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2026-07-04 19:54:20 +00:00 · 2023-07-21 21:53:15 +08:00
parent c64dcd39e7
commit 872edb67c1
109 changed files with 11092 additions and 111 deletions
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+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
+        
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
+  
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+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
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+    </li>
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          </ul>
        </nav>
      
@@ -3323,7 +3353,13 @@

 <h1 id="142">14.2. &nbsp; 动态规划问题特性<a class="headerlink" href="#142" title="Permanent link">&para;</a></h1>
 <p>在上节中，我们学习了动态规划问题的暴力解法，从递归树中观察到海量的重叠子问题，以及了解到动态规划是如何通过记录解来优化时间复杂度的。</p>
-<p>实际上，动态规划最常用来求解最优方案问题，例如寻找最短路径、最大利润、最少时间等。<strong>这类问题不仅包含重叠子问题，往往还具有另外两大特性：最优子结构、无后效性</strong>。</p>
+<p>总的看来，<strong>子问题分解是一种通用的算法思路，在分治、动态规划、回溯中各有特点</strong>：</p>
+<ul>
+<li>分治算法将原问题划分为几个独立的子问题，然后递归解决子问题，最后合并子问题的解得到原问题的解。</li>
+<li>动态规划也是将原问题分解为多个子问题，但与分治算法的主要区别是，<strong>动态规划中的子问题往往不是相互独立的</strong>，原问题的解依赖于子问题的解，而子问题的解又依赖于更小的子问题的解。</li>
+<li>回溯算法在尝试和回退中穷举所有可能的解，并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系列决策步骤构成，我们可以将每个决策步骤之前的子序列看作为一个子问题。</li>
+</ul>
+<p>实际上，动态规划最常用来求解最优化问题。<strong>这类问题不仅包含重叠子问题，还具有另外两大特性：最优子结构、无后效性</strong>。</p>
 <h2 id="1421">14.2.1. &nbsp; 最优子结构<a class="headerlink" href="#1421" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>我们对爬楼梯问题稍作改动，使之更加适合展示最优子结构概念。</p>
 <div class="admonition question">
@@ -2812,30 +2812,43 @@
      
        <li class="md-nav__item">
  <a href="#1432" class="md-nav__link">
-    14.3.2. &nbsp; 问题求解
+    14.3.2. &nbsp; 问题求解步骤
+  </a>
+  
+    <nav class="md-nav" aria-label="14.3.2.   问题求解步骤">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    方法一：暴力搜索
  </a>
  
 </li>
-      
-        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1433" class="md-nav__link">
-    14.3.3. &nbsp; 方法一：暴力搜索
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    方法二：记忆化搜索
  </a>
  
 </li>
-      
-        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1434" class="md-nav__link">
-    14.3.4. &nbsp; 方法二：记忆化搜索
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    方法三：动态规划
  </a>
  
 </li>
-      
-        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1435" class="md-nav__link">
-    14.3.5. &nbsp; 方法三：动态规划
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_4" class="md-nav__link">
+    状态压缩
  </a>
  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
    </ul>
@@ -2981,6 +2994,8 @@
        
      
        
+      
+        
      
        
      
@@ -3116,6 +3131,34 @@

              
            
+              
+                
+  
+  
+  
+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
+        
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
+  
+
+  
+
+      </a>
+    </li>
+  
+
+              
+            
          </ul>
        </nav>
      
@@ -3314,30 +3357,43 @@
      
        <li class="md-nav__item">
  <a href="#1432" class="md-nav__link">
-    14.3.2. &nbsp; 问题求解
+    14.3.2. &nbsp; 问题求解步骤
+  </a>
+  
+    <nav class="md-nav" aria-label="14.3.2.   问题求解步骤">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    方法一：暴力搜索
  </a>
  
 </li>
-      
-        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1433" class="md-nav__link">
-    14.3.3. &nbsp; 方法一：暴力搜索
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    方法二：记忆化搜索
  </a>
  
 </li>
-      
-        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1434" class="md-nav__link">
-    14.3.4. &nbsp; 方法二：记忆化搜索
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    方法三：动态规划
  </a>
  
