feat: Traditional Chinese version (#1163)
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Yudong Jin
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# 圖
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<u>圖（graph）</u>是一種非線性資料結構，由<u>頂點（vertex）</u>和<u>邊（edge）</u>組成。我們可以將圖 $G$ 抽象地表示為一組頂點 $V$ 和一組邊 $E$ 的集合。以下示例展示了一個包含 5 個頂點和 7 條邊的圖。
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$$
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\begin{aligned}
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V & = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \newline
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E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline
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G & = \{ V, E \} \newline
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\end{aligned}
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$$
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如果將頂點看作節點，將邊看作連線各個節點的引用（指標），我們就可以將圖看作一種從鏈結串列拓展而來的資料結構。如下圖所示，**相較於線性關係（鏈結串列）和分治關係（樹），網路關係（圖）的自由度更高**，因而更為複雜。
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## 圖的常見型別與術語
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根據邊是否具有方向，可分為<u>無向圖（undirected graph）</u>和<u>有向圖（directed graph）</u>，如下圖所示。
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- 在無向圖中，邊表示兩頂點之間的“雙向”連線關係，例如微信或 QQ 中的“好友關係”。
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- 在有向圖中，邊具有方向性，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 兩個方向的邊是相互獨立的，例如微博或抖音上的“關注”與“被關注”關係。
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根據所有頂點是否連通，可分為<u>連通圖（connected graph）</u>和<u>非連通圖（disconnected graph）</u>，如下圖所示。
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- 對於連通圖，從某個頂點出發，可以到達其餘任意頂點。
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- 對於非連通圖，從某個頂點出發，至少有一個頂點無法到達。
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我們還可以為邊新增“權重”變數，從而得到如下圖所示的<u>有權圖（weighted graph）</u>。例如在《王者榮耀》等手遊中，系統會根據共同遊戲時間來計算玩家之間的“親密度”，這種親密度網路就可以用有權圖來表示。
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圖資料結構包含以下常用術語。
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- <u>鄰接（adjacency）</u>：當兩頂點之間存在邊相連時，稱這兩頂點“鄰接”。在上圖中，頂點 1 的鄰接頂點為頂點 2、3、5。
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- <u>路徑（path）</u>：從頂點 A 到頂點 B 經過的邊構成的序列被稱為從 A 到 B 的“路徑”。在上圖中，邊序列 1-5-2-4 是頂點 1 到頂點 4 的一條路徑。
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- <u>度（degree）</u>：一個頂點擁有的邊數。對於有向圖，<u>入度（in-degree）</u>表示有多少條邊指向該頂點，<u>出度（out-degree）</u>表示有多少條邊從該頂點指出。
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## 圖的表示
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圖的常用表示方式包括“鄰接矩陣”和“鄰接表”。以下使用無向圖進行舉例。
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### 鄰接矩陣
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設圖的頂點數量為 $n$ ，<u>鄰接矩陣（adjacency matrix）</u>使用一個 $n \times n$ 大小的矩陣來表示圖，每一行（列）代表一個頂點，矩陣元素代表邊，用 $1$ 或 $0$ 表示兩個頂點之間是否存在邊。
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如下圖所示，設鄰接矩陣為 $M$、頂點串列為 $V$ ，那麼矩陣元素 $M[i, j] = 1$ 表示頂點 $V[i]$ 到頂點 $V[j]$ 之間存在邊，反之 $M[i, j] = 0$ 表示兩頂點之間無邊。
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鄰接矩陣具有以下特性。
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- 頂點不能與自身相連，因此鄰接矩陣主對角線元素沒有意義。
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- 對於無向圖，兩個方向的邊等價，此時鄰接矩陣關於主對角線對稱。
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- 將鄰接矩陣的元素從 $1$ 和 $0$ 替換為權重，則可表示有權圖。
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使用鄰接矩陣表示圖時，我們可以直接訪問矩陣元素以獲取邊，因此增刪查改操作的效率很高，時間複雜度均為 $O(1)$ 。然而，矩陣的空間複雜度為 $O(n^2)$ ，記憶體佔用較多。
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### 鄰接表
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<u>鄰接表（adjacency list）</u>使用 $n$ 個鏈結串列來表示圖，鏈結串列節點表示頂點。第 $i$ 個鏈結串列對應頂點 $i$ ，其中儲存了該頂點的所有鄰接頂點（與該頂點相連的頂點）。下圖展示了一個使用鄰接表儲存的圖的示例。
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鄰接表僅儲存實際存在的邊，而邊的總數通常遠小於 $n^2$ ，因此它更加節省空間。然而，在鄰接表中需要透過走訪鏈結串列來查詢邊，因此其時間效率不如鄰接矩陣。
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觀察上圖，**鄰接表結構與雜湊表中的“鏈式位址”非常相似，因此我們也可以採用類似的方法來最佳化效率**。比如當鏈結串列較長時，可以將鏈結串列轉化為 AVL 樹或紅黑樹，從而將時間效率從 $O(n)$ 最佳化至 $O(\log n)$ ；還可以把鏈結串列轉換為雜湊表，從而將時間複雜度降至 $O(1)$ 。
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## 圖的常見應用
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如下表所示，許多現實系統可以用圖來建模，相應的問題也可以約化為圖計算問題。
