First version.

2026-07-17 01:06:07 +00:00 · 2026-01-20 15:08:42 +08:00
parent 2213a59ff6
commit 8071daddaa
106 changed files with 11790 additions and 0 deletions
@@ -0,0 +1,247 @@
+# Итерация и рекурсия
+
+В алгоритмах часто требуется повторное выполнение определенной задачи, что тесно связано с анализом сложности. Поэтому, прежде чем перейти к обсуждению временной и пространственной сложности, рассмотрим, как реализовать повторное выполнение задач в программе, а именно две основные структуры управления программой: итерацию и рекурсию.
+
+## Итерации
+
+*Итерация* -- это структура управления, которая позволяет повторно выполнять определенную задачу. В итерации программа повторяет выполнение определенного участка кода, пока выполняется определенное условие.
+
+### Цикл for
+
+*Цикл* for -- одна из наиболее распространенных форм итерации, которая подходит для использования, когда количество итераций известно заранее.
+
+Следующая функция реализует суммирование 1 + 2 + \... + *n* с использованием цикла for, результат суммирования сохраняется в переменной res. Следует отметить, что в Python диапазон range(a, b) соответствует левому закрытому, правому открытому интервалу, т. е. перебираются значения *a*, *a* + 1, \... , *b* − 1:
+
+```src
+[file]{iteration}-[class]{}-[func]{for_loop}
+```
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：下图是该求和函数的流程框图。 -->
+
+![Блок-схема функции суммирования](../assets/iteration_and_recursion.assets/iteration.png)
+
+Количество операций этой функции суммирования пропорционально размеру входных данных *n*, или, другими словами, линейно зависит от него. **На самом деле временная сложность описывает именно эту линейную зависимость**. Соответствующий материал будет подробно рассмотрен в следующем разделе.
+
+### Цикл while
+
+Подобно циклу for, цикл while также представляет собой метод реализации итерации. В цикле while программа перед каждой итерацией проверяет условие: если условие истинно, то выполнение продолжается, иначе цикл завершается.
+
+Ниже приведен пример реализации суммирования 1 + 2 + \... + *n* с использованием цикла while:
+
+```src
+[file]{iteration}-[class]{}-[func]{while_loop}
+```
+
+**Цикл** while **обладает большей степенью свободы по сравнению с циклом** for. В цикле while можно свободно управлять инициализацией и обновлением условной переменной.
+
+Например, в следующем коде условная переменная *i* обновляется дважды на каждой итерации, что затруднительно сделать с использованием цикла for:
+
+```src
+[file]{iteration}-[class]{}-[func]{while_loop_ii}
+```
+
+В целом **код с использованием цикла** for **более компактный**, **а цикл** while **более гибкий**. Но они оба могут реализовать итерационную структуру. Выбор между ними определяется требованиями конкретной задачи.
+
+### Вложенные циклы
+
+Внутрь одной циклической структуры можно вложить другую, например используя два цикла for:
+
+```src
+[file]{iteration}-[class]{}-[func]{nested_for_loop}
+```
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：下图是该嵌套循环的流程框图。 -->
+
+![Блок-схема вложенного цикла](../assets/iteration_and_recursion.assets/nested_iteration.png)
+
+В этом случае количество выполненных действий пропорционально *n*², или, другими словами, время выполнения алгоритма и размер входных данных *n* находятся в квадратичной зависимости.
+
+Можно и дальше добавлять вложенные циклы, тогда каждое вложение будет повышать размерность, увеличивая временную сложность до кубической зависимости, зависимости четвертой степени и т. д.
+
+## Рекурсия
+
+*Рекурсия* -- это стратегия алгоритма, при которой функция вызывает саму себя для решения задачи. Она включает два основных этапа.
+
+1. **Вызов**: программа постоянно вызывает саму себя, обычно передавая меньшие или более упрощенные параметры, пока не будет достигнуто условие завершения.
+
+2. **Возврат**: после срабатывания условия завершения программа начинает возвращаться из самой глубокой рекурсивной функции, объединяя результаты каждого уровня.