 </li>
-      
-        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1435" class="md-nav__link">
-    14.3.5. &nbsp; 方法三：动态规划
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_4" class="md-nav__link">
+    状态压缩
  </a>
  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
    </ul>
@@ -3384,7 +3440,7 @@
 <li>问题描述中有明显的排列组合的特征，需要返回具体的多个方案。</li>
 </ul>
 <p>如果一个问题满足决策树模型，并具有较为明显的“加分项“，我们就可以假设它是一个动态规划问题，并尝试求解它。</p>
-<h2 id="1432">14.3.2. &nbsp; 问题求解<a class="headerlink" href="#1432" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h2 id="1432">14.3.2. &nbsp; 问题求解步骤<a class="headerlink" href="#1432" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>动态规划的解题流程可能会因问题的性质和难度而有所不同，但通常遵循以下步骤：描述决策，定义状态，建立 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表，推导状态转移方程，确定边界条件等。</p>
 <p>为了更形象地展示解题步骤，我们使用一个经典问题「最小路径和」来举例。</p>
 <div class="admonition question">
@@ -3432,7 +3488,7 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
 <p>边界条件即初始状态，在搜索中用于剪枝，在动态规划中用于初始化 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表。状态转移顺序的核心是要保证在计算当前问题时，所有它依赖的更小子问题都已经被正确地计算出来。</p>
 </div>
 <p>接下来，我们就可以实现动态规划代码了。然而，由于子问题分解是一种从顶至底的思想，因此按照“暴力搜索 <span class="arithmatex">\(\rightarrow\)</span> 记忆化搜索 <span class="arithmatex">\(\rightarrow\)</span> 动态规划”的顺序实现更加符合思维习惯。</p>
-<h2 id="1433">14.3.3. &nbsp; 方法一：暴力搜索<a class="headerlink" href="#1433" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h3 id="_1">方法一：暴力搜索<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>从状态 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 开始搜索，不断分解为更小的状态 <span class="arithmatex">\([i-1, j]\)</span> 和 <span class="arithmatex">\([i, j-1]\)</span> ，包括以下递归要素：</p>
 <ul>
 <li><strong>递归参数</strong>：状态 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> ；<strong>返回值</strong>：从 <span class="arithmatex">\([0, 0]\)</span> 到 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 的最小路径和 <span class="arithmatex">\(dp[i, j]\)</span> ；</li>
@@ -3580,7 +3636,7 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
 <p align="center"> Fig. 暴力搜索递归树 </p>

 <p>每个状态都有向下和向右两种选择，从左上角走到右下角总共需要 <span class="arithmatex">\(m + n - 2\)</span> 步，所以最差时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(2^{m + n})\)</span> 。请注意，这种计算方式未考虑临近网格边界的情况，当到达网络边界时只剩下一种选择。因此实际的路径数量会少一些。</p>
-<h2 id="1434">14.3.4. &nbsp; 方法二：记忆化搜索<a class="headerlink" href="#1434" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h3 id="_2">方法二：记忆化搜索<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>为了避免重复计算重叠子问题，我们引入一个和网格 <code>grid</code> 相同尺寸的记忆列表 <code>mem</code> ，用于记录各个子问题的解，提升搜索效率。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:11"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label><label for="__tabbed_2_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@@ -3753,7 +3809,7 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
 <p><img alt="记忆化搜索递归树" src="../dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dfs_mem.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 记忆化搜索递归树 </p>

-<h2 id="1435">14.3.5. &nbsp; 方法三：动态规划<a class="headerlink" href="#1435" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h3 id="_3">方法三：动态规划<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>动态规划代码是从底至顶的，仅需循环即可实现。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:11"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_5" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_6" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_7" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_8" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_9" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_10" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_11" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">Java</label><label for="__tabbed_3_2">C++</label><label for="__tabbed_3_3">Python</label><label for="__tabbed_3_4">Go</label><label for="__tabbed_3_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_3_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_3_7">C</label><label for="__tabbed_3_8">C#</label><label for="__tabbed_3_9">Swift</label><label for="__tabbed_3_10">Zig</label><label for="__tabbed_3_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@@ -3967,6 +4023,7 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
 </div>
 </div>
 </div>
+<h3 id="_4">状态压缩<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>如果希望进一步节省空间使用，可以考虑进行状态压缩。每个格子只与左边和上边的格子有关，因此我们可以只用一个单行数组来实现 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表。</p>
 <p>由于数组 <code>dp</code> 只能表示一行的状态，因此我们无法提前初始化首列状态，而是在遍历每行中更新它。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="5:11"><input checked="checked" id="__tabbed_5_1" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_2" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_3" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_4" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_5" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_6" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_7" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_8" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_9" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_10" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_11" name="__tabbed_5" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_5_1">Java</label><label for="__tabbed_5_2">C++</label><label for="__tabbed_5_3">Python</label><label for="__tabbed_5_4">Go</label><label for="__tabbed_5_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_5_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_5_7">C</label><label for="__tabbed_5_8">C#</label><label for="__tabbed_5_9">Swift</label><label for="__tabbed_5_10">Zig</label><label for="__tabbed_5_11">Dart</label></div>
@@ -2835,6 +2835,25 @@
        