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<p align="center"> 表 <id> 現實生活中常見的圖 </p>
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| | 頂點 | 邊 | 圖計算問題 |
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| -------- | ---- | -------------------- | ------------ |
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| 社交網路 | 使用者 | 好友關係 | 潛在好友推薦 |
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| 地鐵線路 | 站點 | 站點間的連通性 | 最短路線推薦 |
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| 太陽系 | 星體 | 星體間的萬有引力作用 | 行星軌道計算 |
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# 圖的基礎操作
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圖的基礎操作可分為對“邊”的操作和對“頂點”的操作。在“鄰接矩陣”和“鄰接表”兩種表示方法下，實現方式有所不同。
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## 基於鄰接矩陣的實現
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給定一個頂點數量為 $n$ 的無向圖，則各種操作的實現方式如下圖所示。
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- **新增或刪除邊**：直接在鄰接矩陣中修改指定的邊即可，使用 $O(1)$ 時間。而由於是無向圖，因此需要同時更新兩個方向的邊。
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- **新增頂點**：在鄰接矩陣的尾部新增一行一列，並全部填 $0$ 即可，使用 $O(n)$ 時間。
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- **刪除頂點**：在鄰接矩陣中刪除一行一列。當刪除首行首列時達到最差情況，需要將 $(n-1)^2$ 個元素“向左上移動”，從而使用 $O(n^2)$ 時間。
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- **初始化**：傳入 $n$ 個頂點，初始化長度為 $n$ 的頂點串列 `vertices` ，使用 $O(n)$ 時間；初始化 $n \times n$ 大小的鄰接矩陣 `adjMat` ，使用 $O(n^2)$ 時間。
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=== "初始化鄰接矩陣"
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=== "新增邊"
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=== "刪除邊"
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=== "新增頂點"
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=== "刪除頂點"
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以下是基於鄰接矩陣表示圖的實現程式碼：
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```src
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[file]{graph_adjacency_matrix}-[class]{graph_adj_mat}-[func]{}
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```
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## 基於鄰接表的實現
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設無向圖的頂點總數為 $n$、邊總數為 $m$ ，則可根據下圖所示的方法實現各種操作。
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- **新增邊**：在頂點對應鏈結串列的末尾新增邊即可，使用 $O(1)$ 時間。因為是無向圖，所以需要同時新增兩個方向的邊。
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- **刪除邊**：在頂點對應鏈結串列中查詢並刪除指定邊，使用 $O(m)$ 時間。在無向圖中，需要同時刪除兩個方向的邊。
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- **新增頂點**：在鄰接表中新增一個鏈結串列，並將新增頂點作為鏈結串列頭節點，使用 $O(1)$ 時間。
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- **刪除頂點**：需走訪整個鄰接表，刪除包含指定頂點的所有邊，使用 $O(n + m)$ 時間。
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- **初始化**：在鄰接表中建立 $n$ 個頂點和 $2m$ 條邊，使用 $O(n + m)$ 時間。
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=== "初始化鄰接表"
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=== "新增邊"
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=== "刪除邊"
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=== "新增頂點"
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=== "刪除頂點"
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以下是鄰接表的程式碼實現。對比上圖，實際程式碼有以下不同。
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- 為了方便新增與刪除頂點，以及簡化程式碼，我們使用串列（動態陣列）來代替鏈結串列。
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- 使用雜湊表來儲存鄰接表，`key` 為頂點例項，`value` 為該頂點的鄰接頂點串列（鏈結串列）。
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另外，我們在鄰接表中使用 `Vertex` 類別來表示頂點，這樣做的原因是：如果與鄰接矩陣一樣，用串列索引來區分不同頂點，那麼假設要刪除索引為 $i$ 的頂點，則需走訪整個鄰接表，將所有大於 $i$ 的索引全部減 $1$ ，效率很低。而如果每個頂點都是唯一的 `Vertex` 例項，刪除某一頂點之後就無須改動其他頂點了。
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```src
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[file]{graph_adjacency_list}-[class]{graph_adj_list}-[func]{}
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```
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## 效率對比
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設圖中共有 $n$ 個頂點和 $m$ 條邊，下表對比了鄰接矩陣和鄰接表的時間效率和空間效率。
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<p align="center"> 表 <id> 鄰接矩陣與鄰接表對比 </p>
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| | 鄰接矩陣 | 鄰接表（鏈結串列） | 鄰接表（雜湊表） |
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| ------------ | -------- | -------------- | ---------------- |
