xinyin025/hello-algo
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2023-09-22 13:08:10 +08:00
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10.2 &nbsp; 二分查找插入点
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10.3 &nbsp; 二分查找边界
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第 12 章 &nbsp; 分治
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12.1 &nbsp; 分治算法
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</li>
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12.2 &nbsp; 分治搜索策略
</span>
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@@ -2495,14 +2466,6 @@
12.3 &nbsp; 构建树问题
</span>
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</li>
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12.4 &nbsp; 汉诺塔问题
</span>
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12.5 &nbsp; 小结
</span>
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第 14 章 &nbsp; 动态规划
</span>
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14.1 &nbsp; 初探动态规划
</span>
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</li>
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14.2 &nbsp; DP 问题特性
</span>
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</span>
</a>
</li>
@@ -2885,14 +2808,6 @@
14.3 &nbsp; DP 解题思路
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2913,14 +2828,6 @@
14.4 &nbsp; 0-1 背包问题
</span>
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@@ -2941,14 +2848,6 @@
14.5 &nbsp; 完全背包问题
</span>
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</a>
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14.6 &nbsp; 编辑距离问题
</span>
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</li>
@@ -2997,14 +2888,6 @@
14.7 &nbsp; 小结
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3063,14 +2946,6 @@
第 15 章 &nbsp; 贪心
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
@@ -3102,14 +2977,6 @@
15.1 &nbsp; 贪心算法
</span>
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@@ -3130,14 +2997,6 @@
15.2 &nbsp; 分数背包问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
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</li>
@@ -3158,14 +3017,6 @@
15.3 &nbsp; 最大容量问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
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@@ -3186,14 +3037,6 @@
15.4 &nbsp; 最大切分乘积问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
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15.5 &nbsp; 小结
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3504,7 +3339,7 @@
<h1 id="63">6.3 &nbsp; 哈希算法<a class="headerlink" href="#63" title="Permanent link">&para;</a></h1>
<p>在上两节中，我们了解了哈希表的工作原理和哈希冲突的处理方法。然而无论是开放寻址还是链地址法，<strong>它们只能保证哈希表可以在发生冲突时正常工作，但无法减少哈希冲突的发生</strong>。</p>
<p>如果哈希冲突过于频繁，哈希表的性能则会急剧劣化。如图 6-8 所示，对于链地址哈希表，理想情况下键值对平均分布在各个桶中，达到最佳查询效率；最差情况下所有键值对都被存储到同一个桶中，时间复杂度退化至 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。</p>
<p><img alt="哈希冲突的最佳与最差情况" src="../hash_algorithm.assets/hash_collision_best_worst_condition.png" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../hash_algorithm.assets/hash_collision_best_worst_condition.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="哈希冲突的最佳与最差情况" src="../hash_algorithm.assets/hash_collision_best_worst_condition.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 6-8 &nbsp; 哈希冲突的最佳与最差情况 </p>
<p><strong>键值对的分布情况由哈希函数决定</strong>。回忆哈希函数的计算步骤，先计算哈希值，再对数组长度取模：</p>
@@ -4470,10 +4305,15 @@ aria-label="页脚"
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10.3 &nbsp; 二分查找边界
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</li>
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第 12 章 &nbsp; 分治
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12.1 &nbsp; 分治算法
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</li>
@@ -2487,14 +2466,6 @@
12.2 &nbsp; 分治搜索策略
</span>
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12.3 &nbsp; 构建树问题
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12.4 &nbsp; 汉诺塔问题
</span>
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</li>
@@ -2571,14 +2526,6 @@
12.5 &nbsp; 小结
</span>
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</a>
</li>
@@ -2810,14 +2757,6 @@
第 14 章 &nbsp; 动态规划
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@@ -2849,14 +2788,6 @@
14.1 &nbsp; 初探动态规划
</span>
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</li>
@@ -2877,14 +2808,6 @@
14.2 &nbsp; DP 问题特性
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</li>
@@ -2905,14 +2828,6 @@
14.3 &nbsp; DP 解题思路
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2933,14 +2848,6 @@
14.4 &nbsp; 0-1 背包问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
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</li>
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14.5 &nbsp; 完全背包问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
