mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-05 20:24:19 +00:00
Add ru version (#1865)
* Add Russian docs site baseline * Add Russian localized codebase * Polish Russian code wording * Update ru code translation. * Update code translation and chapter covers. * Fix pythontutor extraction. * Add README and landing page. * placeholder of profiles * Use figures of English version * Remove chapter paperbook
This commit is contained in:
Yudong Jin
@@ -0,0 +1,207 @@
|
||||
# Задача о полном рюкзаке
|
||||
|
||||
В этом разделе сначала решим еще один распространенный вариант задачи о рюкзаке - полный рюкзак, а затем рассмотрим одну из его типичных специальных форм: задачу о размене монет.
|
||||
|
||||
## Задача о полном рюкзаке
|
||||
|
||||
!!! question
|
||||
|
||||
Даны $n$ предметов. Вес $i$-го предмета равен $wgt[i-1]$ , стоимость равна $val[i-1]$ . Также дан рюкзак вместимости $cap$ . **Каждый предмет можно выбирать многократно**. Найдите максимальную суммарную стоимость, которую можно поместить в рюкзак при заданной вместимости. Пример показан на рисунке ниже.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
### Идея динамического программирования
|
||||
|
||||
Задача о полном рюкзаке очень похожа на задачу о рюкзаке 0-1; **разница состоит только в том, что число выборов каждого предмета не ограничено**.
|
||||
|
||||
- В задаче о рюкзаке 0-1 каждого предмета существует только один экземпляр, поэтому после того как предмет $i$ помещен в рюкзак, выбирать можно только из первых $i-1$ предметов.
|
||||
- В задаче о полном рюкзаке число экземпляров каждого предмета бесконечно, поэтому после того как предмет $i$ помещен в рюкзак, **выбирать все еще можно из первых $i$ предметов**.
|
||||
|
||||
При этом состояние $[i, c]$ в задаче о полном рюкзаке может изменяться двумя способами.
|
||||
|
||||
- **Не брать предмет $i$** : как и в задаче о рюкзаке 0-1, переход осуществляется в $[i-1, c]$ .
|
||||
- **Взять предмет $i$** : в отличие от рюкзака 0-1 переход происходит в $[i, c-wgt[i-1]]$ .
|
||||
|
||||
Следовательно, уравнение перехода состояния принимает вид:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Реализация кода
|
||||
|
||||
Если сравнить код этой задачи с кодом задачи о рюкзаке 0-1, то окажется, что в переходе состояний меняется только одна деталь: вместо $i-1$ появляется $i$ ; все остальное остается таким же:
|
||||
|
||||
```src
|
||||
[file]{unbounded_knapsack}-[class]{}-[func]{unbounded_knapsack_dp}
|
||||
```
|
||||
|
||||
### Оптимизация пространства
|
||||
|
||||
Поскольку текущее состояние переходит из состояния слева и состояния сверху, **после оптимизации памяти каждую строку таблицы $dp$ нужно обходить слева направо**.
|
||||
|
||||
Этот порядок обхода как раз противоположен задаче о рюкзаке 0-1. Разницу удобно понять по рисунку ниже.
|
||||
|
||||
=== "<1>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<2>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<3>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<4>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<5>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<6>"
|
||||
|
||||
|
||||
Код реализации здесь довольно прост: достаточно просто убрать первое измерение массива `dp` :
|
||||
|
||||
```src
|
||||
[file]{unbounded_knapsack}-[class]{}-[func]{unbounded_knapsack_dp_comp}
|
||||
```
|
||||
|
||||
## Задача о размене монет
|
||||
|
||||
Задача о рюкзаке представляет собой целый класс задач динамического программирования, у которого есть множество вариантов, и одной из таких вариаций является задача о размене монет.
|
||||
|
||||
!!! question
|
||||
|
||||
Даны $n$ видов монет, номинал монеты $i$ равен $coins[i - 1]$ , а целевая сумма равна $amt$ . **Монеты каждого вида можно брать многократно**. Требуется найти минимальное число монет, которыми можно набрать целевую сумму. Если набрать сумму невозможно, верните $-1$ . Пример показан на рисунке ниже.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
### Идея динамического программирования
|
||||
|
||||
**Задачу о размене монет можно рассматривать как частный случай задачи о полном рюкзаке** ; между ними существует следующая связь и следующие различия.
|
||||
|
||||
- Эти две задачи можно взаимно переводить друг в друга: "предмет" соответствует "монете", "вес предмета" соответствует "номиналу монеты", а "вместимость рюкзака" соответствует "целевой сумме".
|
||||
- Цель оптимизации противоположна: в задаче о полном рюкзаке нужно максимизировать стоимость предметов, а в задаче о размене монет - минимизировать число монет.
|
||||
- В задаче о полном рюкзаке ищется решение, не превышающее вместимость, а в задаче о размене монет требуется **ровно** набрать целевую сумму.
|
||||
|
||||
**Шаг 1: продумать решения на каждом раунде, определить состояние и тем самым получить таблицу $dp$**
|
||||
|
||||
Подзадача, соответствующая состоянию $[i, a]$ , выглядит так: **минимальное число монет из первых $i$ видов, которыми можно набрать сумму $a$**. Решение этой подзадачи обозначается как $dp[i, a]$ .
