build

chapter_heap/build_heap.md

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 - 完全二叉树中，设节点总数为 $n$ ，则叶节点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此，在排除叶节点后，需要堆化的节点数量为 $(n - 1)/2$ ，复杂度为 $O(n)$ ；
 - 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ；
 
-将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$。**然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的特性**。
+将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。**然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的特性**。
 
 接下来我们来进行更为详细的计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）节点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**节点堆化最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”**。
 

chapter_heap/heap.md

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 # 8.1.   堆
 
-「堆 Heap」是一棵限定条件下的「完全二叉树」。根据成立条件，堆主要分为两种类型：
+「堆 Heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，可分为两种类型：
 
 - 「大顶堆 Max Heap」，任意节点的值 $\geq$ 其子节点的值；
 - 「小顶堆 Min Heap」，任意节点的值 $\leq$ 其子节点的值；
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 <p align="center"> Fig. 小顶堆与大顶堆 </p>
 
-## 8.1.1. &nbsp; 堆术语与性质
+堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性：
 
-- 由于堆是完全二叉树，因此最底层节点靠左填充，其它层节点皆被填满。
-- 二叉树中的根节点对应「堆顶」，底层最靠右节点对应「堆底」。
-- 对于大顶堆 / 小顶堆，其堆顶元素（即根节点）的值最大 / 最小。
+- 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
+- 我们将二叉树的根节点称为「堆顶」，将底层最靠右的节点称为「堆底」。
+- 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（即根节点）的值分别是最大（最小）的。
 
-## 8.1.2. &nbsp; 堆常用操作
+## 8.1.1. &nbsp; 堆常用操作
 
-值得说明的是，多数编程语言提供的是「优先队列 Priority Queue」，其是一种抽象数据结构，**定义为具有出队优先级的队列**。
+需要指出的是，许多编程语言提供的是「优先队列 Priority Queue」，这是一种抽象数据结构，定义为具有优先级排序的队列。
 
-而恰好，**堆的定义与优先队列的操作逻辑完全吻合**，大顶堆就是一个元素从大到小出队的优先队列。从使用角度看，我们可以将「优先队列」和「堆」理解为等价的数据结构。因此，本文与代码对两者不做特别区分，统一使用「堆」来命名。
+实际上，**堆通常用作实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小顺序出队的优先队列**。从使用角度来看，我们可以将「优先队列」和「堆」看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一使用「堆」来命名。
 
-堆的常用操作见下表，方法名需根据编程语言确定。
+堆的常用操作见下表，方法名需要根据编程语言来确定。
 
 <div class="center-table" markdown>
 
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 </div>
 
-我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。
+在实际应用中，我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。
 
 !!! tip
 
-    类似于排序中“从小到大排列”和“从大到小排列”，“大顶堆”和“小顶堆”可仅通过修改 Comparator 来互相转换。
+    类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过修改 Comparator 来实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。
 
 === "Java"
 
@@ -307,23 +307,23 @@ comments: true
 
     ```
 
-## 8.1.3. &nbsp; 堆的实现
+## 8.1.2. &nbsp; 堆的实现
 
-下文实现的是「大顶堆」，若想转换为「小顶堆」，将所有大小逻辑判断取逆（例如将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ）即可，有兴趣的同学可自行实现。
+下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取逆（例如，将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ）。感兴趣的读者可以自行实现。
 
 ### 堆的存储与表示
 
-在二叉树章节我们学过，「完全二叉树」非常适合使用「数组」来表示，而堆恰好是一棵完全二叉树，**因而我们采用「数组」来存储「堆」**。
+我们在二叉树章节中学习到，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，**我们将采用数组来存储堆**。
 
-**二叉树指针**。使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置，**而节点指针通过索引映射公式来实现**。
+当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。**节点指针通过索引映射公式来实现**。
 
-具体地，给定索引 $i$ ，那么其左子节点索引为 $2i + 1$ 、右子节点索引为 $2i + 2$ 、父节点索引为 $(i - 1) / 2$ （向下整除）。当索引越界时，代表空节点或节点不存在。
+具体而言，给定索引 $i$ ，其左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$ ，父节点索引为 $(i - 1) / 2$（向下取整）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。
 
 ![堆的表示与存储](heap.assets/representation_of_heap.png)
 
 <p align="center"> Fig. 堆的表示与存储 </p>
 
-我们将索引映射公式封装成函数，以便后续使用。
+我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用。
 
 === "Java"
 
@@ -510,7 +510,7 @@ comments: true
 
 ### 访问堆顶元素
 
-堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。
+堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素。
 
 === "Java"
 
@@ -601,9 +601,9 @@ comments: true
 
 ### 元素入堆
 
-给定元素 `val` ，我们先将其添加到堆底。添加后，由于 `val` 可能大于堆中其它元素，此时堆的成立条件可能已经被破坏，**因此需要修复从插入节点到根节点这条路径上的各个节点**，该操作被称为「堆化 Heapify」。
+给定元素 `val` ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。因此，**需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点**，这个操作被称为「堆化 Heapify」。
 
