build

2026-08-15 21:20:58 +00:00 · 2024-04-06 03:02:20 +08:00
parent 0a9daa8b9f
commit 8d37c215c8
148 changed files with 70398 additions and 408 deletions
@@ -0,0 +1,688 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 7.1 &nbsp; 二元樹
+
+<u>二元樹（binary tree）</u>是一種非線性資料結構，代表“祖先”與“後代”之間的派生關係，體現了“一分為二”的分治邏輯。與鏈結串列類似，二元樹的基本單元是節點，每個節點包含值、左子節點引用和右子節點引用。
+
+=== "Python"
+
+    ```python title=""
+    class TreeNode:
+        """二元樹節點類別"""
+        def __init__(self, val: int):
+            self.val: int = val                # 節點值
+            self.left: TreeNode | None = None  # 左子節點引用
+            self.right: TreeNode | None = None # 右子節點引用
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title=""
+    /* 二元樹節點結構體 */
+    struct TreeNode {
+        int val;          // 節點值
+        TreeNode *left;   // 左子節點指標
+        TreeNode *right;  // 右子節點指標
+        TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
+    };
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title=""
+    /* 二元樹節點類別 */
+    class TreeNode {
+        int val;         // 節點值
+        TreeNode left;   // 左子節點引用
+        TreeNode right;  // 右子節點引用
+        TreeNode(int x) { val = x; }
+    }
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title=""
+    /* 二元樹節點類別 */
+    class TreeNode(int? x) {
+        public int? val = x;    // 節點值
+        public TreeNode? left;  // 左子節點引用
+        public TreeNode? right; // 右子節點引用
+    }
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title=""
+    /* 二元樹節點結構體 */
+    type TreeNode struct {
+        Val   int
+        Left  *TreeNode
+        Right *TreeNode
+    }
+    /* 建構子 */
+    func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
+        return &TreeNode{
+            Left:  nil, // 左子節點指標
+            Right: nil, // 右子節點指標
+            Val:   v,   // 節點值
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title=""
+    /* 二元樹節點類別 */
+    class TreeNode {
+        var val: Int // 節點值
+        var left: TreeNode? // 左子節點引用
+        var right: TreeNode? // 右子節點引用
+
+        init(x: Int) {
+            val = x
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title=""
+    /* 二元樹節點類別 */
+    class TreeNode {
+        val; // 節點值
+        left; // 左子節點指標
+        right; // 右子節點指標
+        constructor(val, left, right) {
+            this.val = val === undefined ? 0 : val;
+            this.left = left === undefined ? null : left;
+            this.right = right === undefined ? null : right;
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title=""
+    /* 二元樹節點類別 */
+    class TreeNode {
+        val: number;
+        left: TreeNode | null;
+        right: TreeNode | null;
+    
+        constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
+            this.val = val === undefined ? 0 : val; // 節點值
+            this.left = left === undefined ? null : left; // 左子節點引用
+            this.right = right === undefined ? null : right; // 右子節點引用
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title=""
+    /* 二元樹節點類別 */
+    class TreeNode {
+      int val;         // 節點值
+      TreeNode? left;  // 左子節點引用
+      TreeNode? right; // 右子節點引用
+      TreeNode(this.val, [this.left, this.right]);
+    }
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title=""
+    use std::rc::Rc;
+    use std::cell::RefCell;
