mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-15 16:36:06 +00:00
Add ru version (#1865)
* Add Russian docs site baseline * Add Russian localized codebase * Polish Russian code wording * Update ru code translation. * Update code translation and chapter covers. * Fix pythontutor extraction. * Add README and landing page. * placeholder of profiles * Use figures of English version * Remove chapter paperbook
This commit is contained in:
Yudong Jin
@@ -0,0 +1,183 @@
|
||||
# Подход к решению задач динамического программирования
|
||||
|
||||
В двух предыдущих разделах были рассмотрены основные свойства задач динамического программирования. Теперь исследуем два более практических вопроса.
|
||||
|
||||
1. Как определить, является ли некоторая задача задачей динамического программирования?
|
||||
2. С чего начинать решение такой задачи и как выглядит полный процесс решения?
|
||||
|
||||
## Определение задачи
|
||||
|
||||
В целом, если задача содержит перекрывающиеся подзадачи, оптимальную подструктуру и удовлетворяет свойству отсутствия последствий, то она обычно подходит для решения с помощью динамического программирования. Однако извлечь все эти свойства напрямую из формулировки задачи бывает трудно. Поэтому на практике мы обычно ослабляем требования и **сначала смотрим, подходит ли задача для решения методом backtracking (полного перебора)**.
|
||||
|
||||
**Задачи, подходящие для backtracking, обычно удовлетворяют "модели дерева решений"**. Такие задачи можно описать деревом, где каждый узел представляет одно решение, а каждый путь представляет последовательность решений.
|
||||
|
||||
Иначе говоря, если в задаче есть четко выраженные решения и ответ порождается последовательностью таких решений, то она удовлетворяет модели дерева решений и обычно допускает решение через backtracking.
|
||||
|
||||
Поверх этого у задач динамического программирования есть и некоторые дополнительные "плюсы".
|
||||
|
||||
- В условии задачи фигурируют слова "максимальный", "минимальный", "наибольший", "наименьший" и другие формулировки оптимизации.
|
||||
- Состояния задачи можно описать списком, многомерной матрицей или деревом, и между состоянием и соседними состояниями существует рекуррентная зависимость.
|
||||
|
||||
Соответственно, существуют и некоторые "минусы".
|
||||
|
||||
- Цель задачи состоит в поиске всех возможных решений, а не одного оптимального решения.
|
||||
- В формулировке явно присутствуют признаки комбинаторного перечисления, и требуется вернуть сразу много конкретных вариантов.
|
||||
|
||||
Если задача удовлетворяет модели дерева решений и имеет достаточно явные "плюсы", мы можем предположить, что это задача динамического программирования, а затем проверить это предположение уже в процессе решения.
|
||||
|
||||
## Этапы решения задачи
|
||||
|
||||
Конкретный процесс решения задач динамического программирования зависит от природы и сложности задачи, но обычно включает следующие шаги: описание решений, определение состояний, построение таблицы $dp$ , вывод уравнения перехода состояния, определение граничных условий и порядка переходов.
|
||||
|
||||
Чтобы нагляднее показать этот процесс, рассмотрим классическую задачу "минимальная сумма пути".
|
||||
|
||||
!!! question
|
||||
|
||||
Дана двумерная сетка `grid` размера $n \times m$ , в каждой клетке которой записано неотрицательное целое число, означающее стоимость прохождения через эту клетку. Робот стартует из левой верхней клетки и за один шаг может двигаться только вправо или вниз, пока не достигнет правой нижней клетки. Верните минимальную сумму пути от левой верхней клетки до правой нижней.
|
||||
|
||||
На рисунке ниже показан пример, в котором минимальная сумма пути равна $13$ .
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
**Шаг 1: понять решения на каждом раунде, определить состояние и тем самым получить таблицу $dp$**
|
||||
|
||||
В этой задаче на каждом раунде решение состоит в том, чтобы из текущей клетки сделать один шаг вниз или вправо. Пусть индексы строки и столбца текущей клетки равны $[i, j]$ ; тогда после шага вниз или вправо индексы становятся равными $[i+1, j]$ или $[i, j+1]$ . Значит, состояние должно включать два переменных индекса: строки и столбца, то есть состояние обозначается как $[i, j]$ .
|
||||
|
||||
Подзадача, соответствующая состоянию $[i, j]$ , такова: минимальная сумма пути от стартовой клетки $[0, 0]$ до клетки $[i, j]$ . Ее решение обозначается через $dp[i, j]$ .
|
||||
|
||||
На этом этапе мы получаем двумерную матрицу $dp$ , показанную на рисунке ниже, размер которой совпадает с размером входной сетки `grid` .
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
!!! note
|
||||
|
||||
Как в динамическом программировании, так и в backtracking, решение задачи можно описать как последовательность решений, а состояние образуется всеми переменными решений. Оно должно содержать всю информацию, достаточную для вывода следующего состояния.
|
||||
|
||||
Каждому состоянию соответствует некоторая подзадача, и для хранения решений всех подзадач мы определяем таблицу $dp$ ; каждая независимая переменная состояния становится одним измерением таблицы $dp$ . По сути таблица $dp$ - это отображение от состояния к решению соответствующей подзадачи.
|
||||
|
||||
**Шаг 2: найти оптимальную подструктуру и на ее основе вывести уравнение перехода состояния**
|
||||
|
||||
Для состояния $[i, j]$ возможны только два источника: клетка сверху $[i-1, j]$ и клетка слева $[i, j-1]$ . Следовательно, оптимальная подструктура выглядит так: минимальная сумма пути до $[i, j]$ определяется меньшим из двух значений - минимальной суммы пути до $[i-1, j]$ и минимальной суммы пути до $[i, j-1]$ .