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| 判斷是否鄰接 | $O(1)$ | $O(m)$ | $O(1)$ |
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| 新增邊 | $O(1)$ | $O(1)$ | $O(1)$ |
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| 刪除邊 | $O(1)$ | $O(m)$ | $O(1)$ |
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| 新增頂點 | $O(n)$ | $O(1)$ | $O(1)$ |
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| 刪除頂點 | $O(n^2)$ | $O(n + m)$ | $O(n)$ |
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| 記憶體空間佔用 | $O(n^2)$ | $O(n + m)$ | $O(n + m)$ |
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觀察上表，似乎鄰接表（雜湊表）的時間效率與空間效率最優。但實際上，在鄰接矩陣中操作邊的效率更高，只需一次陣列訪問或賦值操作即可。綜合來看，鄰接矩陣體現了“以空間換時間”的原則，而鄰接表體現了“以時間換空間”的原則。
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# 圖的走訪
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樹代表的是“一對多”的關係，而圖則具有更高的自由度，可以表示任意的“多對多”關係。因此，我們可以把樹看作圖的一種特例。顯然，**樹的走訪操作也是圖的走訪操作的一種特例**。
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圖和樹都需要應用搜索演算法來實現走訪操作。圖的走訪方式也可分為兩種：<u>廣度優先走訪</u>和<u>深度優先走訪</u>。
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## 廣度優先走訪
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**廣度優先走訪是一種由近及遠的走訪方式，從某個節點出發，始終優先訪問距離最近的頂點，並一層層向外擴張**。如下圖所示，從左上角頂點出發，首先走訪該頂點的所有鄰接頂點，然後走訪下一個頂點的所有鄰接頂點，以此類推，直至所有頂點訪問完畢。
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### 演算法實現
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BFS 通常藉助佇列來實現，程式碼如下所示。佇列具有“先入先出”的性質，這與 BFS 的“由近及遠”的思想異曲同工。
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1. 將走訪起始頂點 `startVet` 加入列列，並開啟迴圈。
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2. 在迴圈的每輪迭代中，彈出佇列首頂點並記錄訪問，然後將該頂點的所有鄰接頂點加入到佇列尾部。
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3. 迴圈步驟 `2.` ，直到所有頂點被訪問完畢後結束。
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為了防止重複走訪頂點，我們需要藉助一個雜湊表 `visited` 來記錄哪些節點已被訪問。
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```src
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[file]{graph_bfs}-[class]{}-[func]{graph_bfs}
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```
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程式碼相對抽象，建議對照下圖來加深理解。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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=== "<3>"
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=== "<4>"
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=== "<5>"
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=== "<6>"
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=== "<7>"
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=== "<8>"
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=== "<9>"
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=== "<10>"
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=== "<11>"
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!!! question "廣度優先走訪的序列是否唯一？"
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不唯一。廣度優先走訪只要求按“由近及遠”的順序走訪，**而多個相同距離的頂點的走訪順序允許被任意打亂**。以上圖為例，頂點 $1$、$3$ 的訪問順序可以交換，頂點 $2$、$4$、$6$ 的訪問順序也可以任意交換。
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### 複雜度分析
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**時間複雜度**：所有頂點都會入列並出隊一次，使用 $O(|V|)$ 時間；在走訪鄰接頂點的過程中，由於是無向圖，因此所有邊都會被訪問 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 時間；總體使用 $O(|V| + |E|)$ 時間。
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**空間複雜度**：串列 `res` ，雜湊表 `visited` ，佇列 `que` 中的頂點數量最多為 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空間。
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## 深度優先走訪
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**深度優先走訪是一種優先走到底、無路可走再回頭的走訪方式**。如下圖所示，從左上角頂點出發，訪問當前頂點的某個鄰接頂點，直到走到盡頭時返回，再繼續走到盡頭並返回，以此類推，直至所有頂點走訪完成。
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### 演算法實現
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這種“走到盡頭再返回”的演算法範式通常基於遞迴來實現。與廣度優先走訪類似，在深度優先走訪中，我們也需要藉助一個雜湊表 `visited` 來記錄已被訪問的頂點，以避免重複訪問頂點。
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```src
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[file]{graph_dfs}-[class]{}-[func]{graph_dfs}
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```
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深度優先走訪的演算法流程如下圖所示。
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- **直虛線代表向下遞推**，表示開啟了一個新的遞迴方法來訪問新頂點。