      
      
+        <label class="md-nav__link md-nav__link--active" for="__toc">
+          
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    14.6. &nbsp; 编辑距离问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
+  
+
+  
+
+          <span class="md-nav__icon md-icon"></span>
+        </label>
+      
      <a href="./" class="md-nav__link md-nav__link--active">
        
  
@@ -2853,6 +2872,39 @@

      </a>
      
+        
+
+<nav class="md-nav md-nav--secondary" aria-label="目录">
+  
+  
+  
+    
+  
+  
+    <label class="md-nav__title" for="__toc">
+      <span class="md-nav__icon md-icon"></span>
+      目录
+    </label>
+    <ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    状态压缩
+  </a>
+  
+</li>
+      
+    </ul>
+  
+</nav>
+      
    </li>
  

@@ -2908,6 +2960,8 @@
        
      
        
+      
+        
      
        
      
@@ -3043,6 +3097,34 @@

              
            
+              
+                
+  
+  
+  
+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
+        
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
+  
+
+  
+
+      </a>
+    </li>
+  
+
+              
+            
          </ul>
        </nav>
      
@@ -3226,6 +3308,28 @@
    
  
  
+    <label class="md-nav__title" for="__toc">
+      <span class="md-nav__icon md-icon"></span>
+      目录
+    </label>
+    <ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    状态压缩
+  </a>
+  
+</li>
+      
+    </ul>
+  
 </nav>
                  </div>
                </div>
@@ -3294,6 +3398,7 @@ dp[i, j] = dp[i-1, j-1]
 <p><strong>第三步：确定边界条件和状态转移顺序</strong></p>
 <p>当两字符串都为空时，编辑步数为 <span class="arithmatex">\(0\)</span> ，即 <span class="arithmatex">\(dp[0, 0] = 0\)</span> 。当 <span class="arithmatex">\(s\)</span> 为空但 <span class="arithmatex">\(t\)</span> 不为空时，最少编辑步数等于 <span class="arithmatex">\(t\)</span> 的长度，即 <span class="arithmatex">\(dp[0, j] = j\)</span> 。当 <span class="arithmatex">\(s\)</span> 不为空但 <span class="arithmatex">\(t\)</span> 为空时，等于 <span class="arithmatex">\(s\)</span> 的长度，即 <span class="arithmatex">\(dp[i, 0] = i\)</span> 。</p>
 <p>观察状态转移方程，解 <span class="arithmatex">\(dp[i, j]\)</span> 依赖左方、上方、左上方的解，因此通过两层循环正序遍历整个 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表即可。</p>
+<h3 id="_1">代码实现<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:11"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_1_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -3532,6 +3637,7 @@ dp[i, j] = dp[i-1, j-1]
 </div>
 </div>
 </div>
+<h3 id="_2">状态压缩<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>下面考虑状态压缩，将 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表的第一维删除。由于 <span class="arithmatex">\(dp[i,j]\)</span> 是由上方 <span class="arithmatex">\(dp[i-1, j]\)</span> 、左方 <span class="arithmatex">\(dp[i, j-1]\)</span> 、左上方状态 <span class="arithmatex">\(dp[i-1, j-1]\)</span> 转移而来，而正序遍历会丢失左上方 <span class="arithmatex">\(dp[i-1, j-1]\)</span> ，倒序遍历无法提前构建 <span class="arithmatex">\(dp[i, j-1]\)</span> ，因此两种遍历顺序都不可取。</p>
 <p>为解决此问题，我们可以使用一个变量 <code>leftup</code> 来暂存左上方的解 <span class="arithmatex">\(dp[i-1, j-1]\)</span> ，这样便只用考虑左方和上方的解，与完全背包问题的情况相同，可使用正序遍历。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:11"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_5" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_6" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_7" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_8" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_9" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_10" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_11" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">Java</label><label for="__tabbed_3_2">C++</label><label for="__tabbed_3_3">Python</label><label for="__tabbed_3_4">Go</label><label for="__tabbed_3_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_3_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_3_7">C</label><label for="__tabbed_3_8">C#</label><label for="__tabbed_3_9">Swift</label><label for="__tabbed_3_10">Zig</label><label for="__tabbed_3_11">Dart</label></div>
@@ -2898,6 +2898,8 @@
        
      
        
+      
+        
      
        
      
@@ -3033,6 +3035,34 @@

              
            
+              
+                
+  
+  
+  
+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
+        
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
+  
+
+  
+
+      </a>
+    </li>
+  
+
+              
+            
          </ul>
        </nav>
      