+
+С точки зрения реализации рекурсивный код включает три основных элемента.
+
+1. **Условие завершения**: используется для определения момента перехода от вызова к возврату.
+
+2. **Рекурсивный вызов**: соответствует вызову, функция вызывает саму себя, обычно с меньшими или упрощенными параметрами.
+
+3. **Возврат результата**: соответствует возврату, возвращает результат текущего уровня рекурсии на предыдущий уровень.
+
+Рассмотрим следующий код: вызов функции recur(n) позволяет вычислить сумму 1 + 2 + \... + *n*.
+
+```src
+[file]{recursion}-[class]{}-[func]{recur}
+```
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：下图展示了该函数的递归过程。 -->
+
+![Рекурсивный вызов функции суммирования](../assets/iteration_and_recursion.assets/recursion_sum.png)
+
+Хотя с точки зрения вычислений итерация и рекурсия могут давать одинаковый результат, они представляют собой совершенно разные парадигмы мышления и решения задач.
+
+- **Итерация**: решение задачи снизу вверх. Начинаем с самых базовых шагов, которые затем повторяются или накапливаются до завершения задачи.
+
+- **Рекурсия**: решение задачи сверху вниз. Исходная задача разбивается на более мелкие подзадачи, которые имеют ту же форму, что и исходная задача. Далее подзадачи продолжают делиться на еще более мелкие, пока не достигается базовый случай (решение базового случая известно).
+
+Рассмотрим в качестве примера вышеупомянутую функцию суммирования, где решается задача *f*(*n*) = 1 + 2 + \... + *n*.
+
+- **Итерация**: моделирование процесса суммирования в цикле проходит от 1 до *n*, выполняя операцию суммирования на каждом шаге, чтобы получить итоговое значение *f*(*n*).
+
+- **Рекурсия**: последовательное разбиение задачи на подзадачи вида *f*(*n*) = *n* + *f*(*n* -- 1) до достижения базового случая *f*(1) = 1.
+
+### Стек вызовов
+
+Каждый раз, когда рекурсивная функция вызывает саму себя, система выделяет память для нового вызова функции, чтобы хранить локальные переменные, адрес вызова и другую информацию. Это поведение имеет два последствия.
+
+- Контекстные данные функции хранятся в области памяти, называемой пространством стекового кадра, и освобождаются только после возврата функции. **Поэтому рекурсия обычно требует больше памяти, чем итерация**.
+
+- Рекурсивный вызов функции создает дополнительные накладные расходы. **Поэтому рекурсия обычно менее эффективна по времени, чем циклы**.
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：如下图所示，在触发终止条件前，同时存在 $n$ 个未返回的递归函数，**递归深度为 $n$** 。 -->
+
+![Глубина рекурсивного вызова](../assets/iteration_and_recursion.assets/recursion_sum_depth.png)
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：在实际中，编程语言允许的递归深度通常是有限的，过深的递归可能导致栈溢出错误。 -->
+
+### Хвостовая рекурсия
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：有趣的是，**如果函数在返回前的最后一步才进行递归调用**，则该函数可以被编译器或解释器优化，使其在空间效率上与迭代相当。这种情况被称为<u>尾递归（tail recursion）</u>。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：- **普通递归**：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下文。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：- **尾递归**：递归调用是函数返回前的最后一个操作，这意味着函数返回到上一层级后，无须继续执行其他操作，因此系统无须保存上一层函数的上下文。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：以计算 $1 + 2 + \dots + n$ 为例，我们可以将结果变量 `res` 设为函数参数，从而实现尾递归： -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：```src
+[file]{recursion}-[class]{}-[func]{tail_recur}
+``` -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：尾递归的执行过程如下图所示。对比普通递归和尾递归，两者的求和操作的执行点是不同的。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：- **普通递归**：求和操作是在"归"的过程中执行的，每层返回后都要再执行一次求和操作。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：- **尾递归**：求和操作是在"递"的过程中执行的，"归"的过程只需层层返回。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：![尾递归过程](iteration_and_recursion.assets/tail_recursion_sum.png) -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：!!! tip
