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chapter_computational_complexity/space_complexity/index.html

@@ -3787,7 +3787,7 @@
 </div>
 <h2 id="232">2.3.2 &nbsp; 推算方法<a class="headerlink" href="#232" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>空间复杂度的推算方法与时间复杂度大致相同，只需将统计对象从“操作数量”转为“使用空间大小”。</p>
-<p>而与时间复杂度不同的是，<strong>我们通常只关注「最差空间复杂度」</strong>。这是因为内存空间是一项硬性要求，我们必须确保在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。</p>
+<p>而与时间复杂度不同的是，<strong>我们通常只关注最差空间复杂度</strong>。这是因为内存空间是一项硬性要求，我们必须确保在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。</p>
 <p>观察以下代码，最差空间复杂度中的“最差”有两层含义。</p>
 <ol>
 <li><strong>以最差输入数据为准</strong>：当 <span class="arithmatex">\(n &lt; 10\)</span> 时，空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> ；但当 <span class="arithmatex">\(n &gt; 10\)</span> 时，初始化的数组 <code>nums</code> 占用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 空间；因此最差空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。</li>
@@ -5134,7 +5134,7 @@ O(1) &lt; O(\log n) &lt; O(n) &lt; O(n^2) &lt; O(2^n) \newline
 <p align="center"> 图：递归函数产生的平方阶空间复杂度 </p>
 
 <h3 id="4-o2n">4. &nbsp; 指数阶 <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span><a class="headerlink" href="#4-o2n" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>指数阶常见于二叉树。高度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的「满二叉树」的节点数量为 <span class="arithmatex">\(2^n - 1\)</span> ，占用 <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span> 空间：</p>
+<p>指数阶常见于二叉树。高度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的“满二叉树”的节点数量为 <span class="arithmatex">\(2^n - 1\)</span> ，占用 <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span> 空间：</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="9:12"><input checked="checked" id="__tabbed_9_1" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_2" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_3" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_4" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_5" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_6" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_7" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_8" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_9" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_10" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_11" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_12" name="__tabbed_9" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_9_1">Java</label><label for="__tabbed_9_2">C++</label><label for="__tabbed_9_3">Python</label><label for="__tabbed_9_4">Go</label><label for="__tabbed_9_5">JS</label><label for="__tabbed_9_6">TS</label><label for="__tabbed_9_7">C</label><label for="__tabbed_9_8">C#</label><label for="__tabbed_9_9">Swift</label><label for="__tabbed_9_10">Zig</label><label for="__tabbed_9_11">Dart</label><label for="__tabbed_9_12">Rust</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">

chapter_computational_complexity/time_complexity/index.html

@@ -3766,7 +3766,7 @@
 \]</div>
 <p>但实际上，<strong>统计算法的运行时间既不合理也不现实</strong>。首先，我们不希望将预估时间和运行平台绑定，因为算法需要在各种不同的平台上运行。其次，我们很难获知每种操作的运行时间，这给预估过程带来了极大的难度。</p>
 <h2 id="221">2.2.1 &nbsp; 统计时间增长趋势<a class="headerlink" href="#221" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>「时间复杂度分析」采取了一种不同的方法，其统计的不是算法运行时间，<strong>而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势</strong>。</p>
+<p>时间复杂度分析统计的不是算法运行时间，<strong>而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势</strong>。</p>
 <p>“时间增长趋势”这个概念比较抽象，我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，给定三个算法函数 <code>A</code> 、 <code>B</code> 和 <code>C</code> ：</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:12"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_12" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JS</label><label for="__tabbed_2_6">TS</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label><label for="__tabbed_2_11">Dart</label><label for="__tabbed_2_12">Rust</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@@ -3982,9 +3982,9 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<p>算法 <code>A</code> 只有 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 个打印操作，算法运行时间不随着 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为「常数阶」。</p>
-<p>算法 <code>B</code> 中的打印操作需要循环 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 次，算法运行时间随着 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为「线性阶」。</p>
-<p>算法 <code>C</code> 中的打印操作需要循环 <span class="arithmatex">\(1000000\)</span> 次，虽然运行时间很长，但它与输入数据大小 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 无关。因此 <code>C</code> 的时间复杂度和 <code>A</code> 相同，仍为「常数阶」。</p>
+<p>算法 <code>A</code> 只有 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 个打印操作，算法运行时间不随着 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为“常数阶”。</p>
+<p>算法 <code>B</code> 中的打印操作需要循环 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 次，算法运行时间随着 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为“线性阶”。</p>
+<p>算法 <code>C</code> 中的打印操作需要循环 <span class="arithmatex">\(1000000\)</span> 次，虽然运行时间很长，但它与输入数据大小 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 无关。因此 <code>C</code> 的时间复杂度和 <code>A</code> 相同，仍为“常数阶”。</p>
 <p><img alt="算法 A 、B 和 C 的时间增长趋势" src="../time_complexity.assets/time_complexity_simple_example.png" /></p>
 <p align="center"> 图：算法 A 、B 和 C 的时间增长趋势 </p>
 
