feat: Traditional Chinese version (#1163)
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Yudong Jin
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# 分治搜尋策略
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我們已經學過，搜尋演算法分為兩大類。
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- **暴力搜尋**：它透過走訪資料結構實現，時間複雜度為 $O(n)$ 。
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- **自適應搜尋**：它利用特有的資料組織形式或先驗資訊，時間複雜度可達到 $O(\log n)$ 甚至 $O(1)$ 。
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實際上，**時間複雜度為 $O(\log n)$ 的搜尋演算法通常是基於分治策略實現的**，例如二分搜尋和樹。
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- 二分搜尋的每一步都將問題（在陣列中搜索目標元素）分解為一個小問題（在陣列的一半中搜索目標元素），這個過程一直持續到陣列為空或找到目標元素為止。
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- 樹是分治思想的代表，在二元搜尋樹、AVL 樹、堆積等資料結構中，各種操作的時間複雜度皆為 $O(\log n)$ 。
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二分搜尋的分治策略如下所示。
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- **問題可以分解**：二分搜尋遞迴地將原問題（在陣列中進行查詢）分解為子問題（在陣列的一半中進行查詢），這是透過比較中間元素和目標元素來實現的。
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- **子問題是獨立的**：在二分搜尋中，每輪只處理一個子問題，它不受其他子問題的影響。
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- **子問題的解無須合併**：二分搜尋旨在查詢一個特定元素，因此不需要將子問題的解進行合併。當子問題得到解決時，原問題也會同時得到解決。
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分治能夠提升搜尋效率，本質上是因為暴力搜尋每輪只能排除一個選項，**而分治搜尋每輪可以排除一半選項**。
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### 基於分治實現二分搜尋
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在之前的章節中，二分搜尋是基於遞推（迭代）實現的。現在我們基於分治（遞迴）來實現它。
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!!! question
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給定一個長度為 $n$ 的有序陣列 `nums` ，其中所有元素都是唯一的，請查詢元素 `target` 。
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從分治角度，我們將搜尋區間 $[i, j]$ 對應的子問題記為 $f(i, j)$ 。
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以原問題 $f(0, n-1)$ 為起始點，透過以下步驟進行二分搜尋。
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1. 計算搜尋區間 $[i, j]$ 的中點 $m$ ，根據它排除一半搜尋區間。
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2. 遞迴求解規模減小一半的子問題，可能為 $f(i, m-1)$ 或 $f(m+1, j)$ 。
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3. 迴圈第 `1.` 步和第 `2.` 步，直至找到 `target` 或區間為空時返回。
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下圖展示了在陣列中二分搜尋元素 $6$ 的分治過程。
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在實現程式碼中，我們宣告一個遞迴函式 `dfs()` 來求解問題 $f(i, j)$ ：
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```src
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[file]{binary_search_recur}-[class]{}-[func]{binary_search}
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```
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# 構建二元樹問題
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!!! question
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給定一棵二元樹的前序走訪 `preorder` 和中序走訪 `inorder` ，請從中構建二元樹，返回二元樹的根節點。假設二元樹中沒有值重複的節點（如下圖所示）。
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### 判斷是否為分治問題
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原問題定義為從 `preorder` 和 `inorder` 構建二元樹，是一個典型的分治問題。
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- **問題可以分解**：從分治的角度切入，我們可以將原問題劃分為兩個子問題：構建左子樹、構建右子樹，加上一步操作：初始化根節點。而對於每棵子樹（子問題），我們仍然可以複用以上劃分方法，將其劃分為更小的子樹（子問題），直至達到最小子問題（空子樹）時終止。
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- **子問題是獨立的**：左子樹和右子樹是相互獨立的，它們之間沒有交集。在構建左子樹時，我們只需關注中序走訪和前序走訪中與左子樹對應的部分。右子樹同理。
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- **子問題的解可以合併**：一旦得到了左子樹和右子樹（子問題的解），我們就可以將它們連結到根節點上，得到原問題的解。
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### 如何劃分子樹
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根據以上分析，這道題可以使用分治來求解，**但如何透過前序走訪 `preorder` 和中序走訪 `inorder` 來劃分左子樹和右子樹呢**？
