build

chapter_heap/build_heap.md

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-# 9.2.   建堆操作 *
+# 8.2.   建堆操作 *
 
 如果我们想要根据输入列表生成一个堆，这个过程被称为「建堆」。
 
-## 9.2.1.   借助入堆方法实现
+## 8.2.1.   借助入堆方法实现
 
 最直接的方法是借助“元素入堆操作”实现，首先创建一个空堆，然后将列表元素依次添加到堆中。
 
 设元素数量为 $n$ ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ 。在依次添加元素时，堆的平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
 
-## 9.2.2.   基于堆化操作实现
+## 8.2.2.   基于堆化操作实现
 
 有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，**然后迭代地对各个节点执行“从顶至底堆化”**。当然，**我们不需要对叶节点执行堆化操作**，因为它们没有子节点。
 
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     }
     ```
 
-## 9.2.3.   复杂度分析
+## 8.2.3.   复杂度分析
 
 为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 $O(n)$ ？我们来展开推算一下。
 

chapter_heap/heap.md

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-# 9.1.   堆
+# 8.1.   堆
 
 「堆 Heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，可分为两种类型：
 
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 - 我们将二叉树的根节点称为「堆顶」，将底层最靠右的节点称为「堆底」。
 - 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（即根节点）的值分别是最大（最小）的。
 
-## 9.1.1.   堆常用操作
+## 8.1.1.   堆常用操作
 
 需要指出的是，许多编程语言提供的是「优先队列 Priority Queue」，这是一种抽象数据结构，定义为具有优先级排序的队列。
 
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     ```
 
-## 9.1.2.   堆的实现
+## 8.1.2.   堆的实现
 
 下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取逆（例如，将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ）。感兴趣的读者可以自行实现。
 
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     }
     ```
 
-## 9.1.3.   堆常见应用
+## 8.1.3.   堆常见应用
 
 - **优先队列**：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$ ，而建队操作为 $O(n)$ ，这些操作都非常高效。
 - **堆排序**：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后依次将所有元素弹出，从而得到一个有序序列。当然，堆排序的实现方法并不需要弹出元素，而是每轮将堆顶元素交换至数组尾部并缩小堆的长度。

chapter_heap/summary.md

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-# 9.3.   小结
+# 8.3.   小结
 
 - 堆是一棵完全二叉树，根据成立条件可分为大顶堆和小顶堆。大（小）顶堆的堆顶元素是最大（小）的。
 - 优先队列的定义是具有出队优先级的队列，通常使用堆来实现。