Add ru version (#1865)

* Add Russian docs site baseline

* Add Russian localized codebase

* Polish Russian code wording

* Update ru code translation.

* Update code translation and chapter covers.

* Fix pythontutor extraction.

* Add README and landing page.

* placeholder of profiles

* Use figures of English version

* Remove chapter paperbook

ru/docs/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md

@@ -0,0 +1,101 @@
+# Свойства задач динамического программирования
+
+В предыдущем разделе мы увидели, как динамическое программирование решает исходную задачу через разложение на подзадачи. На самом деле разложение на подзадачи - это общий алгоритмический подход, но в divide and conquer, динамическом программировании и backtracking акценты расставлены по-разному.
+
+- Алгоритмы divide and conquer рекурсивно раскладывают исходную задачу на несколько независимых подзадач, пока не будет достигнута наименьшая подзадача, а затем в процессе возврата объединяют решения подзадач в решение исходной задачи.
+- Динамическое программирование тоже раскладывает задачу рекурсивно, но его главное отличие от divide and conquer в том, что подзадачи здесь зависят друг от друга и в процессе разложения возникает много перекрывающихся подзадач.
+- Алгоритм backtracking перебирает все возможные решения через попытки и откат и с помощью обрезки избегает ненужных ветвей поиска. Решение исходной задачи состоит из последовательности решений, и подзадачей можно считать префикс этой последовательности решений.
+
+На практике динамическое программирование часто применяется для задач оптимизации. Такие задачи не только содержат перекрывающиеся подзадачи, но и обладают еще двумя важными свойствами: оптимальной подструктурой и отсутствием последствий.
+
+## Оптимальная подструктура
+
+Немного изменим задачу о подъеме по лестнице, чтобы нагляднее показать понятие оптимальной подструктуры.
+
+!!! question "Минимальная стоимость подъема по лестнице"
+
+    Дана лестница, по которой можно подниматься на $1$ или на $2$ ступени за раз. На каждой ступени указано неотрицательное целое число, обозначающее цену попадания на эту ступень. Дан массив неотрицательных целых чисел $cost$ , где $cost[i]$ - это цена для ступени $i$ , а $cost[0]$ соответствует земле (начальной позиции). Найдите минимальную суммарную стоимость, необходимую для достижения вершины.
+
+Как показано на рисунке ниже, если цены для ступеней $1$ , $2$ и $3$ равны соответственно $1$ , $10$ и $1$ , то минимальная стоимость подъема с земли на третью ступень равна $2$ .
+
+![Минимальная стоимость подъема на 3-ю ступень](dp_problem_features.assets/min_cost_cs_example.png)
+
+Пусть $dp[i]$ обозначает накопленную стоимость подъема на ступень $i$ . Поскольку на ступень $i$ можно прийти только со ступени $i - 1$ или со ступени $i - 2$ , значение $dp[i]$ может быть либо $dp[i - 1] + cost[i]$ , либо $dp[i - 2] + cost[i]$ . Чтобы минимизировать стоимость, нужно выбрать меньший из этих двух вариантов:
+
+$$
+dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
+$$
+
+Отсюда и возникает смысл оптимальной подструктуры: **оптимальное решение исходной задачи строится из оптимальных решений подзадач**.
+
+Очевидно, что эта задача обладает оптимальной подструктурой: мы берем лучшее из двух оптимальных решений подзадач $dp[i-1]$ и $dp[i-2]$ и на его основе строим оптимальное решение исходной задачи $dp[i]$ .
+
+А обладает ли оптимальной подструктурой исходная задача о числе способов подъема по лестнице из прошлого раздела? Формально она не про оптимум, а про подсчет количества. Но если переформулировать ее как "найдите максимальное количество способов", мы неожиданно увидим, что **хотя исходная задача осталась по сути той же, оптимальная подструктура стала явной**: максимальное число способов добраться до ступени $n$ равно сумме максимальных чисел способов добраться до ступеней $n-1$ и $n-2$ . То есть объяснение оптимальной подструктуры в разных задачах может быть довольно гибким.
+
+Зная уравнение перехода состояния, а также начальные состояния $dp[1] = cost[1]$ и $dp[2] = cost[2]$ , мы можем сразу написать код динамического программирования:
+
+```src
+[file]{min_cost_climbing_stairs_dp}-[class]{}-[func]{min_cost_climbing_stairs_dp}
+```
+
+На рисунке ниже показан процесс динамического программирования для этой задачи.
+
+![Процесс динамического программирования для минимальной стоимости подъема](dp_problem_features.assets/min_cost_cs_dp.png)
+
+В этой задаче тоже можно оптимизировать пространство, сжав одномерное состояние в нулевое измерение и тем самым уменьшив пространственную сложность с $O(n)$ до $O(1)$ :
+
+```src
+[file]{min_cost_climbing_stairs_dp}-[class]{}-[func]{min_cost_climbing_stairs_dp_comp}
+```
+
+## Отсутствие последствий
+
