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+comments: true
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+# 9.1 &nbsp; 圖
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+<u>圖（graph）</u>是一種非線性資料結構，由<u>頂點（vertex）</u>和<u>邊（edge）</u>組成。我們可以將圖 $G$ 抽象地表示為一組頂點 $V$ 和一組邊 $E$ 的集合。以下示例展示了一個包含 5 個頂點和 7 條邊的圖。
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+$$
+\begin{aligned}
+V & = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \newline
+E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline
+G & = \{ V, E \} \newline
+\end{aligned}
+$$
+
+如果將頂點看作節點，將邊看作連線各個節點的引用（指標），我們就可以將圖看作一種從鏈結串列拓展而來的資料結構。如圖 9-1 所示，**相較於線性關係（鏈結串列）和分治關係（樹），網路關係（圖）的自由度更高**，因而更為複雜。
+
+![鏈結串列、樹、圖之間的關係](graph.assets/linkedlist_tree_graph.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 9-1 &nbsp; 鏈結串列、樹、圖之間的關係 </p>
+
+## 9.1.1 &nbsp; 圖的常見型別與術語
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+根據邊是否具有方向，可分為<u>無向圖（undirected graph）</u>和<u>有向圖（directed graph）</u>，如圖 9-2 所示。
+
+- 在無向圖中，邊表示兩頂點之間的“雙向”連線關係，例如微信或 QQ 中的“好友關係”。
+- 在有向圖中，邊具有方向性，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 兩個方向的邊是相互獨立的，例如微博或抖音上的“關注”與“被關注”關係。
+
+![有向圖與無向圖](graph.assets/directed_graph.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 9-2 &nbsp; 有向圖與無向圖 </p>
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+根據所有頂點是否連通，可分為<u>連通圖（connected graph）</u>和<u>非連通圖（disconnected graph）</u>，如圖 9-3 所示。
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+- 對於連通圖，從某個頂點出發，可以到達其餘任意頂點。
+- 對於非連通圖，從某個頂點出發，至少有一個頂點無法到達。
+
+![連通圖與非連通圖](graph.assets/connected_graph.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 9-3 &nbsp; 連通圖與非連通圖 </p>
+
+我們還可以為邊新增“權重”變數，從而得到如圖 9-4 所示的<u>有權圖（weighted graph）</u>。例如在《王者榮耀》等手遊中，系統會根據共同遊戲時間來計算玩家之間的“親密度”，這種親密度網路就可以用有權圖來表示。
+
+![有權圖與無權圖](graph.assets/weighted_graph.png){ class="animation-figure" }
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+<p align="center"> 圖 9-4 &nbsp; 有權圖與無權圖 </p>
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+圖資料結構包含以下常用術語。
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+- <u>鄰接（adjacency）</u>：當兩頂點之間存在邊相連時，稱這兩頂點“鄰接”。在圖 9-4 中，頂點 1 的鄰接頂點為頂點 2、3、5。
+- <u>路徑（path）</u>：從頂點 A 到頂點 B 經過的邊構成的序列被稱為從 A 到 B 的“路徑”。在圖 9-4 中，邊序列 1-5-2-4 是頂點 1 到頂點 4 的一條路徑。
+- <u>度（degree）</u>：一個頂點擁有的邊數。對於有向圖，<u>入度（in-degree）</u>表示有多少條邊指向該頂點，<u>出度（out-degree）</u>表示有多少條邊從該頂點指出。
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+## 9.1.2 &nbsp; 圖的表示
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+圖的常用表示方式包括“鄰接矩陣”和“鄰接表”。以下使用無向圖進行舉例。
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+### 1. &nbsp; 鄰接矩陣
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+設圖的頂點數量為 $n$ ，<u>鄰接矩陣（adjacency matrix）</u>使用一個 $n \times n$ 大小的矩陣來表示圖，每一行（列）代表一個頂點，矩陣元素代表邊，用 $1$ 或 $0$ 表示兩個頂點之間是否存在邊。
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+如圖 9-5 所示，設鄰接矩陣為 $M$、頂點串列為 $V$ ，那麼矩陣元素 $M[i, j] = 1$ 表示頂點 $V[i]$ 到頂點 $V[j]$ 之間存在邊，反之 $M[i, j] = 0$ 表示兩頂點之間無邊。
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+![圖的鄰接矩陣表示](graph.assets/adjacency_matrix.png){ class="animation-figure" }
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+<p align="center"> 圖 9-5 &nbsp; 圖的鄰接矩陣表示 </p>
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+鄰接矩陣具有以下特性。
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+- 頂點不能與自身相連，因此鄰接矩陣主對角線元素沒有意義。
+- 對於無向圖，兩個方向的邊等價，此時鄰接矩陣關於主對角線對稱。
+- 將鄰接矩陣的元素從 $1$ 和 $0$ 替換為權重，則可表示有權圖。
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+使用鄰接矩陣表示圖時，我們可以直接訪問矩陣元素以獲取邊，因此增刪查改操作的效率很高，時間複雜度均為 $O(1)$ 。然而，矩陣的空間複雜度為 $O(n^2)$ ，記憶體佔用較多。
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+### 2. &nbsp; 鄰接表
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+<u>鄰接表（adjacency list）</u>使用 $n$ 個鏈結串列來表示圖，鏈結串列節點表示頂點。第 $i$ 個鏈結串列對應頂點 $i$ ，其中儲存了該頂點的所有鄰接頂點（與該頂點相連的頂點）。圖 9-6 展示了一個使用鄰接表儲存的圖的示例。