+
+    /* 二元樹節點結構體 */
+    struct TreeNode {
+        val: i32,                               // 節點值
+        left: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,    // 左子節點引用
+        right: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,   // 右子節點引用
+    }
+
+    impl TreeNode {
+        /* 建構子 */
+        fn new(val: i32) -> Rc<RefCell<Self>> {
+            Rc::new(RefCell::new(Self {
+                val,
+                left: None,
+                right: None
+            }))
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title=""
+    /* 二元樹節點結構體 */
+    typedef struct TreeNode {
+        int val;                // 節點值
+        int height;             // 節點高度
+        struct TreeNode *left;  // 左子節點指標
+        struct TreeNode *right; // 右子節點指標
+    } TreeNode;
+
+    /* 建構子 */
+    TreeNode *newTreeNode(int val) {
+        TreeNode *node;
+
+        node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
+        node->val = val;
+        node->height = 0;
+        node->left = NULL;
+        node->right = NULL;
+        return node;
+    }
+    ```
+
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title=""
+    /* 二元樹節點類別 */
+    class TreeNode(val _val: Int) {  // 節點值
+        val left: TreeNode? = null   // 左子節點引用
+        val right: TreeNode? = null  // 右子節點引用
+    }
+    ```
+
+=== "Ruby"
+
+    ```ruby title=""
+
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title=""
+
+    ```
+
+每個節點都有兩個引用（指標），分別指向<u>左子節點（left-child node）</u>和<u>右子節點（right-child node）</u>，該節點被稱為這兩個子節點的<u>父節點（parent node）</u>。當給定一個二元樹的節點時，我們將該節點的左子節點及其以下節點形成的樹稱為該節點的<u>左子樹（left subtree）</u>，同理可得<u>右子樹（right subtree）</u>。
+
+**在二元樹中，除葉節點外，其他所有節點都包含子節點和非空子樹**。如圖 7-1 所示，如果將“節點 2”視為父節點，則其左子節點和右子節點分別是“節點 4”和“節點 5”，左子樹是“節點 4 及其以下節點形成的樹”，右子樹是“節點 5 及其以下節點形成的樹”。
+
+![父節點、子節點、子樹](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 7-1 &nbsp; 父節點、子節點、子樹 </p>
+
+## 7.1.1 &nbsp; 二元樹常見術語
+
+二元樹的常用術語如圖 7-2 所示。
+
+- <u>根節點（root node）</u>：位於二元樹頂層的節點，沒有父節點。
+- <u>葉節點（leaf node）</u>：沒有子節點的節點，其兩個指標均指向 `None` 。
+- <u>邊（edge）</u>：連線兩個節點的線段，即節點引用（指標）。
+- 節點所在的<u>層（level）</u>：從頂至底遞增，根節點所在層為 1 。
+- 節點的<u>度（degree）</u>：節點的子節點的數量。在二元樹中，度的取值範圍是 0、1、2 。
+- 二元樹的<u>高度（height）</u>：從根節點到最遠葉節點所經過的邊的數量。
+- 節點的<u>深度（depth）</u>：從根節點到該節點所經過的邊的數量。
+- 節點的<u>高度（height）</u>：從距離該節點最遠的葉節點到該節點所經過的邊的數量。
+
+![二元樹的常用術語](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 7-2 &nbsp; 二元樹的常用術語 </p>
+
+!!! tip
+
+    請注意，我們通常將“高度”和“深度”定義為“經過的邊的數量”，但有些題目或教材可能會將其定義為“經過的節點的數量”。在這種情況下，高度和深度都需要加 1 。
+
+## 7.1.2 &nbsp; 二元樹基本操作
+
+### 1. &nbsp; 初始化二元樹
+
+與鏈結串列類似，首先初始化節點，然後構建引用（指標）。
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_tree.py"
+    # 初始化二元樹
+    # 初始化節點
+    n1 = TreeNode(val=1)
+    n2 = TreeNode(val=2)
+    n3 = TreeNode(val=3)
+    n4 = TreeNode(val=4)
+    n5 = TreeNode(val=5)
+    # 構建節點之間的引用（指標）
+    n1.left = n2
+    n1.right = n3
+    n2.left = n4
+    n2.right = n5
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_tree.cpp"
+    /* 初始化二元樹 */
+    // 初始化節點
+    TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
+    TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
+    TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
+    TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
+    TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