@@ -2766,6 +2766,13 @@
    14.1.3. &nbsp; 方法三：动态规划
  </a>
  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#1414" class="md-nav__link">
+    14.1.4. &nbsp; 状态压缩
+  </a>
+  
 </li>
      
    </ul>
@@ -2967,6 +2974,8 @@
        
      
        
+      
+        
      
        
      
@@ -3102,6 +3111,34 @@

              
            
+              
+                
+  
+  
+  
+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
+        
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
+  
+
+  
+
+      </a>
+    </li>
+  
+
+              
+            
          </ul>
        </nav>
      
@@ -3310,6 +3347,13 @@
    14.1.3. &nbsp; 方法三：动态规划
  </a>
  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#1414" class="md-nav__link">
+    14.1.4. &nbsp; 状态压缩
+  </a>
+  
 </li>
      
    </ul>
@@ -4041,6 +4085,7 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
 <p><img alt="爬楼梯的动态规划过程" src="../intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dp.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 爬楼梯的动态规划过程 </p>

+<h2 id="1414">14.1.4. &nbsp; 状态压缩<a class="headerlink" href="#1414" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>细心的你可能发现，<strong>由于 <span class="arithmatex">\(dp[i]\)</span> 只与 <span class="arithmatex">\(dp[i-1]\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(dp[i-2]\)</span> 有关，因此我们无需使用一个数组 <code>dp</code> 来存储所有子问题的解</strong>，而只需两个变量滚动前进即可。如以下代码所示，由于省去了数组 <code>dp</code> 占用的空间，因此空间复杂度从 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 降低至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="5:11"><input checked="checked" id="__tabbed_5_1" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_2" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_3" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_4" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_5" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_6" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_7" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_8" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_9" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_10" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_11" name="__tabbed_5" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_5_1">Java</label><label for="__tabbed_5_2">C++</label><label for="__tabbed_5_3">Python</label><label for="__tabbed_5_4">Go</label><label for="__tabbed_5_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_5_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_5_7">C</label><label for="__tabbed_5_8">C#</label><label for="__tabbed_5_9">Swift</label><label for="__tabbed_5_10">Zig</label><label for="__tabbed_5_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@@ -4155,12 +4200,6 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
 </div>
 </div>
 <p><strong>我们将这种空间优化技巧称为「状态压缩」</strong>。在许多动态规划问题中，当前状态仅与前面有限个状态有关，不必保存所有的历史状态，这时我们可以应用状态压缩，只保留必要的状态，通过“降维”来节省内存空间。</p>
-<p>总的看来，<strong>子问题分解是一种通用的算法思路，在分治、动态规划、回溯中各有特点</strong>：</p>
-<ul>
-<li>分治算法将原问题划分为几个独立的子问题，然后递归解决子问题，最后合并子问题的解得到原问题的解。例如，归并排序将长数组不断划分为两个短子数组，再将排序好的子数组合并为排序好的长数组。</li>
-<li>动态规划也是将原问题分解为多个子问题，但与分治算法的主要区别是，<strong>动态规划中的子问题往往不是相互独立的</strong>，原问题的解依赖于子问题的解，而子问题的解又依赖于更小的子问题的解。</li>
-<li>回溯算法在尝试和回退中穷举所有可能的解，并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系列决策步骤构成，我们可以将每个决策步骤之前的子序列看作为一个子问题。</li>
-</ul>



@@ -2832,22 +2832,29 @@
    <ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
      
        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1441" class="md-nav__link">
-    14.4.1. &nbsp; 方法一：暴力搜索
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    方法一：暴力搜索
  </a>
  
 </li>
      
        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1442" class="md-nav__link">
-    14.4.2. &nbsp; 方法二：记忆化搜索
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    方法二：记忆化搜索
  </a>
  
 </li>
      
        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1443" class="md-nav__link">
-    14.4.3. &nbsp; 方法三：动态规划
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    方法三：动态规划
+  </a>
+  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_4" class="md-nav__link">
+    状态压缩
  </a>
  
 </li>
@@ -2967,6 +2974,8 @@
        
      
        
+      
+        
      
        
      
@@ -3102,6 +3111,34 @@

              
            
+              
+                
+  
+  
+  
+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
+        
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
+  
+
+  
+
+      </a>
+    </li>
+  
+
+              
+            
          </ul>
        </nav>
      
@@ -3292,22 +3329,29 @@
    <ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
      
        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1441" class="md-nav__link">
-    14.4.1. &nbsp; 方法一：暴力搜索
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    方法一：暴力搜索
  </a>
  
 </li>
      
        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1442" class="md-nav__link">
-    14.4.2. &nbsp; 方法二：记忆化搜索
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    方法二：记忆化搜索
  </a>
  