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</li>
@@ -2989,14 +2888,6 @@
14.6 &nbsp; 编辑距离问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
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</li>
@@ -3017,14 +2908,6 @@
14.7 &nbsp; 小结
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
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</a>
</li>
@@ -3083,14 +2966,6 @@
第 15 章 &nbsp; 贪心
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
@@ -3122,14 +2997,6 @@
15.1 &nbsp; 贪心算法
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3150,14 +3017,6 @@
15.2 &nbsp; 分数背包问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
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@@ -3178,14 +3037,6 @@
15.3 &nbsp; 最大容量问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3206,14 +3057,6 @@
15.4 &nbsp; 最大切分乘积问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3234,14 +3077,6 @@
15.5 &nbsp; 小结
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3551,7 +3386,7 @@
<p>哈希表的结构改良方法主要包括“链式地址”和“开放寻址”。</p>
<h2 id="621">6.2.1 &nbsp; 链式地址<a class="headerlink" href="#621" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。「链式地址 separate chaining」将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。图 6-5 展示了一个链式地址哈希表的例子。</p>
<p><img alt="链式地址哈希表" src="../hash_collision.assets/hash_table_chaining.png" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../hash_collision.assets/hash_table_chaining.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="链式地址哈希表" src="../hash_collision.assets/hash_table_chaining.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 6-5 &nbsp; 链式地址哈希表 </p>
<p>基于链式地址实现的哈希表的操作方法发生了以下变化。</p>
@@ -4854,12 +4689,12 @@
<li><strong>查找元素</strong>：若发现哈希冲突，则使用相同步长向后线性遍历，直到找到对应元素，返回 <code>value</code> 即可；如果遇到空桶，说明目标元素不在哈希表中，返回 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 。</li>
</ul>
<p>图 6-6 展示了开放寻址（线性探测）哈希表的键值对分布。根据此哈希函数，最后两位相同的 <code>key</code> 都会被映射到相同的桶。而通过线性探测，它们被依次存储在该桶以及之下的桶中。</p>
<p><img alt="开放寻址和线性探测" src="../hash_collision.assets/hash_table_linear_probing.png" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../hash_collision.assets/hash_table_linear_probing.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="开放寻址和线性探测" src="../hash_collision.assets/hash_table_linear_probing.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 6-6 &nbsp; 开放寻址和线性探测 </p>
<p>然而，<strong>线性探测容易产生“聚集现象”</strong>。具体来说，数组中连续被占用的位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，从而进一步促使该位置的聚堆生长，形成恶性循环，最终导致增删查改操作效率劣化。</p>
<p>值得注意的是，<strong>我们不能在开放寻址哈希表中直接删除元素</strong>。这是因为删除元素会在数组内产生一个空桶 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> ，而当查询元素时，线性探测到该空桶就会返回，因此在该空桶之下的元素都无法再被访问到，程序可能误判这些元素不存在。</p>
<p><img alt="在开放寻址中删除元素导致的查询问题" src="../hash_collision.assets/hash_table_open_addressing_deletion.png" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../hash_collision.assets/hash_table_open_addressing_deletion.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="在开放寻址中删除元素导致的查询问题" src="../hash_collision.assets/hash_table_open_addressing_deletion.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 6-7 &nbsp; 在开放寻址中删除元素导致的查询问题 </p>
<p>为了解决该问题，我们可以采用「懒删除 lazy deletion」机制：它不直接从哈希表中移除元素，<strong>而是利用一个常量 <code>TOMBSTONE</code> 来标记这个桶</strong>。在该机制下，<span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 和 <code>TOMBSTONE</code> 都代表空桶，都可以放置键值对。但不同的是，线性探测到 <code>TOMBSTONE</code> 时应该继续遍历，因为其之下可能还存在键值对。</p>
@@ -6334,10 +6169,15 @@ aria-label="页脚"
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10.2 &nbsp; 二分查找插入点
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
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</li>
@@ -1966,14 +1969,6 @@
10.3 &nbsp; 二分查找边界
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2393,14 +2388,6 @@
第 12 章 &nbsp; 分治
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
@@ -2432,14 +2419,6 @@
12.1 &nbsp; 分治算法
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2460,14 +2439,6 @@
12.2 &nbsp; 分治搜索策略
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2488,14 +2459,6 @@
12.3 &nbsp; 构建树问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2516,14 +2479,6 @@
12.4 &nbsp; 汉诺塔问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2544,14 +2499,6 @@
12.5 &nbsp; 小结
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2783,14 +2730,6 @@
第 14 章 &nbsp; 动态规划
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
@@ -2822,14 +2761,6 @@
14.1 &nbsp; 初探动态规划
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2850,14 +2781,6 @@
14.2 &nbsp; DP 问题特性
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2878,14 +2801,6 @@
14.3 &nbsp; DP 解题思路
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2906,14 +2821,6 @@
14.4 &nbsp; 0-1 背包问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
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</li>