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根據定義，`preorder` 和 `inorder` 都可以劃分為三個部分。
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- 前序走訪：`[ 根節點 | 左子樹 | 右子樹 ]` ，例如上圖的樹對應 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
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- 中序走訪：`[ 左子樹 | 根節點 ｜ 右子樹 ]` ，例如上圖的樹對應 `[ 9 | 3 | 1 2 7 ]` 。
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以上圖資料為例，我們可以透過下圖所示的步驟得到劃分結果。
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1. 前序走訪的首元素 3 是根節點的值。
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2. 查詢根節點 3 在 `inorder` 中的索引，利用該索引可將 `inorder` 劃分為 `[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]` 。
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3. 根據 `inorder` 的劃分結果，易得左子樹和右子樹的節點數量分別為 1 和 3 ，從而可將 `preorder` 劃分為 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
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### 基於變數描述子樹區間
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根據以上劃分方法，**我們已經得到根節點、左子樹、右子樹在 `preorder` 和 `inorder` 中的索引區間**。而為了描述這些索引區間，我們需要藉助幾個指標變數。
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- 將當前樹的根節點在 `preorder` 中的索引記為 $i$ 。
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- 將當前樹的根節點在 `inorder` 中的索引記為 $m$ 。
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- 將當前樹在 `inorder` 中的索引區間記為 $[l, r]$ 。
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如下表所示，透過以上變數即可表示根節點在 `preorder` 中的索引，以及子樹在 `inorder` 中的索引區間。
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<p align="center"> 表 <id> 根節點和子樹在前序走訪和中序走訪中的索引 </p>
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| | 根節點在 `preorder` 中的索引 | 子樹在 `inorder` 中的索引區間 |
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| ------ | ---------------------------- | ----------------------------- |
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| 當前樹 | $i$ | $[l, r]$ |
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| 左子樹 | $i + 1$ | $[l, m-1]$ |
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| 右子樹 | $i + 1 + (m - l)$ | $[m+1, r]$ |
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請注意，右子樹根節點索引中的 $(m-l)$ 的含義是“左子樹的節點數量”，建議結合下圖理解。
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### 程式碼實現
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為了提升查詢 $m$ 的效率，我們藉助一個雜湊表 `hmap` 來儲存陣列 `inorder` 中元素到索引的對映：
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```src
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[file]{build_tree}-[class]{}-[func]{build_tree}
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```
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下圖展示了構建二元樹的遞迴過程，各個節點是在向下“遞”的過程中建立的，而各條邊（引用）是在向上“迴”的過程中建立的。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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=== "<3>"
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=== "<4>"
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=== "<5>"
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=== "<6>"
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=== "<7>"
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=== "<8>"
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=== "<9>"
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每個遞迴函式內的前序走訪 `preorder` 和中序走訪 `inorder` 的劃分結果如下圖所示。
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設樹的節點數量為 $n$ ，初始化每一個節點（執行一個遞迴函式 `dfs()` ）使用 $O(1)$ 時間。**因此總體時間複雜度為 $O(n)$** 。
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雜湊表儲存 `inorder` 元素到索引的對映，空間複雜度為 $O(n)$ 。在最差情況下，即二元樹退化為鏈結串列時，遞迴深度達到 $n$ ，使用 $O(n)$ 的堆疊幀空間。**因此總體空間複雜度為 $O(n)$** 。
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# 分治演算法
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<u>分治（divide and conquer）</u>，全稱分而治之，是一種非常重要且常見的演算法策略。分治通常基於遞迴實現，包括“分”和“治”兩個步驟。