 </li>
      
        <li class="md-nav__item">
-  <a href="#1443" class="md-nav__link">
-    14.4.3. &nbsp; 方法三：动态规划
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    方法三：动态规划
+  </a>
+  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_4" class="md-nav__link">
+    状态压缩
  </a>
  
 </li>
@@ -3370,7 +3414,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
 <p class="admonition-title">Tip</p>
 <p>完成以上三步后，我们可以直接实现从底至顶的动态规划解法。而为了展示本题包含的重叠子问题，本文也同时给出从顶至底的暴力搜索和记忆化搜索解法。</p>
 </div>
-<h2 id="1441">14.4.1. &nbsp; 方法一：暴力搜索<a class="headerlink" href="#1441" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h3 id="_1">方法一：暴力搜索<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>搜索代码包含以下要素：</p>
 <ul>
 <li><strong>递归参数</strong>：状态 <span class="arithmatex">\([i, c]\)</span> ；<strong>返回值</strong>：子问题的解 <span class="arithmatex">\(dp[i, c]\)</span> 。</li>
@@ -3517,7 +3561,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
 <p><img alt="0-1 背包的暴力搜索递归树" src="../knapsack_problem.assets/knapsack_dfs.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 0-1 背包的暴力搜索递归树 </p>

-<h2 id="1442">14.4.2. &nbsp; 方法二：记忆化搜索<a class="headerlink" href="#1442" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h3 id="_2">方法二：记忆化搜索<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>为了防止重复求解重叠子问题，我们借助一个记忆列表 <code>mem</code> 来记录子问题的解，其中 <code>mem[i][c]</code> 对应解 <span class="arithmatex">\(dp[i, c]\)</span> 。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:11"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label><label for="__tabbed_2_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@@ -3689,7 +3733,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
 <p><img alt="0-1 背包的记忆化搜索递归树" src="../knapsack_problem.assets/knapsack_dfs_mem.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 0-1 背包的记忆化搜索递归树 </p>

-<h2 id="1443">14.4.3. &nbsp; 方法三：动态规划<a class="headerlink" href="#1443" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<h3 id="_3">方法三：动态规划<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>动态规划解法本质上就是在状态转移中填充 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表的过程，代码如下所示。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:11"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_5" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_6" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_7" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_8" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_9" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_10" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_11" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">Java</label><label for="__tabbed_3_2">C++</label><label for="__tabbed_3_3">Python</label><label for="__tabbed_3_4">Go</label><label for="__tabbed_3_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_3_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_3_7">C</label><label for="__tabbed_3_8">C#</label><label for="__tabbed_3_9">Swift</label><label for="__tabbed_3_10">Zig</label><label for="__tabbed_3_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@@ -3890,7 +3934,8 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
 </div>
 </div>
 </div>
-<p><strong>最后考虑状态压缩</strong>。以上代码中的数组 <code>dp</code> 占用 <span class="arithmatex">\(O(n \times cap)\)</span> 空间。由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 将低至 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。代码省略，有兴趣的同学可以自行实现。</p>
+<h3 id="_4">状态压缩<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
+<p>最后考虑状态压缩。以上代码中的数组 <code>dp</code> 占用 <span class="arithmatex">\(O(n \times cap)\)</span> 空间。由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 将低至 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。代码省略，有兴趣的同学可以自行实现。</p>
 <p>那么，我们是否可以仅用一个数组实现状态压缩呢？观察可知，每个状态都是由正上方或左上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当遍历到第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 行时，该数组存储的仍然是第 <span class="arithmatex">\(i-1\)</span> 行的状态，<strong>为了避免左方区域的格子在状态转移中被覆盖，应该采取倒序遍历</strong>。</p>
 <p>以下动画展示了在单个数组下从第 <span class="arithmatex">\(i=1\)</span> 行转换至第 <span class="arithmatex">\(i=2\)</span> 行的过程。建议你思考一下正序遍历和倒序遍历的区别。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="5:6"><input checked="checked" id="__tabbed_5_1" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_2" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_3" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_4" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_5" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_6" name="__tabbed_5" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_5_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_5_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_5_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_5_4">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_5_5">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_5_6">&lt;6&gt;</label></div>
@@ -2908,6 +2908,8 @@
        
      
        
+      
+        
      
        
      
@@ -3043,6 +3045,34 @@

              
            
+              
+                
+  
+  
+  
+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
+        
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
+  
+
+  
+
+      </a>
+    </li>
+  
+
+              
+            
          </ul>
        </nav>
      