@@ -2934,14 +2841,6 @@
14.5 &nbsp; 完全背包问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
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</li>
@@ -2962,14 +2861,6 @@
14.6 &nbsp; 编辑距离问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2990,14 +2881,6 @@
14.7 &nbsp; 小结
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3056,14 +2939,6 @@
第 15 章 &nbsp; 贪心
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
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</a>
@@ -3095,14 +2970,6 @@
15.1 &nbsp; 贪心算法
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3123,14 +2990,6 @@
15.2 &nbsp; 分数背包问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
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@@ -3151,14 +3010,6 @@
15.3 &nbsp; 最大容量问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3179,14 +3030,6 @@
15.4 &nbsp; 最大切分乘积问题
</span>
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15.5 &nbsp; 小结
</span>
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@@ -3490,7 +3325,7 @@
<h1 id="61">6.1 &nbsp; 哈希表<a class="headerlink" href="#61" title="Permanent link">&para;</a></h1>
<p>「哈希表 hash table」，又称「散列表」，其通过建立键 <code>key</code> 与值 <code>value</code> 之间的映射，实现高效的元素查询。具体而言，我们向哈希表输入一个键 <code>key</code> ，则可以在 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 时间内获取对应的值 <code>value</code> 。</p>
<p>如图 6-1 所示，给定 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个学生，每个学生都有“姓名”和“学号”两项数据。假如我们希望实现“输入一个学号，返回对应的姓名”的查询功能，则可以采用图 6-1 所示的哈希表来实现。</p>
<p><img alt="哈希表的抽象表示" src="../hash_map.assets/hash_table_lookup.png" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../hash_map.assets/hash_table_lookup.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="哈希表的抽象表示" src="../hash_map.assets/hash_table_lookup.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 6-1 &nbsp; 哈希表的抽象表示 </p>
<p>除哈希表外，数组和链表也可以实现查询功能，它们的效率对比如表 6-1 所示。</p>
@@ -3949,7 +3784,7 @@
</code></pre></div>
<p>随后，我们就可以利用 <code>index</code> 在哈希表中访问对应的桶，从而获取 <code>value</code> 。</p>
<p>设数组长度 <code>capacity = 100</code>、哈希算法 <code>hash(key) = key</code> ，易得哈希函数为 <code>key % 100</code> 。图 6-2 以 <code>key</code> 学号和 <code>value</code> 姓名为例，展示了哈希函数的工作原理。</p>
<p><img alt="哈希函数工作原理" src="../hash_map.assets/hash_function.png" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../hash_map.assets/hash_function.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="哈希函数工作原理" src="../hash_map.assets/hash_function.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 6-2 &nbsp; 哈希函数工作原理 </p>
<p>以下代码实现了一个简单哈希表。其中，我们将 <code>key</code> 和 <code>value</code> 封装成一个类 <code>Pair</code> ，以表示键值对。</p>
@@ -4956,12 +4791,12 @@
<a id="__codelineno-37-2" name="__codelineno-37-2" href="#__codelineno-37-2"></a><span class="m">20336</span><span class="w"> </span>%<span class="w"> </span><span class="nv">100</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="m">36</span>
</code></pre></div>
<p>如图 6-3 所示，两个学号指向了同一个姓名，这显然是不对的。我们将这种多个输入对应同一输出的情况称为「哈希冲突 hash collision」。</p>
<p><img alt="哈希冲突示例" src="../hash_map.assets/hash_collision.png" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../hash_map.assets/hash_collision.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="哈希冲突示例" src="../hash_map.assets/hash_collision.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 6-3 &nbsp; 哈希冲突示例 </p>
<p>容易想到，哈希表容量 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 越大，多个 <code>key</code> 被分配到同一个桶中的概率就越低，冲突就越少。因此，<strong>我们可以通过扩容哈希表来减少哈希冲突</strong>。</p>
<p>如图 6-4 所示，扩容前键值对 <code>(136, A)</code> 和 <code>(236, D)</code> 发生冲突，扩容后冲突消失。</p>
<p><img alt="哈希表扩容" src="../hash_map.assets/hash_table_reshash.png" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../hash_map.assets/hash_table_reshash.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="哈希表扩容" src="../hash_map.assets/hash_table_reshash.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 6-4 &nbsp; 哈希表扩容 </p>
<p>类似于数组扩容，哈希表扩容需将所有键值对从原哈希表迁移至新哈希表，非常耗时。并且由于哈希表容量 <code>capacity</code> 改变，我们需要通过哈希函数来重新计算所有键值对的存储位置，这进一步提高了扩容过程的计算开销。为此，编程语言通常会预留足够大的哈希表容量，防止频繁扩容。</p>
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10.2 &nbsp; 二分查找插入点
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10.3 &nbsp; 二分查找边界
</span>
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第 12 章 &nbsp; 分治
</span>
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12.1 &nbsp; 分治算法
</span>
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</li>
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12.2 &nbsp; 分治搜索策略
</span>
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</span>
</a>
</li>
@@ -2427,14 +2398,6 @@
12.3 &nbsp; 构建树问题
</span>
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</span>
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</li>