|
||||
|
||||
Размер двумерной таблицы $dp$ равен $(n+1) \times (amt+1)$ .
|
||||
|
||||
**Шаг 2: найти оптимальную подструктуру и на ее основе вывести уравнение перехода состояния**
|
||||
|
||||
По сравнению с задачей о полном рюкзаке здесь есть два отличия в уравнении перехода состояния.
|
||||
|
||||
- Нужно искать минимум, а не максимум, поэтому оператор $\max()$ заменяется на $\min()$ .
|
||||
- Оптимизируемое значение - это число монет, а не суммарная стоимость, поэтому при выборе монеты нужно просто прибавить $1$ .
|
||||
|
||||
$$
|
||||
dp[i, a] = \min(dp[i-1, a], dp[i, a - coins[i-1]] + 1)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
**Шаг 3: определить граничные условия и порядок переходов**
|
||||
|
||||
Когда целевая сумма равна $0$ , минимальное число монет для ее набора равно $0$ , то есть весь первый столбец $dp[i, 0]$ заполняется нулями.
|
||||
|
||||
Когда монет нет, **невозможно набрать никакую целевую сумму $> 0$** ; это и есть недопустимое решение. Чтобы функция $\min()$ в уравнении перехода состояния могла распознавать и отбрасывать такие недопустимые решения, удобно использовать значение $+ \infty$ ; то есть всю первую строку $dp[0, a]$ нужно инициализировать значением $+ \infty$ .
|
||||
|
||||
### Реализация кода
|
||||
|
||||
Большинство языков программирования не предоставляет готовую переменную $+ \infty$ для целых чисел, поэтому обычно приходится заменять ее на максимальное значение типа `int` . Но тогда возникает риск переполнения: операция $+ 1$ в уравнении перехода может переполнить большое число.
|
||||
|
||||
Поэтому здесь мы используем число $amt + 1$ как обозначение недопустимого решения, потому что для набора суммы $amt$ максимум нужно не больше чем $amt$ монет. Перед возвратом результата проверяем, равно ли $dp[n, amt]$ значению $amt + 1$ ; если да, то возвращаем $-1$ , что означает невозможность набрать целевую сумму. Код приведен ниже:
|
||||
|
||||
```src
|
||||
[file]{coin_change}-[class]{}-[func]{coin_change_dp}
|
||||
```
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке ниже, процесс динамического программирования для задачи о размене монет очень похож на задачу о полном рюкзаке.
|
||||
|
||||
=== "<1>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<2>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<3>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<4>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<5>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<6>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<7>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<8>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<9>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<10>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<11>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<12>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<13>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<14>"
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<15>"
|
||||
|
||||
|
||||
### Оптимизация пространства
|
||||
|
||||
Оптимизация пространства для задачи о размене монет выполняется так же, как и для полного рюкзака:
|
||||
|
||||
```src
|
||||
[file]{coin_change}-[class]{}-[func]{coin_change_dp_comp}
|
||||
```
|
||||
|
||||
## Задача о размене монет II
|
||||
|
||||
!!! question
|
||||
|
||||
Даны $n$ видов монет, номинал монеты $i$ равен $coins[i - 1]$ , а целевая сумма равна $amt$ . Монеты каждого вида можно брать многократно. **Найдите число различных комбинаций монет, которыми можно набрать целевую сумму**. Пример показан на рисунке ниже.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
### Идея динамического программирования
|
||||
|
||||
По сравнению с предыдущей задачей теперь целью является число комбинаций. Поэтому подзадача меняется на следующую: **число комбинаций из первых $i$ видов монет, которыми можно набрать сумму $a$**. При этом таблица $dp$ по-прежнему остается двумерной матрицей размера $(n+1) \times (amt + 1)$ .
|
||||
|
||||
Число комбинаций для текущего состояния равно сумме числа комбинаций для двух решений: не брать текущую монету и брать текущую монету. Поэтому уравнение перехода состояния принимает вид:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
dp[i, a] = dp[i-1, a] + dp[i, a - coins[i-1]]
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Когда целевая сумма равна $0$ , ее можно набрать, не выбирая ни одной монеты, поэтому весь первый столбец $dp[i, 0]$ нужно инициализировать единицами. Когда монет нет, невозможно набрать никакую сумму $>0$ , поэтому вся первая строка $dp[0, a]$ должна быть заполнена нулями.
|
||||
|
||||
### Реализация кода
|
||||
|
||||
```src
|
||||
[file]{coin_change_ii}-[class]{}-[func]{coin_change_ii_dp}
|
||||
```
|
||||
|
||||
### Оптимизация пространства
|
||||
|
||||
При оптимизации памяти способ остается тем же самым: достаточно убрать измерение, отвечающее за виды монет:
|
||||
|
||||
```src
|
||||
[file]{coin_change_ii}-[class]{}-[func]{coin_change_ii_dp_comp}
|
||||
```
|
||||
Reference in New Issue
Block a user