с помощью <code>C</code> .</li>
<li>Переместить оставшийся <span class="arithmatex">\(1\)</span> диск напрямую с <code>A</code> на <code>C</code> .</li>
<li>Переместить <span class="arithmatex">\(n-1\)</span> дисков с <code>B</code> на <code>C</code> с помощью <code>A</code> .</li>
</ol>
<p>Для двух подзадач <span class="arithmatex">\(f(n-1)\)</span> <strong>можно применять тот же способ рекурсивного разбиения</strong>, пока не будет достигнута наименьшая подзадача <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> . А решение для <span class="arithmatex">\(f(1)\)</span> уже известно и требует всего одного перемещения.</p>
<p><img alt="Стратегия divide and conquer для решения задачи о Ханойской башне" class="animation-figure" src="../hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png" /></p>
<p align="center"> Рисунок 12-14 &nbsp; Стратегия divide and conquer для решения задачи о Ханойской башне </p>
<p><img alt="Стратегия разделяй и властвуй для решения задачи о Ханойской башне" class="animation-figure" src="../hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png" /></p>
<p align="center"> Рисунок 12-14 &nbsp; Стратегия разделяй и властвуй для решения задачи о Ханойской башне </p>
<h3 id="3">3. &nbsp; Реализация кода<a class="headerlink" href="#3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>В коде мы объявляем рекурсивную функцию <code>dfs(i, src, buf, tar)</code> , которая перемещает <span class="arithmatex">\(i\)</span> верхних дисков со стержня <code>src</code> на целевой стержень <code>tar</code> с помощью буферного стержня <code>buf</code> :</p>
ru/chapter_divide_and_conquer/index.html
+35 -35
View File
@@ -65,8 +65,8 @@
<link rel="preconnect" href="https://fonts.gstatic.com" crossorigin>
<link rel="stylesheet" href="https://fonts.googleapis.com/css?family=Noto+Sans:300,300i,400,400i,500,500i,700,700i%7CJetBrains+Mono:400,400i,700,700i&display=fallback">
<style>:root{--md-text-font:"Noto Sans";--md-code-font:"JetBrains Mono"}</style>
<link rel="stylesheet" href="https://fonts.googleapis.com/css?family=PT+Sans:300,300i,400,400i,500,500i,700,700i%7CJetBrains+Mono:400,400i,700,700i&display=fallback">
<style>:root{--md-text-font:"PT Sans";--md-code-font:"JetBrains Mono"}</style>
@@ -574,7 +574,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 1. Знакомство с алгоритмами
Глава 1. Введение в алгоритмы
@@ -596,7 +596,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 1. Знакомство с алгоритмами
Глава 1. Введение в алгоритмы
</label>
@@ -646,7 +646,7 @@
<span class="md-ellipsis">
1.2 Что такое структуры данных и алгоритмы
1.2 Что такое алгоритм
@@ -1181,7 +1181,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 4. Массив и связный список
Глава 4. Массивы и списки
@@ -1203,7 +1203,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 4. Массив и связный список
Глава 4. Массивы и списки
</label>
@@ -1309,7 +1309,7 @@
<span class="md-ellipsis">
4.4 Память и кеш *
4.4 Оперативная память и кэш *
@@ -1591,7 +1591,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 6. Хеширование
Глава 6. Хеш-таблицы
@@ -1613,7 +1613,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 6. Хеширование
Глава 6. Хеш-таблицы
</label>
@@ -1691,7 +1691,7 @@
<span class="md-ellipsis">
6.3 Хеш-алгоритмы
6.3 Алгоритмы хеширования
@@ -1786,7 +1786,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 7. Дерево
Глава 7. Деревья
@@ -1808,7 +1808,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 7. Дерево
Глава 7. Деревья
</label>
@@ -1886,7 +1886,7 @@
<span class="md-ellipsis">
7.3 Представление дерева массивом