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12.4 &nbsp; 汉诺塔问题
</span>
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</li>
@@ -2483,14 +2438,6 @@
12.5 &nbsp; 小结
</span>
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</span>
</a>
</li>
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第 14 章 &nbsp; 动态规划
</span>
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@@ -2761,14 +2700,6 @@
14.1 &nbsp; 初探动态规划
</span>
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</a>
</li>
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14.2 &nbsp; DP 问题特性
</span>
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</span>
</a>
</li>
@@ -2817,14 +2740,6 @@
14.3 &nbsp; DP 解题思路
</span>
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</span>
</a>
</li>
@@ -2845,14 +2760,6 @@
14.4 &nbsp; 0-1 背包问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2873,14 +2780,6 @@
14.5 &nbsp; 完全背包问题
</span>
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</span>
</a>
</li>
@@ -2901,14 +2800,6 @@
14.6 &nbsp; 编辑距离问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2929,14 +2820,6 @@
14.7 &nbsp; 小结
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -2995,14 +2878,6 @@
第 15 章 &nbsp; 贪心
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
@@ -3034,14 +2909,6 @@
15.1 &nbsp; 贪心算法
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3062,14 +2929,6 @@
15.2 &nbsp; 分数背包问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3090,14 +2949,6 @@
15.3 &nbsp; 最大容量问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
@@ -3118,14 +2969,6 @@
15.4 &nbsp; 最大切分乘积问题
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
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15.5 &nbsp; 小结
</span>
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</span>
</a>
</li>
@@ -3414,7 +3249,7 @@
<!-- Page content -->
<h1 id="6">第 6 章 &nbsp; 哈希表<a class="headerlink" href="#6" title="Permanent link">&para;</a></h1>
<div class="center-table">
<p><img alt="哈希表" src="../assets/covers/chapter_hashing.jpg" width="600" /></p>
<p><a class="glightbox" href="../assets/covers/chapter_hashing.jpg" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="哈希表" src="../assets/covers/chapter_hashing.jpg" width="600" /></a></p>
</div>
<div class="admonition abstract">
<p class="admonition-title">Abstract</p>
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10.2 &nbsp; 二分查找插入点
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10.3 &nbsp; 二分查找边界
</span>
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</span>
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第 12 章 &nbsp; 分治
</span>
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12.1 &nbsp; 分治算法
</span>
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</span>
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12.2 &nbsp; 分治搜索策略
</span>
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</span>
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12.3 &nbsp; 构建树问题
</span>
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</span>
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12.4 &nbsp; 汉诺塔问题
</span>
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12.5 &nbsp; 小结
</span>
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</span>
</a>
</li>
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第 14 章 &nbsp; 动态规划
</span>
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</span>
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14.1 &nbsp; 初探动态规划
</span>
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</span>
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14.2 &nbsp; DP 问题特性
</span>
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</span>
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14.3 &nbsp; DP 解题思路
</span>
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</span>
</a>
</li>
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14.4 &nbsp; 0-1 背包问题
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14.5 &nbsp; 完全背包问题
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14.6 &nbsp; 编辑距离问题
</span>
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14.7 &nbsp; 小结
</span>
<span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
</span>
</a>
</li>
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第 15 章 &nbsp; 贪心
</span>
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</span>
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15.1 &nbsp; 贪心算法
</span>
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15.2 &nbsp; 分数背包问题
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15.3 &nbsp; 最大容量问题
</span>
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15.4 &nbsp; 最大切分乘积问题
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15.5 &nbsp; 小结
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