xinyin025/hello-algo
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2026-08-18 04:58:51 +08:00
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ja/docs/chapter_computational_complexity/exercises.md
+678 -32
View File
@@ -11,33 +11,287 @@ comments: true
次の 2 つのコードは、どちらも $1 + 2 + \dots + n$ を計算します（$n \ge 1$ とします）。`n` を 4 として、
プログラムが実際に実行される順序に沿って次の問いに答え、2 つの書き方の効率を比較してください。
```python
def sum_iter(n):
s = 0
for i in range(1, n + 1):
s += i
return s
=== "Python"
def sum_recur(n):
if n == 1:
return 1
return n + sum_recur(n - 1)
```
```python title="complexity_exercises.py"
def sum_iter(n: int) -> int:
"""反復による総和"""
res = 0
for i in range(1, n + 1):
res += i
return res
def sum_recur(n: int) -> int:
"""再帰による総和"""
if n == 1:
return 1
return n + sum_recur(n - 1)
```
=== "C++"
```cpp title="complexity_exercises.cpp"
/* 反復による総和 */
int sumIter(int n) {
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
res += i;
}
return res;
}
/* 再帰による総和 */
int sumRecur(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
}
return n + sumRecur(n - 1);
}
```
=== "Java"
```java title="complexity_exercises.java"
/* 反復による総和 */
int sumIter(int n) {
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
/* 再帰による総和 */
int sumRecur(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
}
return n + sumRecur(n - 1);
}
```
=== "C#"
```csharp title="complexity_exercises.cs"
/* 反復による総和 */
int SumIter(int n) {
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
/* 再帰による総和 */
int SumRecur(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
}
return n + SumRecur(n - 1);
}
```
=== "Go"
```go title="complexity_exercises.go"
/* 反復による総和 */
func sumIter(n int) int {
res := 0
for i := 1; i <= n; i++ {
res += i
}
return res
}
/* 再帰による総和 */
func sumRecur(n int) int {
if n == 1 {
return 1
}
return n + sumRecur(n-1)
}
```
=== "Swift"
```swift title="complexity_exercises.swift"
/* 反復による総和 */
func sumIter(n: Int) -> Int {
var res = 0
for i in 1 ... n {
res += i
}
return res
}
/* 再帰による総和 */
func sumRecur(n: Int) -> Int {
if n == 1 {
return 1
}
return n + sumRecur(n: n - 1)
}
```
=== "JS"
```javascript title="complexity_exercises.js"
/* 反復による総和 */
function sumIter(n) {
let res = 0;
for (let i = 1; i <= n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
/* 再帰による総和 */
function sumRecur(n) {
if (n === 1) {
return 1;
}
return n + sumRecur(n - 1);
}
```
=== "TS"
```typescript title="complexity_exercises.ts"
/* 反復による総和 */
function sumIter(n: number): number {
let res = 0;
for (let i = 1; i <= n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
/* 再帰による総和 */
function sumRecur(n: number): number {
if (n === 1) {
return 1;
}
return n + sumRecur(n - 1);
}
```
=== "Dart"
```dart title="complexity_exercises.dart"
/* 反復による総和 */
int sumIter(int n) {
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
/* 再帰による総和 */
int sumRecur(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
}
return n + sumRecur(n - 1);
}
```
=== "Rust"
```rust title="complexity_exercises.rs"
/* 反復による総和 */
fn sum_iter(n: i32) -> i32 {
let mut res = 0;
for i in 1..=n {
res += i;
}
res
}
/* 再帰による総和 */
fn sum_recur(n: i32) -> i32 {
if n == 1 {
return 1;
}
n + sum_recur(n - 1)
}
```
=== "C"
```c title="complexity_exercises.c"
/* 反復による総和 */
int sumIter(int n) {
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
/* 再帰による総和 */
int sumRecur(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
}
return n + sumRecur(n - 1);
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="complexity_exercises.kt"
