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krahets
@@ -1836,24 +1836,22 @@
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<h1 id="23">2.3. 空间复杂度<a class="headerlink" href="#23" title="Permanent link">¶</a></h1>
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<p>「空间复杂度 Space Complexity」统计 <strong>算法使用内存空间随着数据量变大时的增长趋势</strong>。这个概念与时间复杂度很类似。</p>
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<p>「空间复杂度 Space Complexity」用于衡量算法使用内存空间随着数据量变大时的增长趋势。这个概念与时间复杂度非常类似。</p>
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<h2 id="231">2.3.1. 算法相关空间<a class="headerlink" href="#231" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>算法运行中，使用的内存空间主要有以下几种：</p>
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<p>算法运行过程中使用的内存空间主要包括以下几种：</p>
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<ul>
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<li>「输入空间」用于存储算法的输入数据；</li>
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<li>「暂存空间」用于存储算法运行中的变量、对象、函数上下文等数据；</li>
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<li>「暂存空间」用于存储算法运行过程中的变量、对象、函数上下文等数据；</li>
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<li>「输出空间」用于存储算法的输出数据；</li>
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</ul>
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<div class="admonition tip">
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<p class="admonition-title">Tip</p>
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<p>通常情况下，空间复杂度统计范围是「暂存空间」+「输出空间」。</p>
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</div>
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<p>暂存空间可分为三个部分：</p>
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<p>暂存空间可以进一步划分为三个部分：</p>
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<ul>
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<li>「暂存数据」用于保存算法运行中的各种 <strong>常量、变量、对象</strong> 等。</li>
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<li>「栈帧空间」用于保存调用函数的上下文数据。系统每次调用函数都会在栈的顶部创建一个栈帧，函数返回时，栈帧空间会被释放。</li>
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<li>「指令空间」用于保存编译后的程序指令，<strong>在实际统计中一般忽略不计</strong>。</li>
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<li>「暂存数据」用于保存算法运行过程中的各种常量、变量、对象等。</li>
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<li>「栈帧空间」用于保存调用函数的上下文数据。系统在每次调用函数时都会在栈顶部创建一个栈帧，函数返回后，栈帧空间会被释放。</li>
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<li>「指令空间」用于保存编译后的程序指令，在实际统计中通常忽略不计。</li>
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</ul>
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<p>因此，在分析一段程序的空间复杂度时，我们一般统计 <strong>暂存数据、输出数据、栈帧空间</strong> 三部分。</p>
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<p><img alt="算法使用的相关空间" src="../space_complexity.assets/space_types.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 算法使用的相关空间 </p>
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@@ -2067,11 +2065,11 @@
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</div>
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<h2 id="232">2.3.2. 推算方法<a class="headerlink" href="#232" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>空间复杂度的推算方法和时间复杂度总体类似，只是从统计“计算操作数量”变为统计“使用空间大小”。与时间复杂度不同的是，<strong>我们一般只关注「最差空间复杂度」</strong>。这是因为内存空间是一个硬性要求，我们必须保证在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。</p>
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<p><strong>最差空间复杂度中的“最差”有两层含义</strong>，分别为输入数据的最差分布、算法运行中的最差时间点。</p>
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<p>空间复杂度的推算方法与时间复杂度大致相同，只是将统计对象从“计算操作数量”转为“使用空间大小”。与时间复杂度不同的是，<strong>我们通常只关注「最差空间复杂度」</strong>，这是因为内存空间是一项硬性要求，我们必须确保在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。</p>
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<p><strong>最差空间复杂度中的“最差”有两层含义</strong>，分别是输入数据的最差分布和算法运行过程中的最差时间点。</p>
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<ul>
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<li><strong>以最差输入数据为准</strong>。当 <span class="arithmatex">\(n < 10\)</span> 时，空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> ；但是当 <span class="arithmatex">\(n > 10\)</span> 时，初始化的数组 <code>nums</code> 使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 空间；因此最差空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ；</li>
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<li><strong>以算法运行过程中的峰值内存为准</strong>。程序在执行最后一行之前，使用 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 空间；当初始化数组 <code>nums</code> 时，程序使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 空间；因此最差空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ；</li>
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<li><strong>以最差输入数据为准</strong>。当 <span class="arithmatex">\(n < 10\)</span> 时，空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> ；但当 <span class="arithmatex">\(n > 10\)</span> 时，初始化的数组 <code>nums</code> 占用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 空间；因此最差空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ；</li>
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<li><strong>以算法运行过程中的峰值内存为准</strong>。例如，程序在执行最后一行之前，占用 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 空间；当初始化数组 <code>nums</code> 时，程序占用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 空间；因此最差空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ；</li>
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</ul>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:10"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label></div>
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<div class="tabbed-content">
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@@ -2165,7 +2163,7 @@