7.3 Представление двоичного дерева массивом
@@ -1970,7 +1970,7 @@
<span class="md-ellipsis">
7.6 Резюме
7.6 Краткие итоги
@@ -2133,7 +2133,7 @@
<span class="md-ellipsis">
8.3 Задача Top-K
8.3 Задача Top-k
@@ -2224,7 +2224,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 9. Граф
Глава 9. Графы
@@ -2246,7 +2246,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 9. Граф
Глава 9. Графы
</label>
@@ -2296,7 +2296,7 @@
<span class="md-ellipsis">
9.2 Базовые операции над графами
9.2 Базовые операции графа
@@ -2352,7 +2352,7 @@
<span class="md-ellipsis">
9.4 Резюме
9.4 Краткие итоги
@@ -2491,7 +2491,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.2 Точка вставки двоичного поиска
10.2 Двоичный поиск точки вставки
@@ -2519,7 +2519,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.3 Граничные случаи двоичного поиска
10.3 Двоичный поиск границ
@@ -2547,7 +2547,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.4 Стратегия оптимизации через хеширование
10.4 Стратегии оптимизации хеширования
@@ -2575,7 +2575,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.5 Алгоритмы поиска: новый взгляд
10.5 Переосмысление алгоритмов поиска
@@ -2780,7 +2780,7 @@
<span class="md-ellipsis">
11.3 Пузырьковая сортировка
11.3 Сортировка пузырьком
@@ -2808,7 +2808,7 @@
<span class="md-ellipsis">
11.4 Сортировка вставкой
11.4 Сортировка вставками
@@ -3115,7 +3115,7 @@
<span class="md-ellipsis">
12.1 Алгоритмы разделяй и властвуй
12.1 Стратегия разделяй и властвуй
@@ -3143,7 +3143,7 @@
<span class="md-ellipsis">
12.2 Стратегия поиска разделяй и властвуй
12.2 Поисковая стратегия разделяй и властвуй
@@ -3420,7 +3420,7 @@
<span class="md-ellipsis">
13.4 Задача о $n$ ферзях
13.4 Задача о n ферзях
@@ -3561,7 +3561,7 @@
<span class="md-ellipsis">
14.1 Введение в динамическое программирование
14.1 Первое знакомство с динамическим программированием
@@ -3673,7 +3673,7 @@
<span class="md-ellipsis">
14.5 Задача о неограниченном рюкзаке
14.5 Задача о полном рюкзаке
@@ -4282,8 +4282,8 @@
</div>
<h2 id="_1">Содержание главы<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<ul>
<li><a href="divide_and_conquer/">12.1 &nbsp; Алгоритмы разделяй и властвуй</a></li>
<li><a href="binary_search_recur/">12.2 &nbsp; Стратегия поиска разделяй и властвуй</a></li>
<li><a href="divide_and_conquer/">12.1 &nbsp; Стратегия разделяй и властвуй</a></li>
<li><a href="binary_search_recur/">12.2 &nbsp; Поисковая стратегия разделяй и властвуй</a></li>
<li><a href="build_binary_tree_problem/">12.3 &nbsp; Задача построения двоичного дерева</a></li>
<li><a href="hanota_problem/">12.4 &nbsp; Задача о Ханойской башне</a></li>
<li><a href="summary/">12.5 &nbsp; Резюме</a></li>
@@ -4334,7 +4334,7 @@ aria-label="Нижний колонтитул"
<a
href="./divide_and_conquer/"
class="md-footer__link md-footer__link--next"
aria-label="Вперед: 12.1 Алгоритмы разделяй и властвуй"
aria-label="Вперед: 12.1 Стратегия разделяй и властвуй"
rel="next"
>
<div class="md-footer__title">
@@ -4342,7 +4342,7 @@ aria-label="Нижний колонтитул"
Вперед
</span>
<div class="md-ellipsis">
12.1 Алгоритмы разделяй и властвуй
12.1 Стратегия разделяй и властвуй
</div>
</div>
<div class="md-footer__button md-icon">
ru/chapter_divide_and_conquer/summary/index.html
+37 -37
View File
@@ -65,8 +65,8 @@
<link rel="preconnect" href="https://fonts.gstatic.com" crossorigin>
<link rel="stylesheet" href="https://fonts.googleapis.com/css?family=Noto+Sans:300,300i,400,400i,500,500i,700,700i%7CJetBrains+Mono:400,400i,700,700i&display=fallback">
<style>:root{--md-text-font:"Noto Sans";--md-code-font:"JetBrains Mono"}</style>