-考虑从入堆节点开始，**从底至顶执行堆化**。具体地，比较插入节点与其父节点的值，若插入节点更大则将它们交换；并循环以上操作，从底至顶地修复堆中的各个节点；直至越过根节点时结束，或当遇到无需交换的节点时提前结束。
+考虑从入堆节点开始，**从底至顶执行堆化**。具体来说，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无需交换的节点时结束。
 
 === "<1>"
     ![元素入堆步骤](heap.assets/heap_push_step1.png)
@@ -623,7 +623,7 @@ comments: true
 === "<6>"
     ![heap_push_step6](heap.assets/heap_push_step6.png)
 
-设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ ，易得堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**因而元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
+设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
 
 === "Java"
 
@@ -879,13 +879,13 @@ comments: true
 
 ### 堆顶元素出堆
 
-堆顶元素是二叉树根节点，即列表首元素，如果我们直接将首元素从列表中删除，则二叉树中所有节点都会随之发生移位（索引发生变化），这样后续使用堆化修复就很麻烦了。为了尽量减少元素索引变动，采取以下操作步骤：
+堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采取以下操作步骤：
 
 1. 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）；
-2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，因为已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）；
+2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）；
 3. 从根节点开始，**从顶至底执行堆化**；
 
-顾名思义，**从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反**，我们比较根节点的值与其两个子节点的值，将最大的子节点与根节点执行交换，并循环以上操作，直到越过叶节点时结束，或当遇到无需交换的节点时提前结束。
+顾名思义，**从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反**，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换；然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无需交换的节点时结束。
 
 === "<1>"
     ![堆顶元素出堆步骤](heap.assets/heap_pop_step1.png)
@@ -917,7 +917,7 @@ comments: true
 === "<10>"
     ![heap_pop_step10](heap.assets/heap_pop_step10.png)
 
-与元素入堆操作类似，**堆顶元素出堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
+与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 $O(\log n)$ 。
 
 === "Java"
 
@@ -1275,8 +1275,8 @@ comments: true
     }
     ```
 
-## 8.1.4. &nbsp; 堆常见应用
+## 8.1.3. &nbsp; 堆常见应用
 
-- **优先队列**。堆常作为实现优先队列的首选数据结构，入队和出队操作时间复杂度为 $O(\log n)$ ，建队操作为 $O(n)$ ，皆非常高效。
-- **堆排序**。给定一组数据，我们使用其建堆，并依次全部弹出，则可以得到有序的序列。当然，堆排序一般无需弹出元素，仅需每轮将堆顶元素交换至数组尾部并减小堆的长度即可。
-- **获取最大的 $k$ 个元素**。这既是一道经典算法题目，也是一种常见应用，例如选取热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取前 10 销量的商品等。
+- **优先队列**：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$ ，而建队操作为 $O(n)$ ，这些操作都非常高效。
+- **堆排序**：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后依次将所有元素弹出，从而得到一个有序序列。当然，堆排序的实现方法并不需要弹出元素，而是每轮将堆顶元素交换至数组尾部并缩小堆的长度。
+- **获取最大的 $k$ 个元素**：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。

chapter_heap/summary.md

@@ -4,9 +4,9 @@ comments: true
 
 # 8.3.   小结
 
-- 堆是一棵限定条件下的完全二叉树，根据成立条件可分为大顶堆和小顶堆。大（小）顶堆的堆顶元素最大（小）。
-- 优先队列定义为一种具有出队优先级的队列。堆是实现优先队列的最常用数据结构。
-- 堆的常用操作和对应时间复杂度为元素入堆 $O(\log n)$ 、堆顶元素出堆 $O(\log n)$ 、访问堆顶元素 $O(1)$ 等。
-- 完全二叉树非常适合用数组来表示，因此我们一般用数组来存储堆。
-- 堆化操作用于修复堆的特性，在入堆和出堆操作中都会使用到。
-- 输入 $n$ 个元素并建堆的时间复杂度可以被优化至 $O(n)$ ，非常高效。
+- 堆是一棵完全二叉树，根据成立条件可分为大顶堆和小顶堆。大（小）顶堆的堆顶元素是最大（小）的。
+- 优先队列的定义是具有出队优先级的队列，通常使用堆来实现。
+- 堆的常用操作及其对应的时间复杂度包括：元素入堆 $O(\log n)$ 、堆顶元素出堆 $O(\log n)$ 和访问堆顶元素 $O(1)$ 等。
+- 完全二叉树非常适合用数组表示，因此我们通常使用数组来存储堆。
+- 堆化操作用于维护堆的性质，在入堆和出堆操作中都会用到。
+- 输入 $n$ 个元素并建堆的时间复杂度可以优化至 $O(n)$ ，非常高效。