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</div>
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</div>
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</div>
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<p><strong>在递归函数中，需要注意统计栈帧空间</strong>。例如函数 <code>loop()</code>，在循环中调用了 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 次 <code>function()</code> ，每轮中的 <code>function()</code> 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。而递归函数 <code>recur()</code> 在运行中会同时存在 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个未返回的 <code>recur()</code> ，从而使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 的栈帧空间。</p>
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<p><strong>在递归函数中，需要注意统计栈帧空间</strong>。例如，函数 <code>loop()</code> 在循环中调用了 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 次 <code>function()</code>，每轮中的 <code>function()</code> 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。而递归函数 <code>recur()</code> 在运行过程中会同时存在 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个未返回的 <code>recur()</code>，从而占用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 的栈帧空间。</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:10"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_5" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_6" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_7" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_8" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_9" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_10" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">Java</label><label for="__tabbed_3_2">C++</label><label for="__tabbed_3_3">Python</label><label for="__tabbed_3_4">Go</label><label for="__tabbed_3_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_3_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_3_7">C</label><label for="__tabbed_3_8">C#</label><label for="__tabbed_3_9">Swift</label><label for="__tabbed_3_10">Zig</label></div>
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<div class="tabbed-content">
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<div class="tabbed-block">
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@@ -2346,7 +2344,7 @@ O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline
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<div class="admonition tip">
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<p class="admonition-title">Tip</p>
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<p>部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解空间复杂度含义和推算方法上。</p>
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<p>部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段我们先专注于理解空间复杂度的含义和推算方法。</p>
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</div>
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<h3 id="o1">常数阶 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span><a class="headerlink" href="#o1" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>常数阶常见于数量与输入数据大小 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 无关的常量、变量、对象。</p>
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@@ -2805,7 +2803,7 @@ O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline
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<p align="center"> Fig. 递归函数产生的线性阶空间复杂度 </p>
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<h3 id="on2">平方阶 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span><a class="headerlink" href="#on2" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>平方阶常见于元素数量与 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 成平方关系的矩阵、图。</p>
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<p>平方阶常见于矩阵和图，元素数量与 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 成平方关系。</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="7:10"><input checked="checked" id="__tabbed_7_1" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_2" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_3" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_4" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_5" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_6" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_7" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_8" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_9" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_10" name="__tabbed_7" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_7_1">Java</label><label for="__tabbed_7_2">C++</label><label for="__tabbed_7_3">Python</label><label for="__tabbed_7_4">Go</label><label for="__tabbed_7_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_7_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_7_7">C</label><label for="__tabbed_7_8">C#</label><label for="__tabbed_7_9">Swift</label><label for="__tabbed_7_10">Zig</label></div>
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<div class="tabbed-content">
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<div class="tabbed-block">
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@@ -2947,7 +2945,7 @@ O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline
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</div>
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</div>
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</div>
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<p>在以下递归函数中，同时存在 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个未返回的 <code>algorithm()</code> ，并且每个函数中都初始化了一个数组，长度分别为 <span class="arithmatex">\(n, n-1, n-2, ..., 2, 1\)</span> ，平均长度为 <span class="arithmatex">\(\frac{n}{2}\)</span> ，因此总体使用 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 空间。</p>