/* 反復による総和 */
fun sumIter(n: Int): Int {
var res = 0
for (i in 1..n) {
res += i
}
return res
}
/* 再帰による総和 */
fun sumRecur(n: Int): Int {
if (n == 1) {
return 1
}
return n + sumRecur(n - 1)
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="complexity_exercises.rb"
### 反復による総和 ###
def sum_iter(n)
res = 0
for i in 1..n
res += i
end
res
end
### 再帰による総和 ###
def sum_recur(n)
return 1 if n == 1
n + sum_recur(n - 1)
end
```
<!-- numbered-subquestions -->
1. `sum_iter(4)` を実行すると、各ループの終了時に変数 `s` はそれぞれいくつになりますか？
2. `sum_recur(4)` を実行すると、どの関数が順に呼び出されますか？最も深い呼び出しから戻るとき、結果はどのように求められますか？
1. `n = 4` を入力して反復関数を実行すると、各ループの終了時に累積変数 `res` はそれぞれいくつになりますか？
2. `n = 4` を入力して再帰関数を実行すると、引数 `n` はどの値を順に取りますか？最も深い呼び出しから戻るとき、結果はどのように求められますか？
3. 2 つの書き方の時間計算量と空間計算量は、それぞれいくつですか？問い 1、2 の実行過程と結び付けて理由を説明してください。
??? success "解答"
1. ループ変数 `i` は `1、2、3、4` の順に変化し、各ループの終了時に `s` は
`1、3、6、10` となります。したがって、`sum_iter(4)` は 10 を返します。
1. ループ変数 `i` は `1、2、3、4` の順に変化し、各ループの終了時に `res` は
`1、3、6、10` となります。したがって、反復関数は 10 を返します。
2. 関数は
`sum_recur(4) → sum_recur(3) → sum_recur(2) → sum_recur(1)` の順に呼び出されます。
`sum_recur(1)` が 1 を返した後、各呼び出しは順に `2 + 1 = 3`、`3 + 3 = 6`、`4 + 6 = 10` を得ます。
2. 引数 `n` は `4 → 3 → 2 → 1` の順に変化します。
最も深い呼び出しが 1 を返した後、各呼び出しは順に `2 + 1 = 3`、`3 + 3 = 6`、`4 + 6 = 10` を得ます。
最も深い呼び出しに到達した時点では、4 回の関数呼び出しはどれもまだ終了していません。
3. どちらのコードも、$n$ に比例する回数のループまたは呼び出しを行うため、時間計算量はともに $O(n)$ です。
@@ -51,22 +305,414 @@ def sum_recur(n):
次の 3 つのコード片はいずれも、正の整数 $n$ を入力とします。時間計算量が小さい順に並べ、それぞれの計算量を書いてください。
```python
# コード片 1
s = 0
for i in range(n):
s += i
=== "Python"
# コード片 2
s = 0
for i in range(n):
for j in range(i, n):
s += j
```python title="complexity_exercises.py"
def linear_loop(n: int) -> int:
"""線形時間のループ"""
res = 0
for i in range(n):
res += i
return res
# コード片 3
while n > 1:
n = n // 2
```
def quadratic_loop(n: int) -> int:
"""二次時間のループ"""
res = 0
for i in range(n):
for j in range(i, n):
res += j
return res
def logarithmic_loop(n: int) -> int:
"""対数時間のループ"""
while n > 1:
n //= 2
return n
```
=== "C++"
```cpp title="complexity_exercises.cpp"
/* 線形時間のループ */
int linearLoop(int n) {
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
res += i;
}
return res;
}
/* 二次時間のループ */
int quadraticLoop(int n) {
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = i; j < n; ++j) {
res += j;
}
}
return res;
}
/* 対数時間のループ */
int logarithmicLoop(int n) {
while (n > 1) {
n /= 2;
}
return n;
}
```
=== "Java"
```java title="complexity_exercises.java"
/* 線形時間のループ */
int linearLoop(int n) {
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
/* 二次時間のループ */
int quadraticLoop(int n) {
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = i; j < n; j++) {
res += j;
}
}
return res;
}
/* 対数時間のループ */
int logarithmicLoop(int n) {
while (n > 1) {
n /= 2;
}
return n;
}
```
=== "C#"
```csharp title="complexity_exercises.cs"
/* 線形時間のループ */
int LinearLoop(int n) {
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
/* 二次時間のループ */
int QuadraticLoop(int n) {
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = i; j < n; j++) {
res += j;
}
}
return res;
}
/* 対数時間のループ */
int LogarithmicLoop(int n) {
while (n > 1) {
n /= 2;
}
return n;
}
```
=== "Go"
```go title="complexity_exercises.go"
/* 線形時間のループ */
func linearLoop(n int) int {
res := 0
for i := 0; i < n; i++ {
res += i
}
return res
}
/* 二次時間のループ */
func quadraticLoop(n int) int {
res := 0
for i := 0; i < n; i++ {
for j := i; j < n; j++ {
res += j
}
}
return res
}
/* 対数時間のループ */