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+![圖的鄰接表表示](graph.assets/adjacency_list.png){ class="animation-figure" }
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+<p align="center"> 圖 9-6 &nbsp; 圖的鄰接表表示 </p>
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+鄰接表僅儲存實際存在的邊，而邊的總數通常遠小於 $n^2$ ，因此它更加節省空間。然而，在鄰接表中需要透過走訪鏈結串列來查詢邊，因此其時間效率不如鄰接矩陣。
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+觀察圖 9-6 ，**鄰接表結構與雜湊表中的“鏈式位址”非常相似，因此我們也可以採用類似的方法來最佳化效率**。比如當鏈結串列較長時，可以將鏈結串列轉化為 AVL 樹或紅黑樹，從而將時間效率從 $O(n)$ 最佳化至 $O(\log n)$ ；還可以把鏈結串列轉換為雜湊表，從而將時間複雜度降至 $O(1)$ 。
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+## 9.1.3 &nbsp; 圖的常見應用
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+如表 9-1 所示，許多現實系統可以用圖來建模，相應的問題也可以約化為圖計算問題。
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+<p align="center"> 表 9-1 &nbsp; 現實生活中常見的圖 </p>
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+<div class="center-table" markdown>
+
+|          | 頂點 | 邊                   | 圖計算問題   |
+| -------- | ---- | -------------------- | ------------ |
+| 社交網路 | 使用者 | 好友關係             | 潛在好友推薦 |
+| 地鐵線路 | 站點 | 站點間的連通性       | 最短路線推薦 |
+| 太陽系   | 星體 | 星體間的萬有引力作用 | 行星軌道計算 |
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+</div>
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+comments: true
+icon: material/graphql
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+# 第 9 章 &nbsp; 圖
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+![圖](../assets/covers/chapter_graph.jpg){ class="cover-image" }
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+!!! abstract
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+    在生命旅途中，我們就像是一個個節點，被無數看不見的邊相連。
+    
+    每一次的相識與相離，都在這張巨大的網路圖中留下獨特的印記。
+
+## Chapter Contents
+
+- [9.1 &nbsp; 圖](https://www.hello-algo.com/en/chapter_graph/graph/)
+- [9.2 &nbsp; 圖基礎操作](https://www.hello-algo.com/en/chapter_graph/graph_operations/)
+- [9.3 &nbsp; 圖的走訪](https://www.hello-algo.com/en/chapter_graph/graph_traversal/)
+- [9.4 &nbsp; 小結](https://www.hello-algo.com/en/chapter_graph/summary/)
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+comments: true
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+# 9.4 &nbsp; 小結
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+### 1. &nbsp; 重點回顧
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+- 圖由頂點和邊組成，可以表示為一組頂點和一組邊構成的集合。
+- 相較於線性關係（鏈結串列）和分治關係（樹），網路關係（圖）具有更高的自由度，因而更為複雜。
+- 有向圖的邊具有方向性，連通圖中的任意頂點均可達，有權圖的每條邊都包含權重變數。
+- 鄰接矩陣利用矩陣來表示圖，每一行（列）代表一個頂點，矩陣元素代表邊，用 $1$ 或 $0$ 表示兩個頂點之間有邊或無邊。鄰接矩陣在增刪查改操作上效率很高，但空間佔用較多。
+- 鄰接表使用多個鏈結串列來表示圖，第 $i$ 個鏈結串列對應頂點 $i$ ，其中儲存了該頂點的所有鄰接頂點。鄰接表相對於鄰接矩陣更加節省空間，但由於需要走訪鏈結串列來查詢邊，因此時間效率較低。
+- 當鄰接表中的鏈結串列過長時，可以將其轉換為紅黑樹或雜湊表，從而提升查詢效率。
+- 從演算法思想的角度分析，鄰接矩陣體現了“以空間換時間”，鄰接表體現了“以時間換空間”。
+- 圖可用於建模各類現實系統，如社交網路、地鐵線路等。
+- 樹是圖的一種特例，樹的走訪也是圖的走訪的一種特例。
+- 圖的廣度優先走訪是一種由近及遠、層層擴張的搜尋方式，通常藉助佇列實現。
+- 圖的深度優先走訪是一種優先走到底、無路可走時再回溯的搜尋方式，常基於遞迴來實現。
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+### 2. &nbsp; Q & A
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+**Q**：路徑的定義是頂點序列還是邊序列？
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+維基百科上不同語言版本的定義不一致：英文版是“路徑是一個邊序列”，而中文版是“路徑是一個頂點序列”。以下是英文版原文：In graph theory, a path in a graph is a finite or infinite sequence of edges which joins a sequence of vertices.
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+在本文中，路徑被視為一個邊序列，而不是一個頂點序列。這是因為兩個頂點之間可能存在多條邊連線，此時每條邊都對應一條路徑。
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+**Q**：非連通圖中是否會有無法走訪到的點？
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+在非連通圖中，從某個頂點出發，至少有一個頂點無法到達。走訪非連通圖需要設定多個起點，以走訪到圖的所有連通分量。
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+**Q**：在鄰接表中，“與該頂點相連的所有頂點”的頂點順序是否有要求？
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+可以是任意順序。但在實際應用中，可能需要按照指定規則來排序，比如按照頂點新增的次序，或者按照頂點值大小的順序等，這樣有助於快速查詢“帶有某種極值”的頂點。