@@ -3253,11 +3283,17 @@
 <li>不考虑时间的前提下，所有动态规划问题都可以用回溯（暴力搜索）进行求解，但递归树中存在大量的重叠子问题，效率极低。通过引入记忆化列表，可以存储所有计算过的子问题的解，从而保证重叠子问题只被计算一次。</li>
 <li>记忆化递归是一种从顶至底的递归式解法，而与之对应的动态规划是一种从底至顶的递推式解法，就像是在“填写表格”一样。由于当前状态仅依赖于某些局部状态，因此我们可以消除 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表的一个维度，从而降低空间复杂度。</li>
 <li>动态规划问题的三大特性：重叠子问题、最优子结构、无后效性。如果原问题的最优解可以从子问题的最优解构建得来，则此问题就具有最优子结构。无后效性指对于一个状态，其未来发展只与该状态有关，与其所经历的过去的所有状态无关。许多组合优化问题都不具有无后效性，无法使用动态规划快速求解。</li>
+</ul>
+<p><strong>背包问题</strong></p>
+<ul>
 <li>背包问题是最典型的动态规划题目，具有 0-1 背包、完全背包、多重背包等变种问题。</li>
 <li>0-1 背包的状态定义为前 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个物品在剩余容量为 <span class="arithmatex">\(c\)</span> 的背包中的最大价值。这是一种常见的定义方式。不放入物品 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ，状态转移至 <span class="arithmatex">\([i-1, c]\)</span> ，放入则转移至 <span class="arithmatex">\([i-1, c-wgt[i-1]]\)</span> ，由此便得到最优子结构，并构建出状态转移方程。对于状态压缩，由于每个状态依赖正上方和左上方的状态，因此需要倒序遍历列表，避免左上方状态被覆盖。</li>
 <li>完全背包的每种物品有无数个，因此在放置物品 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 后，状态转移至 <span class="arithmatex">\([i, c-wgt[i-1]]\)</span> 。由于状态依赖于正上方和正左方的状态，因此状态压缩后应该正序遍历。</li>
 <li>零钱兑换问题是完全背包的一个变种。为从求“最大“价值变为求“最小”硬币数量，我们将状态转移方程中的 <span class="arithmatex">\(\max()\)</span> 改为 <span class="arithmatex">\(\min()\)</span> 。为从求“不超过”背包容量到求“恰好”凑出目标金额，我们使用 <span class="arithmatex">\(amt + 1\)</span> 来表示“无法凑出目标金额”的无效解。</li>
 <li>零钱兑换 II 问题从求“最少硬币数量”改为求“硬币组合数量”，状态转移方程相应地从 <span class="arithmatex">\(\min()\)</span> 改为求和运算符。</li>
+</ul>
+<p><strong>编辑距离问题</strong></p>
+<ul>
 <li>编辑距离（Levenshtein 距离）用于衡量两个字符串之间的相似度，定义为从一个字符串到另一个字符串的最小编辑步数，编辑操作包括添加、删除、替换。</li>
 <li>编辑距离问题的状态定义为将 <span class="arithmatex">\(s\)</span> 的前 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个字符更改为 <span class="arithmatex">\(t\)</span> 的前 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 个字符所需的最少编辑步数。考虑字符 <span class="arithmatex">\(s[i]\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(t[j]\)</span> ，具有三种决策：在 <span class="arithmatex">\(s[i-1]\)</span> 之后添加 <span class="arithmatex">\(t[j-1]\)</span> 、删除 <span class="arithmatex">\(s[i-1]\)</span> 、将 <span class="arithmatex">\(s[i-1]\)</span> 替换为 <span class="arithmatex">\(t[j-1]\)</span> ，它们都有相应的剩余子问题，据此就可以找出最优子结构与构建状态转移方程。值得注意的是，当 <span class="arithmatex">\(s[i] = t[j]\)</span> 时，无需编辑当前字符，直接跳过即可。</li>
 <li>在编辑距离中，状态依赖于其正上方、正左方、左上方的状态，因此状态压缩后正序或倒序遍历都无法正确地进行状态转移。利用一个变量暂存左上方状态，即转化至完全背包地情况，可以在状态压缩后使用正序遍历。</li>
@@ -2864,6 +2864,26 @@
    14.5.1. &nbsp; 完全背包问题
  </a>
  
+    <nav class="md-nav" aria-label="14.5.1.   完全背包问题">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    状态压缩
+  </a>
+  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
        <li class="md-nav__item">
@@ -2871,6 +2891,26 @@
    14.5.2. &nbsp; 零钱兑换问题
  </a>
  
