deploy

chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer/index.html

@@ -3474,12 +3474,12 @@
 
 
 <h1 id="121">12.1 &nbsp; 分治算法<a class="headerlink" href="#121" title="Permanent link">&para;</a></h1>
-<p>「分治 Divide and Conquer」，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两步：</p>
+<p>「分治 divide and conquer」，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两步：</p>
 <ol>
 <li><strong>分（划分阶段）</strong>：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止。</li>
 <li><strong>治（合并阶段）</strong>：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。</li>
 </ol>
-<p>已介绍过的「归并排序」是分治策略的典型应用之一，它的分治策略为：</p>
+<p>我们已学过的“归并排序”是分治策略的典型应用之一，其算法原理为：</p>
 <ol>
 <li><strong>分</strong>：递归地将原数组（原问题）划分为两个子数组（子问题），直到子数组只剩一个元素（最小子问题）。</li>
 <li><strong>治</strong>：从底至顶地将有序的子数组（子问题的解）进行合并，从而得到有序的原数组（原问题的解）。</li>
@@ -3504,7 +3504,7 @@
 <p>分治不仅可以有效地解决算法问题，<strong>往往还可以带来算法效率的提升</strong>。在排序算法中，快速排序、归并排序、堆排序相较于选择、冒泡、插入排序更快，就是因为它们应用了分治策略。</p>
 <p>那么，我们不禁发问：<strong>为什么分治可以提升算法效率，其底层逻辑是什么</strong>？换句话说，将大问题分解为多个子问题、解决子问题、将子问题的解合并为原问题的解，这几步的效率为什么比直接解决原问题的效率更高？这个问题可以从操作数量和并行计算两方面来讨论。</p>
 <h3 id="1">1. &nbsp; 操作数量优化<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>以「冒泡排序」为例，其处理一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的数组需要 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 时间。假设我们把数组从中点分为两个子数组，则划分需要 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，排序每个子数组需要 <span class="arithmatex">\(O((\frac{n}{2})^2)\)</span> 时间，合并两个子数组需要 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，总体时间复杂度为：</p>
+<p>以“冒泡排序”为例，其处理一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的数组需要 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 时间。假设我们把数组从中点分为两个子数组，则划分需要 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，排序每个子数组需要 <span class="arithmatex">\(O((\frac{n}{2})^2)\)</span> 时间，合并两个子数组需要 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间，总体时间复杂度为：</p>
 <div class="arithmatex">\[
 O(n + (\frac{n}{2})^2 \times 2 + n) = O(\frac{n^2}{2} + 2n)
 \]</div>
@@ -3520,8 +3520,8 @@ n(n - 4) &amp; &gt; 0
 \end{aligned}
 \]</div>
 <p><strong>这意味着当 <span class="arithmatex">\(n &gt; 4\)</span> 时，划分后的操作数量更少，排序效率应该更高</strong>。请注意，划分后的时间复杂度仍然是平方阶 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> ，只是复杂度中的常数项变小了。</p>
-<p>进一步想，<strong>如果我们把子数组不断地再从中点划分为两个子数组</strong>，直至子数组只剩一个元素时停止划分呢？这种思路实际上就是「归并排序」，时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> 。</p>
-<p>再思考，<strong>如果我们多设置几个划分点</strong>，将原数组平均划分为 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 个子数组呢？这种情况与「桶排序」非常类似，它非常适合排序海量数据，理论上时间复杂度可以达到 <span class="arithmatex">\(O(n + k)\)</span> 。</p>
+<p>进一步想，<strong>如果我们把子数组不断地再从中点划分为两个子数组</strong>，直至子数组只剩一个元素时停止划分呢？这种思路实际上就是“归并排序”，时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> 。</p>
+<p>再思考，<strong>如果我们多设置几个划分点</strong>，将原数组平均划分为 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 个子数组呢？这种情况与“桶排序”非常类似，它非常适合排序海量数据，理论上时间复杂度可以达到 <span class="arithmatex">\(O(n + k)\)</span> 。</p>
 <h3 id="2">2. &nbsp; 并行计算优化<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>我们知道，分治生成的子问题是相互独立的，<strong>因此通常可以并行解决</strong>。也就是说，分治不仅可以降低算法的时间复杂度，<strong>还有利于操作系统的并行优化</strong>。</p>
 <p>并行优化在多核或多处理器的环境中尤其有效，因为系统可以同时处理多个子问题，更加充分地利用计算资源，从而显著减少总体的运行时间。</p>