+Отсутствие последствий - одно из ключевых свойств, благодаря которому динамическое программирование вообще может эффективно работать. Его определение таково: **если текущее состояние задано однозначно, то его дальнейшее развитие зависит только от него самого и не зависит от всей истории предыдущих состояний**.
+
+Для примера снова рассмотрим задачу о лестнице. Если дано состояние $i$ , то из него можно перейти в состояния $i+1$ и $i+2$ , соответствующие прыжкам на $1$ и на $2$ ступени. Чтобы сделать один из этих выборов, не нужно знать, какими были состояния до $i$ ; на будущее влияет только текущее состояние $i$ .
+
+Однако если добавить в задачу дополнительное ограничение, ситуация изменится.
+
+!!! question "Подъем по лестнице с ограничением"
+
+    Дана лестница из $n$ ступеней. За один шаг можно подняться на $1$ или на $2$ ступени, **но нельзя два раунда подряд прыгать на $1$ ступень**. Сколькими способами можно добраться до вершины?
+
+Как показано на рисунке ниже, на третью ступень теперь существует только $2$ допустимых способа добраться: вариант с тремя последовательными прыжками на $1$ не удовлетворяет ограничению и потому отбрасывается.
+
+![Число способов подняться на 3-ю ступень при наличии ограничения](dp_problem_features.assets/climbing_stairs_constraint_example.png)
+
+В этой задаче, если в предыдущем раунде был сделан прыжок на $1$ ступень, то в следующем раунде уже обязательно нужно прыгнуть на $2$ ступени. Иными словами, **следующий выбор уже нельзя определить только по текущему состоянию (текущему номеру ступени) - он зависит еще и от предыдущего состояния (с какой ступени мы пришли в прошлый раз)**.
+
+Нетрудно заметить, что в таком виде задача больше не удовлетворяет свойству отсутствия последствий, а уравнение перехода состояния $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ перестает работать, потому что $dp[i-1]$ соответствует прыжку на $1$ ступень, но при этом включает множество вариантов, где предыдущий раунд тоже был прыжком на $1$ ступень. Такие варианты уже нельзя напрямую учитывать в $dp[i]$ , если мы хотим соблюдать ограничение.
+
+Поэтому нам нужно расширить определение состояния: **состояние $[i, j]$ означает, что мы находимся на ступени $i$ и в предыдущем раунде прыгнули на $j$ ступеней**, где $j \in \{1, 2\}$ . Такое определение состояния эффективно различает, был ли в прошлом раунде прыжок на $1$ или на $2$ ступени, и позволяет корректно определить, откуда произошло текущее состояние.
+
+- Если в предыдущем раунде был прыжок на $1$ ступень, то в раунде перед ним мог быть только прыжок на $2$ ступени, то есть $dp[i, 1]$ может перейти только из $dp[i-1, 2]$ .
+- Если в предыдущем раунде был прыжок на $2$ ступени, то еще шагом раньше можно было прыгнуть либо на $1$ , либо на $2$ ступени, то есть $dp[i, 2]$ может переходить из $dp[i-2, 1]$ или из $dp[i-2, 2]$ .
+
+Как показано на рисунке ниже, при таком определении $dp[i, j]$ обозначает число способов для состояния $[i, j]$ . Тогда уравнение перехода состояния имеет вид:
+
+$$
+\begin{cases}
+dp[i, 1] = dp[i-1, 2] \\
+dp[i, 2] = dp[i-2, 1] + dp[i-2, 2]
+\end{cases}
+$$
+
+![Рекуррентная связь с учетом ограничения](dp_problem_features.assets/climbing_stairs_constraint_state_transfer.png)
+
+В конце достаточно вернуть $dp[n, 1] + dp[n, 2]$ ; эта сумма и представляет общее число способов добраться до ступени $n$ :
+
+```src
+[file]{climbing_stairs_constraint_dp}-[class]{}-[func]{climbing_stairs_constraint_dp}
+```
+
+В этом примере достаточно дополнительно учитывать только одно предыдущее состояние, поэтому после расширения определения состояния задача снова начинает удовлетворять свойству отсутствия последствий. Однако в некоторых задачах "зависимость от прошлого" бывает гораздо серьезнее.
+
+!!! question "Подъем по лестнице с порождением препятствий"
+
+    Дана лестница из $n$ ступеней. За один шаг можно подняться на $1$ или на $2$ ступени. **При этом, если вы попали на ступень $i$ , система автоматически создает препятствие на ступени $2i$ , и на всех последующих шагах становиться на ступень $2i$ уже нельзя**. Например, если в первых двух раундах вы попали на ступени $2$ и $3$ , то после этого нельзя будет попадать на ступени $4$ и $6$ . Сколько существует способов добраться до вершины?
+
+В этой задаче следующий прыжок зависит от всех предыдущих состояний, потому что каждый прыжок порождает новое препятствие на более высокой ступени и тем самым влияет на все будущие прыжки. Для задач такого типа динамическое программирование обычно оказывается непригодным.
+
+Вообще, многие сложные задачи комбинаторной оптимизации (например, задача коммивояжера) не обладают свойством отсутствия последствий. Для таких задач обычно выбирают другие методы - например, эвристический поиск, генетические алгоритмы, обучение с подкреплением и т.д., - чтобы за ограниченное время получить пригодное локально оптимальное решение.