<link rel="stylesheet" href="https://fonts.googleapis.com/css?family=PT+Sans:300,300i,400,400i,500,500i,700,700i%7CJetBrains+Mono:400,400i,700,700i&display=fallback">
<style>:root{--md-text-font:"PT Sans";--md-code-font:"JetBrains Mono"}</style>
@@ -574,7 +574,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 1. Знакомство с алгоритмами
Глава 1. Введение в алгоритмы
@@ -596,7 +596,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 1. Знакомство с алгоритмами
Глава 1. Введение в алгоритмы
</label>
@@ -646,7 +646,7 @@
<span class="md-ellipsis">
1.2 Что такое структуры данных и алгоритмы
1.2 Что такое алгоритм
@@ -1181,7 +1181,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 4. Массив и связный список
Глава 4. Массивы и списки
@@ -1203,7 +1203,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 4. Массив и связный список
Глава 4. Массивы и списки
</label>
@@ -1309,7 +1309,7 @@
<span class="md-ellipsis">
4.4 Память и кеш *
4.4 Оперативная память и кэш *
@@ -1591,7 +1591,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 6. Хеширование
Глава 6. Хеш-таблицы
@@ -1613,7 +1613,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 6. Хеширование
Глава 6. Хеш-таблицы
</label>
@@ -1691,7 +1691,7 @@
<span class="md-ellipsis">
6.3 Хеш-алгоритмы
6.3 Алгоритмы хеширования
@@ -1786,7 +1786,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 7. Дерево
Глава 7. Деревья
@@ -1808,7 +1808,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 7. Дерево
Глава 7. Деревья
</label>
@@ -1886,7 +1886,7 @@
<span class="md-ellipsis">
7.3 Представление дерева массивом
7.3 Представление двоичного дерева массивом
@@ -1970,7 +1970,7 @@
<span class="md-ellipsis">
7.6 Резюме
7.6 Краткие итоги
@@ -2133,7 +2133,7 @@
<span class="md-ellipsis">
8.3 Задача Top-K
8.3 Задача Top-k
@@ -2224,7 +2224,7 @@
<span class="md-ellipsis">
Глава 9. Граф
Глава 9. Графы
@@ -2246,7 +2246,7 @@
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
Глава 9. Граф
Глава 9. Графы
</label>
@@ -2296,7 +2296,7 @@
<span class="md-ellipsis">
9.2 Базовые операции над графами
9.2 Базовые операции графа
@@ -2352,7 +2352,7 @@
<span class="md-ellipsis">
9.4 Резюме
9.4 Краткие итоги
@@ -2491,7 +2491,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.2 Точка вставки двоичного поиска
10.2 Двоичный поиск точки вставки
@@ -2519,7 +2519,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.3 Граничные случаи двоичного поиска
10.3 Двоичный поиск границ
@@ -2547,7 +2547,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.4 Стратегия оптимизации через хеширование
10.4 Стратегии оптимизации хеширования
@@ -2575,7 +2575,7 @@
<span class="md-ellipsis">
10.5 Алгоритмы поиска: новый взгляд
10.5 Переосмысление алгоритмов поиска
@@ -2780,7 +2780,7 @@
<span class="md-ellipsis">
11.3 Пузырьковая сортировка
11.3 Сортировка пузырьком
@@ -2808,7 +2808,7 @@
<span class="md-ellipsis">
11.4 Сортировка вставкой
11.4 Сортировка вставками
@@ -3115,7 +3115,7 @@
<span class="md-ellipsis">
12.1 Алгоритмы разделяй и властвуй
12.1 Стратегия разделяй и властвуй
@@ -3143,7 +3143,7 @@
<span class="md-ellipsis">
12.2 Стратегия поиска разделяй и властвуй
12.2 Поисковая стратегия разделяй и властвуй
@@ -3479,7 +3479,7 @@
<span class="md-ellipsis">
13.4 Задача о $n$ ферзях
13.4 Задача о n ферзях
@@ -3620,7 +3620,7 @@
<span class="md-ellipsis">
14.1 Введение в динамическое программирование
14.1 Первое знакомство с динамическим программированием
@@ -3732,7 +3732,7 @@
<span class="md-ellipsis">
14.5 Задача о неограниченном рюкзаке
14.5 Задача о полном рюкзаке
@@ -4335,13 +4335,13 @@