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<p>在以下递归函数中，同时存在 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个未返回的 <code>algorithm()</code>，并且每个函数中都初始化了一个数组，长度分别为 <span class="arithmatex">\(n, n-1, n-2, ..., 2, 1\)</span> ，平均长度为 <span class="arithmatex">\(\frac{n}{2}\)</span> ，因此总体占用 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 空间。</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="8:10"><input checked="checked" id="__tabbed_8_1" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_2" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_3" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_4" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_5" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_6" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_7" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_8" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_9" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_10" name="__tabbed_8" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_8_1">Java</label><label for="__tabbed_8_2">C++</label><label for="__tabbed_8_3">Python</label><label for="__tabbed_8_4">Go</label><label for="__tabbed_8_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_8_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_8_7">C</label><label for="__tabbed_8_8">C#</label><label for="__tabbed_8_9">Swift</label><label for="__tabbed_8_10">Zig</label></div>
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<div class="tabbed-content">
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<div class="tabbed-block">
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@@ -3057,7 +3055,7 @@ O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline
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<p align="center"> Fig. 递归函数产生的平方阶空间复杂度 </p>
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<h3 id="o2n">指数阶 <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span><a class="headerlink" href="#o2n" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>指数阶常见于二叉树。高度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的「满二叉树」的结点数量为 <span class="arithmatex">\(2^n - 1\)</span> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span> 空间。</p>
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<p>指数阶常见于二叉树。高度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的「满二叉树」的节点数量为 <span class="arithmatex">\(2^n - 1\)</span> ，占用 <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span> 空间。</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="9:10"><input checked="checked" id="__tabbed_9_1" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_2" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_3" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_4" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_5" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_6" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_7" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_8" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_9" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_10" name="__tabbed_9" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_9_1">Java</label><label for="__tabbed_9_2">C++</label><label for="__tabbed_9_3">Python</label><label for="__tabbed_9_4">Go</label><label for="__tabbed_9_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_9_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_9_7">C</label><label for="__tabbed_9_8">C#</label><label for="__tabbed_9_9">Swift</label><label for="__tabbed_9_10">Zig</label></div>
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<div class="tabbed-content">
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<div class="tabbed-block">
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@@ -3174,9 +3172,9 @@ O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline
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<p align="center"> Fig. 满二叉树产生的指数阶空间复杂度 </p>
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<h3 id="olog-n">对数阶 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span><a class="headerlink" href="#olog-n" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>对数阶常见于分治算法、数据类型转换等。</p>
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<p>例如「归并排序」，长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的数组可以形成高度为 <span class="arithmatex">\(\log n\)</span> 的递归树，因此空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 。</p>
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<p>再例如「数字转化为字符串」，输入任意正整数 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，它的位数为 <span class="arithmatex">\(\log_{10} n\)</span> ，即对应字符串长度为 <span class="arithmatex">\(\log_{10} n\)</span> ，因此空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(\log_{10} n) = O(\log n)\)</span> 。</p>
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<p>对数阶常见于分治算法和数据类型转换等。</p>
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<p>例如“归并排序”算法，输入长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的数组，每轮递归将数组从中点划分为两半，形成高度为 <span class="arithmatex">\(\log n\)</span> 的递归树，使用 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 栈帧空间。</p>
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<p>再例如“数字转化为字符串”，输入任意正整数 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，它的位数为 <span class="arithmatex">\(\log_{10} n\)</span> ，即对应字符串长度为 <span class="arithmatex">\(\log_{10} n\)</span> ，因此空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(\log_{10} n) = O(\log n)\)</span> 。</p>
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