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1. **分（劃分階段）**：遞迴地將原問題分解為兩個或多個子問題，直至到達最小子問題時終止。
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2. **治（合併階段）**：從已知解的最小子問題開始，從底至頂地將子問題的解進行合併，從而構建出原問題的解。
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如下圖所示，“合併排序”是分治策略的典型應用之一。
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1. **分**：遞迴地將原陣列（原問題）劃分為兩個子陣列（子問題），直到子陣列只剩一個元素（最小子問題）。
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2. **治**：從底至頂地將有序的子陣列（子問題的解）進行合併，從而得到有序的原陣列（原問題的解）。
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## 如何判斷分治問題
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一個問題是否適合使用分治解決，通常可以參考以下幾個判斷依據。
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1. **問題可以分解**：原問題可以分解成規模更小、類似的子問題，以及能夠以相同方式遞迴地進行劃分。
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2. **子問題是獨立的**：子問題之間沒有重疊，互不依賴，可以獨立解決。
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3. **子問題的解可以合併**：原問題的解透過合併子問題的解得來。
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顯然，合併排序滿足以上三個判斷依據。
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1. **問題可以分解**：遞迴地將陣列（原問題）劃分為兩個子陣列（子問題）。
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2. **子問題是獨立的**：每個子陣列都可以獨立地進行排序（子問題可以獨立進行求解）。
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3. **子問題的解可以合併**：兩個有序子陣列（子問題的解）可以合併為一個有序陣列（原問題的解）。
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## 透過分治提升效率
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**分治不僅可以有效地解決演算法問題，往往還可以提升演算法效率**。在排序演算法中，快速排序、合併排序、堆積排序相較於選擇、冒泡、插入排序更快，就是因為它們應用了分治策略。
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那麼，我們不禁發問：**為什麼分治可以提升演算法效率，其底層邏輯是什麼**？換句話說，將大問題分解為多個子問題、解決子問題、將子問題的解合併為原問題的解，這幾步的效率為什麼比直接解決原問題的效率更高？這個問題可以從操作數量和平行計算兩方面來討論。
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### 操作數量最佳化
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以“泡沫排序”為例，其處理一個長度為 $n$ 的陣列需要 $O(n^2)$ 時間。假設我們按照下圖所示的方式，將陣列從中點處分為兩個子陣列，則劃分需要 $O(n)$ 時間，排序每個子陣列需要 $O((n / 2)^2)$ 時間，合併兩個子陣列需要 $O(n)$ 時間，總體時間複雜度為：
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$$
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O(n + (\frac{n}{2})^2 \times 2 + n) = O(\frac{n^2}{2} + 2n)
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$$
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接下來，我們計算以下不等式，其左邊和右邊分別為劃分前和劃分後的操作總數：
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$$
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\begin{aligned}
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n^2 & > \frac{n^2}{2} + 2n \newline
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n^2 - \frac{n^2}{2} - 2n & > 0 \newline
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n(n - 4) & > 0
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\end{aligned}
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$$
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**這意味著當 $n > 4$ 時，劃分後的操作數量更少，排序效率應該更高**。請注意，劃分後的時間複雜度仍然是平方階 $O(n^2)$ ，只是複雜度中的常數項變小了。
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進一步想，**如果我們把子陣列不斷地再從中點處劃分為兩個子陣列**，直至子陣列只剩一個元素時停止劃分呢？這種思路實際上就是“合併排序”，時間複雜度為 $O(n \log n)$ 。
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再思考，**如果我們多設定幾個劃分點**，將原陣列平均劃分為 $k$ 個子陣列呢？這種情況與“桶排序”非常類似，它非常適合排序海量資料，理論上時間複雜度可以達到 $O(n + k)$ 。
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### 平行計算最佳化
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我們知道，分治生成的子問題是相互獨立的，**因此通常可以並行解決**。也就是說，分治不僅可以降低演算法的時間複雜度，**還有利於作業系統的並行最佳化**。
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並行最佳化在多核或多處理器的環境中尤其有效，因為系統可以同時處理多個子問題，更加充分地利用計算資源，從而顯著減少總體的執行時間。
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比如在下圖所示的“桶排序”中，我們將海量的資料平均分配到各個桶中，則可所有桶的排序任務分散到各個計算單元，完成後再合併結果。