@@ -5595,7 +5595,7 @@ O((n - 1) \frac{n}{2}) = O(n^2)
 </div>
 </div>
 </div>
-<p>指数阶增长非常迅速，在穷举法（暴力搜索、回溯等）中比较常见。对于数据规模较大的问题，指数阶是不可接受的，通常需要使用「动态规划」或「贪心」等算法来解决。</p>
+<p>指数阶增长非常迅速，在穷举法（暴力搜索、回溯等）中比较常见。对于数据规模较大的问题，指数阶是不可接受的，通常需要使用动态规划或贪心等算法来解决。</p>
 <h3 id="5-olog-n">5. &nbsp; 对数阶 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span><a class="headerlink" href="#5-olog-n" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。设输入数据大小为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 <span class="arithmatex">\(\log_2 n\)</span> ，即 <span class="arithmatex">\(2^n\)</span> 的反函数。相关代码如下：</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="12:12"><input checked="checked" id="__tabbed_12_1" name="__tabbed_12" type="radio" /><input id="__tabbed_12_2" name="__tabbed_12" type="radio" /><input id="__tabbed_12_3" name="__tabbed_12" type="radio" /><input id="__tabbed_12_4" name="__tabbed_12" type="radio" /><input id="__tabbed_12_5" name="__tabbed_12" type="radio" /><input id="__tabbed_12_6" name="__tabbed_12" type="radio" /><input id="__tabbed_12_7" name="__tabbed_12" type="radio" /><input id="__tabbed_12_8" name="__tabbed_12" type="radio" /><input id="__tabbed_12_9" name="__tabbed_12" type="radio" /><input id="__tabbed_12_10" name="__tabbed_12" type="radio" /><input id="__tabbed_12_11" name="__tabbed_12" type="radio" /><input id="__tabbed_12_12" name="__tabbed_12" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_12_1">Java</label><label for="__tabbed_12_2">C++</label><label for="__tabbed_12_3">Python</label><label for="__tabbed_12_4">Go</label><label for="__tabbed_12_5">JS</label><label for="__tabbed_12_6">TS</label><label for="__tabbed_12_7">C</label><label for="__tabbed_12_8">C#</label><label for="__tabbed_12_9">Swift</label><label for="__tabbed_12_10">Zig</label><label for="__tabbed_12_11">Dart</label><label for="__tabbed_12_12">Rust</label></div>
@@ -6213,7 +6213,7 @@ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1
 <li>当 <code>nums = [?, ?, ..., 1]</code> ，即当末尾元素是 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 时，需要完整遍历数组，<strong>达到最差时间复杂度 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> 。</li>
 <li>当 <code>nums = [1, ?, ?, ...]</code> ，即当首个元素为 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 时，无论数组多长都不需要继续遍历，<strong>达到最佳时间复杂度 <span class="arithmatex">\(\Omega(1)\)</span></strong> 。</li>
 </ul>
-<p>「最差时间复杂度」对应函数渐近上界，使用大 <span class="arithmatex">\(O\)</span> 记号表示。相应地，「最佳时间复杂度」对应函数渐近下界，用 <span class="arithmatex">\(\Omega\)</span> 记号表示：</p>
+<p>“最差时间复杂度”对应函数渐近上界，使用大 <span class="arithmatex">\(O\)</span> 记号表示。相应地，“最佳时间复杂度”对应函数渐近下界，用 <span class="arithmatex">\(\Omega\)</span> 记号表示：</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="16:12"><input checked="checked" id="__tabbed_16_1" name="__tabbed_16" type="radio" /><input id="__tabbed_16_2" name="__tabbed_16" type="radio" /><input id="__tabbed_16_3" name="__tabbed_16" type="radio" /><input id="__tabbed_16_4" name="__tabbed_16" type="radio" /><input id="__tabbed_16_5" name="__tabbed_16" type="radio" /><input id="__tabbed_16_6" name="__tabbed_16" type="radio" /><input id="__tabbed_16_7" name="__tabbed_16" type="radio" /><input id="__tabbed_16_8" name="__tabbed_16" type="radio" /><input id="__tabbed_16_9" name="__tabbed_16" type="radio" /><input id="__tabbed_16_10" name="__tabbed_16" type="radio" /><input id="__tabbed_16_11" name="__tabbed_16" type="radio" /><input id="__tabbed_16_12" name="__tabbed_16" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_16_1">Java</label><label for="__tabbed_16_2">C++</label><label for="__tabbed_16_3">Python</label><label for="__tabbed_16_4">Go</label><label for="__tabbed_16_5">JS</label><label for="__tabbed_16_6">TS</label><label for="__tabbed_16_7">C</label><label for="__tabbed_16_8">C#</label><label for="__tabbed_16_9">Swift</label><label for="__tabbed_16_10">Zig</label><label for="__tabbed_16_11">Dart</label><label for="__tabbed_16_12">Rust</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -6544,8 +6544,8 @@ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1
 </div>
 </div>
 </div>
-<p>值得说明的是，我们在实际中很少使用「最佳时间复杂度」，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。<strong>而「最差时间复杂度」更为实用，因为它给出了一个效率安全值</strong>，让我们可以放心地使用算法。</p>
-<p>从上述示例可以看出，最差或最佳时间复杂度只出现于“特殊的数据分布”，这些情况的出现概率可能很小，并不能真实地反映算法运行效率。相比之下，<strong>「平均时间复杂度」可以体现算法在随机输入数据下的运行效率</strong>，用 <span class="arithmatex">\(\Theta\)</span> 记号来表示。</p>
+<p>值得说明的是，我们在实际中很少使用最佳时间复杂度，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。<strong>而最差时间复杂度更为实用，因为它给出了一个效率安全值</strong>，让我们可以放心地使用算法。</p>
+<p>从上述示例可以看出，最差或最佳时间复杂度只出现于“特殊的数据分布”，这些情况的出现概率可能很小，并不能真实地反映算法运行效率。相比之下，<strong>平均时间复杂度可以体现算法在随机输入数据下的运行效率</strong>，用 <span class="arithmatex">\(\Theta\)</span> 记号来表示。</p>
 <p>对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数就是数组长度的一半 <span class="arithmatex">\(\frac{n}{2}\)</span> ，平均时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(\Theta(\frac{n}{2}) = \Theta(n)\)</span> 。</p>
 <p>但对于较为复杂的算法，计算平均时间复杂度往往是比较困难的，因为很难分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。</p>
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