+    <nav class="md-nav" aria-label="14.5.2.   零钱兑换问题">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_4" class="md-nav__link">
+    状态压缩
+  </a>
+  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
        <li class="md-nav__item">
@@ -2878,6 +2918,26 @@
    14.5.3. &nbsp; 零钱兑换问题 II
  </a>
  
+    <nav class="md-nav" aria-label="14.5.3.   零钱兑换问题 II">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_5" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_6" class="md-nav__link">
+    状态压缩
+  </a>
+  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
    </ul>
@@ -2967,6 +3027,8 @@
        
      
        
+      
+        
      
        
      
@@ -3102,6 +3164,34 @@

              
            
+              
+                
+  
+  
+  
+    <li class="md-nav__item">
+      <a href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
+        
+  
+  <span class="md-ellipsis">
+    15.4. &nbsp; 最大切分乘积问题
+  </span>
+  
+    
+  
+  
+    <span class="md-status md-status--new" title="最近添加">
+    </span>
+  
+
+  
+
+      </a>
+    </li>
+  
+
+              
+            
          </ul>
        </nav>
      
@@ -3296,6 +3386,26 @@
    14.5.1. &nbsp; 完全背包问题
  </a>
  
+    <nav class="md-nav" aria-label="14.5.1.   完全背包问题">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_1" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_2" class="md-nav__link">
+    状态压缩
+  </a>
+  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
        <li class="md-nav__item">
@@ -3303,6 +3413,26 @@
    14.5.2. &nbsp; 零钱兑换问题
  </a>
  
+    <nav class="md-nav" aria-label="14.5.2.   零钱兑换问题">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_3" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_4" class="md-nav__link">
+    状态压缩
+  </a>
+  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
        <li class="md-nav__item">
@@ -3310,6 +3440,26 @@
    14.5.3. &nbsp; 零钱兑换问题 II
  </a>
  
+    <nav class="md-nav" aria-label="14.5.3.   零钱兑换问题 II">
+      <ul class="md-nav__list">
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_5" class="md-nav__link">
+    代码实现
+  </a>
+  
+</li>
+        
+          <li class="md-nav__item">
+  <a href="#_6" class="md-nav__link">
+    状态压缩
+  </a>
+  
+</li>
+        
+      </ul>
+    </nav>
+  
 </li>
      