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## 分治常見應用
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一方面，分治可以用來解決許多經典演算法問題。
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- **尋找最近點對**：該演算法首先將點集分成兩部分，然後分別找出兩部分中的最近點對，最後找出跨越兩部分的最近點對。
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- **大整數乘法**：例如 Karatsuba 演算法，它將大整數乘法分解為幾個較小的整數的乘法和加法。
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- **矩陣乘法**：例如 Strassen 演算法，它將大矩陣乘法分解為多個小矩陣的乘法和加法。
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- **河內塔問題**：河內塔問題可以透過遞迴解決，這是典型的分治策略應用。
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- **求解逆序對**：在一個序列中，如果前面的數字大於後面的數字，那麼這兩個數字構成一個逆序對。求解逆序對問題可以利用分治的思想，藉助合併排序進行求解。
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另一方面，分治在演算法和資料結構的設計中應用得非常廣泛。
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- **二分搜尋**：二分搜尋是將有序陣列從中點索引處分為兩部分，然後根據目標值與中間元素值比較結果，決定排除哪一半區間，並在剩餘區間執行相同的二分操作。
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- **合併排序**：本節開頭已介紹，不再贅述。
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- **快速排序**：快速排序是選取一個基準值，然後把陣列分為兩個子陣列，一個子陣列的元素比基準值小，另一子陣列的元素比基準值大，再對這兩部分進行相同的劃分操作，直至子陣列只剩下一個元素。
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- **桶排序**：桶排序的基本思想是將資料分散到多個桶，然後對每個桶內的元素進行排序，最後將各個桶的元素依次取出，從而得到一個有序陣列。
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- **樹**：例如二元搜尋樹、AVL 樹、紅黑樹、B 樹、B+ 樹等，它們的查詢、插入和刪除等操作都可以視為分治策略的應用。
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- **堆積**：堆積是一種特殊的完全二元樹，其各種操作，如插入、刪除和堆積化，實際上都隱含了分治的思想。
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- **雜湊表**：雖然雜湊表並不直接應用分治，但某些雜湊衝突解決方案間接應用了分治策略，例如，鏈式位址中的長鏈結串列會被轉化為紅黑樹，以提升查詢效率。
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可以看出，**分治是一種“潤物細無聲”的演算法思想**，隱含在各種演算法與資料結構之中。
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# 河內塔問題
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在合併排序和構建二元樹中，我們都是將原問題分解為兩個規模為原問題一半的子問題。然而對於河內塔問題，我們採用不同的分解策略。
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!!! question
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給定三根柱子，記為 `A`、`B` 和 `C` 。起始狀態下，柱子 `A` 上套著 $n$ 個圓盤，它們從上到下按照從小到大的順序排列。我們的任務是要把這 $n$ 個圓盤移到柱子 `C` 上，並保持它們的原有順序不變（如下圖所示）。在移動圓盤的過程中，需要遵守以下規則。
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1. 圓盤只能從一根柱子頂部拿出，從另一根柱子頂部放入。
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2. 每次只能移動一個圓盤。
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3. 小圓盤必須時刻位於大圓盤之上。
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**我們將規模為 $i$ 的河內塔問題記作 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表將 $3$ 個圓盤從 `A` 移動至 `C` 的河內塔問題。
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### 考慮基本情況
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如下圖所示，對於問題 $f(1)$ ，即當只有一個圓盤時，我們將它直接從 `A` 移動至 `C` 即可。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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如下圖所示，對於問題 $f(2)$ ，即當有兩個圓盤時，**由於要時刻滿足小圓盤在大圓盤之上，因此需要藉助 `B` 來完成移動**。
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1. 先將上面的小圓盤從 `A` 移至 `B` 。
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2. 再將大圓盤從 `A` 移至 `C` 。
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3. 最後將小圓盤從 `B` 移至 `C` 。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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=== "<3>"
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=== "<4>"
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解決問題 $f(2)$ 的過程可總結為：**將兩個圓盤藉助 `B` 從 `A` 移至 `C`** 。其中，`C` 稱為目標柱、`B` 稱為緩衝柱。
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### 子問題分解
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對於問題 $f(3)$ ，即當有三個圓盤時，情況變得稍微複雜了一些。