|
||||
|
||||
По этому рассуждению получается уравнение перехода состояния, показанное на рисунке ниже:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
|
||||
$$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
!!! note
|
||||
|
||||
Опираясь на уже определенную таблицу $dp$ , нужно продумать отношение между исходной задачей и подзадачами и найти способ построить оптимальное решение исходной задачи из оптимальных решений подзадач, то есть найти оптимальную подструктуру.
|
||||
|
||||
Как только оптимальная подструктура найдена, на ее основе можно построить уравнение перехода состояния.
|
||||
|
||||
**Шаг 3: определить граничные условия и порядок переходов**
|
||||
|
||||
В этой задаче состояния в первой строке могут переходить только из клетки слева, а состояния в первом столбце - только из клетки сверху, поэтому первая строка $i = 0$ и первый столбец $j = 0$ образуют граничные условия.
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке ниже, поскольку каждая клетка получается из клетки слева и клетки сверху, мы можем проходить матрицу циклами: внешний цикл по строкам, внутренний - по столбцам.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
!!! note
|
||||
|
||||
В динамическом программировании граничные условия используются для инициализации таблицы $dp$ , а в поиске - для обрезки.
|
||||
|
||||
Смысл порядка перехода состояния в том, чтобы к моменту вычисления текущей подзадачи все более мелкие подзадачи, от которых она зависит, уже были вычислены корректно.
|
||||
|
||||
После этого анализа мы уже можем напрямую написать код динамического программирования. Однако разложение на подзадачи - это мышление "сверху вниз", поэтому с точки зрения мышления более естественно реализовывать задачу в порядке "полный перебор $\rightarrow$ поиск с мемоизацией $\rightarrow$ динамическое программирование".
|
||||
|
||||
### Метод 1: полный перебор
|
||||
|
||||
Начав со состояния $[i, j]$ , мы непрерывно раскладываем его на меньшие состояния $[i-1, j]$ и $[i, j-1]$ . Рекурсивная функция при этом имеет следующие элементы.
|
||||
|
||||
- **Параметры рекурсии**: состояние $[i, j]$ .
|
||||
- **Возвращаемое значение**: минимальная сумма пути до $[i, j]$ , то есть $dp[i, j]$ .
|
||||
- **Условие завершения**: когда $i = 0$ и $j = 0$ , возвращается стоимость $grid[0, 0]$ .
|
||||
- **Обрезка**: если $i < 0$ или $j < 0$ , индекс выходит за границы, и в этом случае возвращается стоимость $+\infty$ , обозначающая невозможность.
|
||||
|
||||
Код реализации:
|
||||
|
||||
```src
|
||||
[file]{min_path_sum}-[class]{}-[func]{min_path_sum_dfs}
|
||||
```
|
||||
|
||||
На рисунке ниже показано дерево рекурсии с корнем в $dp[2, 1]$ ; в нем содержатся перекрывающиеся подзадачи, и их число будет резко расти вместе с размером сетки `grid` .
|
||||
|
||||
По своей сути причина появления перекрывающихся подзадач такова: **существует много разных путей от левого верхнего угла до одной и той же клетки**.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
У каждого состояния есть два выбора - вниз и вправо, а от левого верхнего угла до правого нижнего нужно сделать всего $m + n - 2$ шагов, поэтому худшая временная сложность равна $O(2^{m + n})$ , где $n$ и $m$ - число строк и столбцов сетки соответственно. Заметим, что в этой оценке не учитывается близость к границам сетки: у граничных клеток остается только один выбор, так что фактическое число путей будет несколько меньше.
|
||||
|
||||
### Метод 2: поиск с мемоизацией
|
||||
|
||||
Введем список памяти `mem` того же размера, что и сетка `grid` , для хранения решений всех подзадач и отсечения перекрывающихся подзадач:
|
||||
|
||||
```src
|
||||
[file]{min_path_sum}-[class]{}-[func]{min_path_sum_dfs_mem}
|
||||
```
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке ниже, после добавления мемоизации решение каждой подзадачи вычисляется только один раз, поэтому временная сложность определяется общим числом состояний, то есть равна $O(nm)$ .
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
### Метод 3: динамическое программирование
|
||||
|
||||
Итеративная реализация динамического программирования выглядит так:
|
||||
|
||||
```src
|
||||
[file]{min_path_sum}-[class]{}-[func]{min_path_sum_dp}
|
||||
```
|
||||
|
||||
На рисунке ниже показан процесс переходов состояний в задаче о минимальной сумме пути. Он проходит по всей сетке, **поэтому временная сложность равна $O(nm)$** .
|
||||
|
||||
Размер массива `dp` равен $n \times m$ , **поэтому пространственная сложность равна $O(nm)$** .
|
||||
|
||||
=== "<1>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<2>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<3>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<4>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<5>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<6>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<7>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<8>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<9>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<10>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<11>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<12>"
|
||||
|
||||
|
||||
### Оптимизация пространства
|
||||
|
||||
Поскольку каждая клетка зависит только от клетки слева и клетки сверху, таблицу $dp$ можно реализовать с помощью одномерного массива, соответствующего одной строке.
|
||||
|
||||
Обратите внимание: поскольку массив `dp` теперь может представлять только одну строку состояний, мы не можем заранее инициализировать состояния первого столбца, а должны обновлять их по мере обхода каждой строки:
|
||||
|
||||
```src
|
||||
[file]{min_path_sum}-[class]{}-[func]{min_path_sum_dp_comp}
|
||||
```
|
||||
Reference in New Issue
Block a user