+
+    请注意，许多编译器或解释器并不支持尾递归优化。例如，Python 默认不支持尾递归优化，因此即使函数是尾递归形式，仍然可能会遇到栈溢出问题。 -->
+
+### Дерево рекурсии
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：当处理与"分治"相关的算法问题时，递归往往比迭代的思路更加直观、代码更加易读。以"斐波那契数列"为例。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：!!! question
+
+    给定一个斐波那契数列 $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ ，求该数列的第 $n$ 个数字。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：设斐波那契数列的第 $n$ 个数字为 $f(n)$ ，易得两个结论。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：- 数列的前两个数字为 $f(1) = 0$ 和 $f(2) = 1$ 。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：- 数列中的每个数字是前两个数字的和，即 $f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)$ 。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：按照递推关系进行递归调用，将前两个数字作为终止条件，便可写出递归代码。调用 `fib(n)` 即可得到斐波那契数列的第 $n$ 个数字： -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：```src
+[file]{recursion}-[class]{}-[func]{fib}
+``` -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：观察以上代码，我们在函数内递归调用了两个函数，**这意味着从一个调用产生了两个调用分支**。如下图所示，这样不断递归调用下去，最终将产生一棵层数为 $n$ 的<u>递归树（recursion tree）</u>。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：![斐波那契数列的递归树](iteration_and_recursion.assets/recursion_tree.png) -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：从本质上看，递归体现了"将问题分解为更小子问题"的思维范式，这种分治策略至关重要。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：- 从算法角度看，搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略直接或间接地应用了这种思维方式。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：- 从数据结构角度看，递归天然适合处理链表、树和图的相关问题，因为它们非常适合用分治思想进行分析。 -->
+
+## Сравнение итерации и рекурсии
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：总结以上内容，如下表所示，迭代和递归在实现、性能和适用性上有所不同。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：<p align="center"> 表 <id> &nbsp; 迭代与递归特点对比 </p> -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：|          | 迭代                                   | 递归                                                         |
+| -------- | -------------------------------------- | ------------------------------------------------------------ |
+| 实现方式 | 循环结构                               | 函数调用自身                                                 |
+| 时间效率 | 效率通常较高，无函数调用开销           | 每次函数调用都会产生开销                                     |
+| 内存使用 | 通常使用固定大小的内存空间             | 累积函数调用可能使用大量的栈帧空间                           |
+| 适用问题 | 适用于简单循环任务，代码直观、可读性好 | 适用于子问题分解，如树、图、分治、回溯等，代码结构简洁、清晰 | -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：!!! tip
+
+    如果感觉以下内容理解困难，可以在读完"栈"章节后再来复习。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：那么，迭代和递归具有什么内在联系呢？以上述递归函数为例，求和操作在递归的"归"阶段进行。这意味着最初被调用的函数实际上是最后完成其求和操作的，**这种工作机制与栈的"先入后出"原则异曲同工**。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：事实上，"调用栈"和"栈帧空间"这类递归术语已经暗示了递归与栈之间的密切关系。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：1. **递**：当函数被调用时，系统会在"调用栈"上为该函数分配新的栈帧，用于存储函数的局部变量、参数、返回地址等数据。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：2. **归**：当函数完成执行并返回时，对应的栈帧会被从"调用栈"上移除，恢复之前函数的执行环境。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：因此，**我们可以使用一个显式的栈来模拟调用栈的行为**，从而将递归转化为迭代形式： -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：```src
+[file]{recursion}-[class]{}-[func]{for_loop_recur}
+``` -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：观察以上代码，当递归转化为迭代后，代码变得更加复杂了。尽管迭代和递归在很多情况下可以互相转化，但不一定值得这样做，有以下两点原因。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：- 转化后的代码可能更加难以理解，可读性更差。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：- 对于某些复杂问题，模拟系统调用栈的行为可能非常困难。 -->
+
+<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
+<!-- 中文原文：总之，**选择迭代还是递归取决于特定问题的性质**。在编程实践中，权衡两者的优劣并根据情境选择合适的方法至关重要。 -->