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- **曲虛線代表向上回溯**，表示此遞迴方法已經返回，回溯到了開啟此方法的位置。
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為了加深理解，建議將下圖與程式碼結合起來，在腦中模擬（或者用筆畫下來）整個 DFS 過程，包括每個遞迴方法何時開啟、何時返回。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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=== "<3>"
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=== "<4>"
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=== "<5>"
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=== "<6>"
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=== "<7>"
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=== "<8>"
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=== "<9>"
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=== "<10>"
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=== "<11>"
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!!! question "深度優先走訪的序列是否唯一？"
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與廣度優先走訪類似，深度優先走訪序列的順序也不是唯一的。給定某頂點，先往哪個方向探索都可以，即鄰接頂點的順序可以任意打亂，都是深度優先走訪。
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以樹的走訪為例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分別對應前序、中序、後序走訪，它們展示了三種走訪優先順序，然而這三者都屬於深度優先走訪。
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### 複雜度分析
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**時間複雜度**：所有頂點都會被訪問 $1$ 次，使用 $O(|V|)$ 時間；所有邊都會被訪問 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 時間；總體使用 $O(|V| + |E|)$ 時間。
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**空間複雜度**：串列 `res` ，雜湊表 `visited` 頂點數量最多為 $|V|$ ，遞迴深度最大為 $|V|$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空間。
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@@ -0,0 +1,9 @@
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# 圖
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!!! abstract
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在生命旅途中，我們就像是一個個節點，被無數看不見的邊相連。
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每一次的相識與相離，都在這張巨大的網路圖中留下獨特的印記。
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@@ -0,0 +1,31 @@
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# 小結
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### 重點回顧
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- 圖由頂點和邊組成，可以表示為一組頂點和一組邊構成的集合。
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- 相較於線性關係（鏈結串列）和分治關係（樹），網路關係（圖）具有更高的自由度，因而更為複雜。
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- 有向圖的邊具有方向性，連通圖中的任意頂點均可達，有權圖的每條邊都包含權重變數。
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- 鄰接矩陣利用矩陣來表示圖，每一行（列）代表一個頂點，矩陣元素代表邊，用 $1$ 或 $0$ 表示兩個頂點之間有邊或無邊。鄰接矩陣在增刪查改操作上效率很高，但空間佔用較多。
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- 鄰接表使用多個鏈結串列來表示圖，第 $i$ 個鏈結串列對應頂點 $i$ ，其中儲存了該頂點的所有鄰接頂點。鄰接表相對於鄰接矩陣更加節省空間，但由於需要走訪鏈結串列來查詢邊，因此時間效率較低。
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- 當鄰接表中的鏈結串列過長時，可以將其轉換為紅黑樹或雜湊表，從而提升查詢效率。
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- 從演算法思想的角度分析，鄰接矩陣體現了“以空間換時間”，鄰接表體現了“以時間換空間”。
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- 圖可用於建模各類現實系統，如社交網路、地鐵線路等。
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- 樹是圖的一種特例，樹的走訪也是圖的走訪的一種特例。
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- 圖的廣度優先走訪是一種由近及遠、層層擴張的搜尋方式，通常藉助佇列實現。
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- 圖的深度優先走訪是一種優先走到底、無路可走時再回溯的搜尋方式，常基於遞迴來實現。
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### Q & A
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**Q**：路徑的定義是頂點序列還是邊序列？
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維基百科上不同語言版本的定義不一致：英文版是“路徑是一個邊序列”，而中文版是“路徑是一個頂點序列”。以下是英文版原文：In graph theory, a path in a graph is a finite or infinite sequence of edges which joins a sequence of vertices.
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在本文中，路徑被視為一個邊序列，而不是一個頂點序列。這是因為兩個頂點之間可能存在多條邊連線，此時每條邊都對應一條路徑。
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**Q**：非連通圖中是否會有無法走訪到的點？
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在非連通圖中，從某個頂點出發，至少有一個頂點無法到達。走訪非連通圖需要設定多個起點，以走訪到圖的所有連通分量。
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**Q**：在鄰接表中，“與該頂點相連的所有頂點”的頂點順序是否有要求？
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可以是任意順序。但在實際應用中，可能需要按照指定規則來排序，比如按照頂點新增的次序，或者按照頂點值大小的順序等，這樣有助於快速查詢“帶有某種極值”的頂點。
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