func logarithmicLoop(n int) int {
for n > 1 {
n /= 2
}
return n
}
```
=== "Swift"
```swift title="complexity_exercises.swift"
/* 線形時間のループ */
func linearLoop(n: Int) -> Int {
var res = 0
for i in 0 ..< n {
res += i
}
return res
}
/* 二次時間のループ */
func quadraticLoop(n: Int) -> Int {
var res = 0
for i in 0 ..< n {
for j in i ..< n {
res += j
}
}
return res
}
/* 対数時間のループ */
func logarithmicLoop(n: Int) -> Int {
var n = n
while n > 1 {
n /= 2
}
return n
}
```
=== "JS"
```javascript title="complexity_exercises.js"
/* 線形時間のループ */
function linearLoop(n) {
let res = 0;
for (let i = 0; i < n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
/* 二次時間のループ */
function quadraticLoop(n) {
let res = 0;
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = i; j < n; j++) {
res += j;
}
}
return res;
}
/* 対数時間のループ */
function logarithmicLoop(n) {
while (n > 1) {
n = Math.floor(n / 2);
}
return n;
}
```
=== "TS"
```typescript title="complexity_exercises.ts"
/* 線形時間のループ */
function linearLoop(n: number): number {
let res = 0;
for (let i = 0; i < n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
/* 二次時間のループ */
function quadraticLoop(n: number): number {
let res = 0;
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = i; j < n; j++) {
res += j;
}
}
return res;
}
/* 対数時間のループ */
function logarithmicLoop(n: number): number {
while (n > 1) {
n = Math.floor(n / 2);
}
return n;
}
```
=== "Dart"
```dart title="complexity_exercises.dart"
/* 線形時間のループ */
int linearLoop(int n) {
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
/* 二次時間のループ */
int quadraticLoop(int n) {
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = i; j < n; j++) {
res += j;
}
}
return res;
}
/* 対数時間のループ */
int logarithmicLoop(int n) {
while (n > 1) {
n ~/= 2;
}
return n;
}
```
=== "Rust"
```rust title="complexity_exercises.rs"
/* 線形時間のループ */
fn linear_loop(n: i32) -> i32 {
let mut res = 0;
for i in 0..n {
res += i;
}
res
}
/* 二次時間のループ */
fn quadratic_loop(n: i32) -> i32 {
let mut res = 0;
for i in 0..n {
for j in i..n {
res += j;
}
}
res
}
/* 対数時間のループ */
fn logarithmic_loop(mut n: i32) -> i32 {
while n > 1 {
n /= 2;
}
n
}
```
=== "C"
```c title="complexity_exercises.c"
/* 線形時間のループ */
int linearLoop(int n) {
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
/* 二次時間のループ */
int quadraticLoop(int n) {
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = i; j < n; j++) {
res += j;
}
}
return res;
}
/* 対数時間のループ */
int logarithmicLoop(int n) {
while (n > 1) {
n /= 2;
}
return n;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="complexity_exercises.kt"
/* 線形時間のループ */
fun linearLoop(n: Int): Int {
var res = 0
for (i in 0 until n) {
res += i
}
return res
}
/* 二次時間のループ */
fun quadraticLoop(n: Int): Int {
var res = 0
for (i in 0 until n) {
for (j in i until n) {
res += j
}
}
return res
}
/* 対数時間のループ */
fun logarithmicLoop(n: Int): Int {
var value = n
while (value > 1) {
value /= 2
}
return value
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="complexity_exercises.rb"
### 線形時間のループ ###
def linear_loop(n)
res = 0
for i in 0...n
res += i
end
res
end
### 二次時間のループ ###
def quadratic_loop(n)
res = 0
for i in 0...n
for j in i...n
res += j
end
end
res
end
### 対数時間のループ ###
def logarithmic_loop(n)
n /= 2 while n > 1
n
end
```
??? success "解答"
ja/docs/chapter_divide_and_conquer/exercises.md
+205 -12
View File
@@ -29,23 +29,216 @@ comments: true
次の再帰関数は、分割統治を使って $x^n$ を計算します。
```python
def fast_pow(x, n):
if n == 0:
return 1
half = fast_pow(x, n // 2)