    </ul>
@@ -3359,6 +3509,7 @@
 <div class="arithmatex">\[
 dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
 \]</div>
+<h3 id="_1">代码实现<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>对比两道题目的动态规划代码，状态转移中有一处从 <span class="arithmatex">\(i-1\)</span> 变为 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ，其余完全一致。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:11"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_1_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@@ -3512,6 +3663,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
 </div>
 </div>
 </div>
+<h3 id="_2">状态压缩<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>由于当前状态是从左边和上边的状态转移而来，<strong>因此状态压缩后应该对 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表中的每一行采取正序遍历</strong>，这个遍历顺序与 0-1 背包正好相反。请通过以下动画来理解为什么要改为正序遍历。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:6"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_2_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_2_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_2_4">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_2_5">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_2_6">&lt;6&gt;</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@@ -3719,7 +3871,8 @@ dp[i, a] = \min(dp[i-1, a], dp[i, a - coins[i-1]] + 1)
 \]</div>
 <p><strong>第三步：确定边界条件和状态转移顺序</strong></p>
 <p>当目标金额为 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 时，凑出它的最少硬币个数为 <span class="arithmatex">\(0\)</span> ，即所有 <span class="arithmatex">\(dp[i, 0]\)</span> 都等于 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 。当无硬币时，<strong>无法凑出任意 <span class="arithmatex">\(&gt; 0\)</span> 的目标金额</strong>，即是无效解。为使状态转移方程中的 <span class="arithmatex">\(\min()\)</span> 函数能够识别并过滤无效解，我们考虑使用 <span class="arithmatex">\(+ \infty\)</span> 来表示它们，即令所有 <span class="arithmatex">\(dp[0, a]\)</span> 都等于 <span class="arithmatex">\(+ \infty\)</span> 。</p>
-<p>以上做法仅适用于 Python 语言，因为大多数编程语言并未提供 <span class="arithmatex">\(+ \infty\)</span> 变量，所以只能使用整型 <code>int</code> 的最大值，而这又会导致大数越界：<strong>当 <span class="arithmatex">\(dp[i, a - coins[i-1]]\)</span> 是无效解时，再执行 <span class="arithmatex">\(+ 1\)</span> 操作会发生溢出</strong>。</p>
+<h3 id="_3">代码实现<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
+<p>然而，大多数编程语言并未提供 <span class="arithmatex">\(+ \infty\)</span> 变量，因此只能使用整型 <code>int</code> 的最大值来代替，而这又会导致大数越界：<strong>当 <span class="arithmatex">\(dp[i, a - coins[i-1]]\)</span> 是无效解时，再执行 <span class="arithmatex">\(+ 1\)</span> 操作会发生溢出</strong>。</p>
 <p>为解决该问题，我们采用一个不可能达到的大数字 <span class="arithmatex">\(amt + 1\)</span> 来表示无效解，因为凑出 <span class="arithmatex">\(amt\)</span> 的硬币个数最多为 <span class="arithmatex">\(amt\)</span> 个。</p>
 <p>在最后返回前，判断 <span class="arithmatex">\(dp[n, amt]\)</span> 是否等于 <span class="arithmatex">\(amt + 1\)</span> ，若是则返回 <span class="arithmatex">\(-1\)</span> ，代表无法凑出目标金额。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="4:11"><input checked="checked" id="__tabbed_4_1" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_2" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_3" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_4" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_5" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_6" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_7" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_8" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_9" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_10" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_11" name="__tabbed_4" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_4_1">Java</label><label for="__tabbed_4_2">C++</label><label for="__tabbed_4_3">Python</label><label for="__tabbed_4_4">Go</label><label for="__tabbed_4_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_4_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_4_7">C</label><label for="__tabbed_4_8">C#</label><label for="__tabbed_4_9">Swift</label><label for="__tabbed_4_10">Zig</label><label for="__tabbed_4_11">Dart</label></div>
@@ -3957,6 +4110,7 @@ dp[i, a] = \min(dp[i-1, a], dp[i, a - coins[i-1]] + 1)
 </div>
 </div>
 </div>
+<h3 id="_4">状态压缩<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>由于零钱兑换和完全背包的状态转移方程如出一辙，因此状态压缩方式也相同。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="6:11"><input checked="checked" id="__tabbed_6_1" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_2" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_3" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_4" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_5" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_6" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_7" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_8" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_9" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_10" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_11" name="__tabbed_6" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_6_1">Java</label><label for="__tabbed_6_2">C++</label><label for="__tabbed_6_3">Python</label><label for="__tabbed_6_4">Go</label><label for="__tabbed_6_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_6_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_6_7">C</label><label for="__tabbed_6_8">C#</label><label for="__tabbed_6_9">Swift</label><label for="__tabbed_6_10">Zig</label><label for="__tabbed_6_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
@@ -4144,6 +4298,7 @@ dp[i, a] = \min(dp[i-1, a], dp[i, a - coins[i-1]] + 1)
 dp[i, a] = dp[i-1, a] + dp[i, a - coins[i-1]]
 \]</div>
 <p>当目标金额为 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 时，无需选择任何硬币即可凑出目标金额，因此应将所有 <span class="arithmatex">\(dp[i, 0]\)</span> 都初始化为 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 。当无硬币时，无法凑出任何 <span class="arithmatex">\(&gt;0\)</span> 的目标金额，因此所有 <span class="arithmatex">\(dp[0, a]\)</span> 都等于 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 。</p>
+<h3 id="_5">代码实现<a class="headerlink" href="#_5" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="7:11"><input checked="checked" id="__tabbed_7_1" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_2" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_3" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_4" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_5" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_6" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_7" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_8" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_9" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_10" name="__tabbed_7" type="radio" /><input id="__tabbed_7_11" name="__tabbed_7" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_7_1">Java</label><label for="__tabbed_7_2">C++</label><label for="__tabbed_7_3">Python</label><label for="__tabbed_7_4">Go</label><label for="__tabbed_7_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_7_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_7_7">C</label><label for="__tabbed_7_8">C#</label><label for="__tabbed_7_9">Swift</label><label for="__tabbed_7_10">Zig</label><label for="__tabbed_7_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -4319,6 +4474,7 @@ dp[i, a] = dp[i-1, a] + dp[i, a - coins[i-1]]
 </div>
 </div>
 </div>
+<h3 id="_6">状态压缩<a class="headerlink" href="#_6" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>状态压缩处理方式相同，删除硬币维度即可。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="8:11"><input checked="checked" id="__tabbed_8_1" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_2" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_3" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_4" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_5" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_6" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_7" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_8" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_9" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_10" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_11" name="__tabbed_8" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_8_1">Java</label><label for="__tabbed_8_2">C++</label><label for="__tabbed_8_3">Python</label><label for="__tabbed_8_4">Go</label><label for="__tabbed_8_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_8_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_8_7">C</label><label for="__tabbed_8_8">C#</label><label for="__tabbed_8_9">Swift</label><label for="__tabbed_8_10">Zig</label><label for="__tabbed_8_11">Dart</label></div>
 <div class="tabbed-content">