<h1 id="125">12.5 &nbsp; Резюме<a class="headerlink" href="#125" title="Permanent link">&para;</a></h1>
<h3 id="1">1. &nbsp; Ключевые выводы<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<ul>
<li>Divide and conquer - это распространенная стратегия проектирования алгоритмов, которая включает два этапа: разделение (декомпозицию) и решение (объединение), и обычно реализуется с помощью рекурсии.</li>
<li>"Разделяй и властвуй" - это распространенная стратегия проектирования алгоритмов, которая включает два этапа: разделение (декомпозицию) и объединение (синтез), и обычно реализуется с помощью рекурсии.</li>
<li>Критерии применимости этой стратегии к задаче включают: возможность разложения задачи, независимость подзадач и возможность объединения их решений.</li>
<li>Сортировка слиянием является типичным применением divide and conquer: она рекурсивно делит массив на два равных по длине подмассива, пока не останется массив из одного элемента, после чего начинает поэтапное объединение.</li>
<li>Введение стратегии divide and conquer часто позволяет повысить эффективность алгоритма. С одной стороны, стратегия уменьшает число операций; с другой - после разбиения она способствует параллельной оптимизации на уровне системы.</li>
<li>Divide and conquer не только помогает решать многие алгоритмические задачи, но и широко используется при проектировании структур данных и алгоритмов, поэтому его можно встретить буквально повсюду.</li>
<li>По сравнению с полным перебором адаптивный поиск работает эффективнее. Алгоритмы поиска со сложностью <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> обычно реализуются на основе стратегии divide and conquer.</li>
<li>Двоичный поиск - еще одно типичное применение divide and conquer, в котором отсутствует шаг объединения решений подзадач. Мы можем реализовать двоичный поиск рекурсивно, через divide and conquer.</li>
<li>Сортировка слиянием является типичным применением стратегии "разделяй и властвуй": она рекурсивно делит массив на два равных по длине подмассива, пока не останется массив из одного элемента, после чего начинает поэтапное объединение.</li>
<li>Использование стратегии "разделяй и властвуй" часто позволяет повысить эффективность алгоритма. С одной стороны, она уменьшает число операций; с другой - после разбиения способствует параллельной оптимизации на уровне системы.</li>
<li>"Разделяй и властвуй" не только помогает решать многие алгоритмические задачи, но и широко используется при проектировании структур данных и алгоритмов, поэтому его можно встретить буквально повсюду.</li>
<li>По сравнению с полным перебором адаптивный поиск работает эффективнее. Алгоритмы поиска со сложностью <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> обычно реализуются на основе стратегии "разделяй и властвуй".</li>
<li>Двоичный поиск - еще одно типичное применение стратегии "разделяй и властвуй", в котором отсутствует шаг объединения решений подзадач. Его можно реализовать рекурсивно, опираясь на эту стратегию.</li>
<li>В задаче построения двоичного дерева исходная задача построения дерева может быть разбита на две подзадачи: построение левого и правого поддеревьев, а реализуется это через разбиение индексных интервалов прямого и симметричного обходов.</li>
<li>В задаче о Ханойской башне задача размера <span class="arithmatex">\(n\)</span> разбивается на две подзадачи размера <span class="arithmatex">\(n-1\)</span> и одну подзадачу размера <span class="arithmatex">\(1\)</span> . После последовательного решения этих трех подзадач исходная задача также оказывается решенной.</li>
</ul>