if n % 2 == 0:
return half * half
return half * half * x
```
=== "Python"
この関数で `fast_pow(3, 5)` を計算します。
```python title="fast_power.py"
def fast_pow(x: int, n: int) -> int:
"""高速べき乗"""
if n == 0:
return 1
half = fast_pow(x, n // 2)
if n % 2 == 0:
return half * half
return half * half * x
```
=== "C++"
```cpp title="fast_power.cpp"
/* 高速べき乗 */
int fastPow(int x, int n) {
if (n == 0) {
return 1;
}
int half = fastPow(x, n / 2);
if (n % 2 == 0) {
return half * half;
}
return half * half * x;
}
```
=== "Java"
```java title="fast_power.java"
/* 高速べき乗 */
int fastPow(int x, int n) {
if (n == 0) {
return 1;
}
int half = fastPow(x, n / 2);
if (n % 2 == 0) {
return half * half;
}
return half * half * x;
}
```
=== "C#"
```csharp title="fast_power.cs"
/* 高速べき乗 */
int FastPow(int x, int n) {
if (n == 0) {
return 1;
}
int half = FastPow(x, n / 2);
if (n % 2 == 0) {
return half * half;
}
return half * half * x;
}
```
=== "Go"
```go title="fast_power.go"
/* 高速べき乗 */
func fastPow(x, n int) int {
if n == 0 {
return 1
}
half := fastPow(x, n/2)
if n%2 == 0 {
return half * half
}
return half * half * x
}
```
=== "Swift"
```swift title="fast_power.swift"
/* 高速べき乗 */
func fastPow(x: Int, n: Int) -> Int {
if n == 0 {
return 1
}
let half = fastPow(x: x, n: n / 2)
if n % 2 == 0 {
return half * half
}
return half * half * x
}
```
=== "JS"
```javascript title="fast_power.js"
/* 高速べき乗 */
function fastPow(x, n) {
if (n === 0) {
return 1;
}
const half = fastPow(x, Math.floor(n / 2));
if (n % 2 === 0) {
return half * half;
}
return half * half * x;
}
```
=== "TS"
```typescript title="fast_power.ts"
/* 高速べき乗 */
function fastPow(x: number, n: number): number {
if (n === 0) {
return 1;
}
const half = fastPow(x, Math.floor(n / 2));
if (n % 2 === 0) {
return half * half;
}
return half * half * x;
}
```
=== "Dart"
```dart title="fast_power.dart"
/* 高速べき乗 */
int fastPow(int x, int n) {
if (n == 0) {
return 1;
}
int half = fastPow(x, n ~/ 2);
if (n % 2 == 0) {
return half * half;
}
return half * half * x;
}
```
=== "Rust"
```rust title="fast_power.rs"
/* 高速べき乗 */
fn fast_pow(x: i32, n: i32) -> i32 {
if n == 0 {
return 1;
}
let half = fast_pow(x, n / 2);
if n % 2 == 0 {
return half * half;
}
half * half * x
}
```
=== "C"
```c title="fast_power.c"
/* 高速べき乗 */
int fastPow(int x, int n) {
if (n == 0) {
return 1;
}
int half = fastPow(x, n / 2);
if (n % 2 == 0) {
return half * half;
}
return half * half * x;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="fast_power.kt"
/* 高速べき乗 */
fun fastPow(x: Int, n: Int): Int {
if (n == 0) {
return 1
}
val half = fastPow(x, n / 2)
if (n % 2 == 0) {
return half * half
}
return half * half * x
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="fast_power.rb"
### 高速べき乗 ###
def fast_pow(x, n)
return 1 if n == 0
half = fast_pow(x, n / 2)
return half * half if n.even?
half * half * x
end
```
`x = 3`、`n = 5` として、この関数で結果を計算します。
<!-- numbered-subquestions -->
1. 再帰呼び出しでは、引数 `n` はどのような値に順に変わりますか？
2. 最も深い呼び出しから戻るとき、各呼び出しはどの値を順に返しますか？
3. `fast_pow(x, n // 2)` を 2 回書くのではなく、先に `half` へ保存するのはなぜですか？
3. 同じ部分問題を乗算の両側で 1 回ずつ呼び出すのではなく、再帰結果を先に `half` へ保存するのはなぜですか？
??? success "解答"
@@ -54,7 +247,7 @@ def fast_pow(x, n):
2. `n = 0` のとき 1 を返します。`n = 1` のとき $1×1×3=3$、
`n = 2` のとき $3×3=9$、`n = 5` のとき $9×9×3=243$ を返します。
3. 乗算の両側に `fast_pow(x, n // 2)` を 1 回ずつ書くと、2 つの再帰呼び出しがまったく同じ部分問題を計算します。
3. 同じ部分問題を乗算の両側で 1 回ずつ呼び出すと、2 つの再帰呼び出しがまったく同じ計算を行います。
結果を先に `half` へ保存すれば、各層で再帰するのは 1 回だけとなり、再帰の深さは約 $\log n$ です。
2 回呼び出すと、大量の重複計算が発生します。