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因為已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，所以我們可從分治角度思考，**將 `A` 頂部的兩個圓盤看作一個整體**，執行下圖所示的步驟。這樣三個圓盤就被順利地從 `A` 移至 `C` 了。
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1. 令 `B` 為目標柱、`C` 為緩衝柱，將兩個圓盤從 `A` 移至 `B` 。
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2. 將 `A` 中剩餘的一個圓盤從 `A` 直接移動至 `C` 。
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3. 令 `C` 為目標柱、`A` 為緩衝柱，將兩個圓盤從 `B` 移至 `C` 。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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=== "<3>"
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=== "<4>"
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從本質上看，**我們將問題 $f(3)$ 劃分為兩個子問題 $f(2)$ 和一個子問題 $f(1)$** 。按順序解決這三個子問題之後，原問題隨之得到解決。這說明子問題是獨立的，而且解可以合併。
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至此，我們可總結出下圖所示的解決河內塔問題的分治策略：將原問題 $f(n)$ 劃分為兩個子問題 $f(n-1)$ 和一個子問題 $f(1)$ ，並按照以下順序解決這三個子問題。
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1. 將 $n-1$ 個圓盤藉助 `C` 從 `A` 移至 `B` 。
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2. 將剩餘 $1$ 個圓盤從 `A` 直接移至 `C` 。
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3. 將 $n-1$ 個圓盤藉助 `A` 從 `B` 移至 `C` 。
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對於這兩個子問題 $f(n-1)$ ，**可以透過相同的方式進行遞迴劃分**，直至達到最小子問題 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移動操作即可。
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### 程式碼實現
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在程式碼中，我們宣告一個遞迴函式 `dfs(i, src, buf, tar)` ，它的作用是將柱 `src` 頂部的 $i$ 個圓盤藉助緩衝柱 `buf` 移動至目標柱 `tar` ：
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```src
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[file]{hanota}-[class]{}-[func]{solve_hanota}
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```
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如下圖所示，河內塔問題形成一棵高度為 $n$ 的遞迴樹，每個節點代表一個子問題，對應一個開啟的 `dfs()` 函式，**因此時間複雜度為 $O(2^n)$ ，空間複雜度為 $O(n)$** 。
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!!! quote
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河內塔問題源自一個古老的傳說。在古印度的一個寺廟裡，僧侶們有三根高大的鑽石柱子，以及 $64$ 個大小不一的金圓盤。僧侶們不斷地移動圓盤，他們相信在最後一個圓盤被正確放置的那一刻，這個世界就會結束。
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然而，即使僧侶們每秒鐘移動一次，總共需要大約 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒，合約 $5850$ 億年，遠遠超過了現在對宇宙年齡的估計。所以，倘若這個傳說是真的，我們應該不需要擔心世界末日的到來。
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# 分治
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!!! abstract
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難題被逐層拆解，每一次的拆解都使它變得更為簡單。
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分而治之揭示了一個重要的事實：從簡單做起，一切都不再複雜。
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# 小結
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- 分治是一種常見的演算法設計策略，包括分（劃分）和治（合併）兩個階段，通常基於遞迴實現。
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- 判斷是否是分治演算法問題的依據包括：問題能否分解、子問題是否獨立、子問題能否合併。
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- 合併排序是分治策略的典型應用，其遞迴地將陣列劃分為等長的兩個子陣列，直到只剩一個元素時開始逐層合併，從而完成排序。
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- 引入分治策略往往可以提升演算法效率。一方面，分治策略減少了操作數量；另一方面，分治後有利於系統的並行最佳化。
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- 分治既可以解決許多演算法問題，也廣泛應用於資料結構與演算法設計中，處處可見其身影。
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- 相較於暴力搜尋，自適應搜尋效率更高。時間複雜度為 $O(\log n)$ 的搜尋演算法通常是基於分治策略實現的。
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- 二分搜尋是分治策略的另一個典型應用，它不包含將子問題的解進行合併的步驟。我們可以透過遞迴分治實現二分搜尋。
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- 在構建二元樹的問題中，構建樹（原問題）可以劃分為構建左子樹和右子樹（子問題），這可以透過劃分前序走訪和中序走訪的索引區間來實現。
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- 在河內塔問題中，一個規模為 $n$ 的問題可以劃分為兩個規模為 $n-1$ 的子問題和一個規模為 $1$ 的子問題。按順序解決這三個子問題後，原問題隨之得到解決。
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