feat: Traditional Chinese version (#1163)

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2026-07-26 04:56:06 +00:00 · 2024-04-06 02:30:11 +08:00
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commit 5f7385c8a3
1875 changed files with 102923 additions and 18 deletions
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+# 二元樹陣列表示
+
+在鏈結串列表示下，二元樹的儲存單元為節點 `TreeNode` ，節點之間透過指標相連線。上一節介紹了鏈結串列表示下的二元樹的各項基本操作。
+
+那麼，我們能否用陣列來表示二元樹呢？答案是肯定的。
+
+## 表示完美二元樹
+
+先分析一個簡單案例。給定一棵完美二元樹，我們將所有節點按照層序走訪的順序儲存在一個陣列中，則每個節點都對應唯一的陣列索引。
+
+根據層序走訪的特性，我們可以推導出父節點索引與子節點索引之間的“對映公式”：**若某節點的索引為 $i$ ，則該節點的左子節點索引為 $2i + 1$ ，右子節點索引為 $2i + 2$** 。下圖展示了各個節點索引之間的對映關係。
+
+![完美二元樹的陣列表示](array_representation_of_tree.assets/array_representation_binary_tree.png)
+
+**對映公式的角色相當於鏈結串列中的節點引用（指標）**。給定陣列中的任意一個節點，我們都可以透過對映公式來訪問它的左（右）子節點。
+
+## 表示任意二元樹
+
+完美二元樹是一個特例，在二元樹的中間層通常存在許多 `None` 。由於層序走訪序列並不包含這些 `None` ，因此我們無法僅憑該序列來推測 `None` 的數量和分佈位置。**這意味著存在多種二元樹結構都符合該層序走訪序列**。
+
+如下圖所示，給定一棵非完美二元樹，上述陣列表示方法已經失效。
+
+![層序走訪序列對應多種二元樹可能性](array_representation_of_tree.assets/array_representation_without_empty.png)
+
+為了解決此問題，**我們可以考慮在層序走訪序列中顯式地寫出所有 `None`** 。如下圖所示，這樣處理後，層序走訪序列就可以唯一表示二元樹了。示例程式碼如下：
+
+=== "Python"
+
+    ```python title=""
+    # 二元樹的陣列表示
+    # 使用 None 來表示空位
+    tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title=""
+    /* 二元樹的陣列表示 */
+    // 使用 int 最大值 INT_MAX 標記空位
+    vector<int> tree = {1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15};
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title=""
+    /* 二元樹的陣列表示 */
+    // 使用 int 的包裝類別 Integer ，就可以使用 null 來標記空位
+    Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title=""
+    /* 二元樹的陣列表示 */
+    // 使用 int? 可空型別 ，就可以使用 null 來標記空位
+    int?[] tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title=""
+    /* 二元樹的陣列表示 */
+    // 使用 any 型別的切片, 就可以使用 nil 來標記空位
+    tree := []any{1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title=""
+    /* 二元樹的陣列表示 */
+    // 使用 Int? 可空型別 ，就可以使用 nil 來標記空位
+    let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title=""
+    /* 二元樹的陣列表示 */
+    // 使用 null 來表示空位
+    let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title=""
+    /* 二元樹的陣列表示 */
+    // 使用 null 來表示空位
+    let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title=""
+    /* 二元樹的陣列表示 */
+    // 使用 int? 可空型別 ，就可以使用 null 來標記空位
+    List<int?> tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title=""
+    /* 二元樹的陣列表示 */
+    // 使用 None 來標記空位
+    let tree = [Some(1), Some(2), Some(3), Some(4), None, Some(6), Some(7), Some(8), Some(9), None, None, Some(12), None, None, Some(15)];
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title=""
+    /* 二元樹的陣列表示 */
+    // 使用 int 最大值標記空位，因此要求節點值不能為 INT_MAX
+    int tree[] = {1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15};
+    ```
+
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title=""
+    /* 二元樹的陣列表示 */
+    // 使用 null 來表示空位
+    val tree = mutableListOf( 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 )
+    ```
+
+=== "Ruby"
+
+    ```ruby title=""
+
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title=""
+
+    ```
+
+![任意型別二元樹的陣列表示](array_representation_of_tree.assets/array_representation_with_empty.png)
+
+值得說明的是，**完全二元樹非常適合使用陣列來表示**。回顧完全二元樹的定義，`None` 只出現在最底層且靠右的位置，**因此所有 `None` 一定出現在層序走訪序列的末尾**。
+
+這意味著使用陣列表示完全二元樹時，可以省略儲存所有 `None` ，非常方便。下圖給出了一個例子。
+
+![完全二元樹的陣列表示](array_representation_of_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png)
+
+以下程式碼實現了一棵基於陣列表示的二元樹，包括以下幾種操作。
+
+- 給定某節點，獲取它的值、左（右）子節點、父節點。
+- 獲取前序走訪、中序走訪、後序走訪、層序走訪序列。
+
+```src
+[file]{array_binary_tree}-[class]{array_binary_tree}-[func]{}
+```
+
+## 優點與侷限性
+
+二元樹的陣列表示主要有以下優點。
+
+- 陣列儲存在連續的記憶體空間中，對快取友好，訪問與走訪速度較快。
+- 不需要儲存指標，比較節省空間。
+- 允許隨機訪問節點。
+
+然而，陣列表示也存在一些侷限性。
+
+- 陣列儲存需要連續記憶體空間，因此不適合儲存資料量過大的樹。
+- 增刪節點需要透過陣列插入與刪除操作實現，效率較低。
+- 當二元樹中存在大量 `None` 時，陣列中包含的節點資料比重較低，空間利用率較低。