+    // 構建節點之間的引用（指標）
+    n1->left = n2;
+    n1->right = n3;
+    n2->left = n4;
+    n2->right = n5;
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_tree.java"
+    // 初始化節點
+    TreeNode n1 = new TreeNode(1);
+    TreeNode n2 = new TreeNode(2);
+    TreeNode n3 = new TreeNode(3);
+    TreeNode n4 = new TreeNode(4);
+    TreeNode n5 = new TreeNode(5);
+    // 構建節點之間的引用（指標）
+    n1.left = n2;
+    n1.right = n3;
+    n2.left = n4;
+    n2.right = n5;
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_tree.cs"
+    /* 初始化二元樹 */
+    // 初始化節點
+    TreeNode n1 = new(1);
+    TreeNode n2 = new(2);
+    TreeNode n3 = new(3);
+    TreeNode n4 = new(4);
+    TreeNode n5 = new(5);
+    // 構建節點之間的引用（指標）
+    n1.left = n2;
+    n1.right = n3;
+    n2.left = n4;
+    n2.right = n5;
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_tree.go"
+    /* 初始化二元樹 */
+    // 初始化節點
+    n1 := NewTreeNode(1)
+    n2 := NewTreeNode(2)
+    n3 := NewTreeNode(3)
+    n4 := NewTreeNode(4)
+    n5 := NewTreeNode(5)
+    // 構建節點之間的引用（指標）
+    n1.Left = n2
+    n1.Right = n3
+    n2.Left = n4
+    n2.Right = n5
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_tree.swift"
+    // 初始化節點
+    let n1 = TreeNode(x: 1)
+    let n2 = TreeNode(x: 2)
+    let n3 = TreeNode(x: 3)
+    let n4 = TreeNode(x: 4)
+    let n5 = TreeNode(x: 5)
+    // 構建節點之間的引用（指標）
+    n1.left = n2
+    n1.right = n3
+    n2.left = n4
+    n2.right = n5
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="binary_tree.js"
+    /* 初始化二元樹 */
+    // 初始化節點
+    let n1 = new TreeNode(1),
+        n2 = new TreeNode(2),
+        n3 = new TreeNode(3),
+        n4 = new TreeNode(4),
+        n5 = new TreeNode(5);
+    // 構建節點之間的引用（指標）
+    n1.left = n2;
+    n1.right = n3;
+    n2.left = n4;
+    n2.right = n5;
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="binary_tree.ts"
+    /* 初始化二元樹 */
+    // 初始化節點
+    let n1 = new TreeNode(1),
+        n2 = new TreeNode(2),
+        n3 = new TreeNode(3),
+        n4 = new TreeNode(4),
+        n5 = new TreeNode(5);
+    // 構建節點之間的引用（指標）
+    n1.left = n2;
+    n1.right = n3;
+    n2.left = n4;
+    n2.right = n5;
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="binary_tree.dart"
+    /* 初始化二元樹 */
+    // 初始化節點
+    TreeNode n1 = new TreeNode(1);
+    TreeNode n2 = new TreeNode(2);
+    TreeNode n3 = new TreeNode(3);
+    TreeNode n4 = new TreeNode(4);
+    TreeNode n5 = new TreeNode(5);
+    // 構建節點之間的引用（指標）
+    n1.left = n2;
+    n1.right = n3;
+    n2.left = n4;
+    n2.right = n5;
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="binary_tree.rs"
+    // 初始化節點
+    let n1 = TreeNode::new(1);
+    let n2 = TreeNode::new(2);
+    let n3 = TreeNode::new(3);
+    let n4 = TreeNode::new(4);
+    let n5 = TreeNode::new(5);
+    // 構建節點之間的引用（指標）
+    n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
+    n1.borrow_mut().right = Some(n3);
+    n2.borrow_mut().left = Some(n4);
+    n2.borrow_mut().right = Some(n5);
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_tree.c"
+    /* 初始化二元樹 */
+    // 初始化節點
+    TreeNode *n1 = newTreeNode(1);
+    TreeNode *n2 = newTreeNode(2);
+    TreeNode *n3 = newTreeNode(3);
+    TreeNode *n4 = newTreeNode(4);
+    TreeNode *n5 = newTreeNode(5);
+    // 構建節點之間的引用（指標）
+    n1->left = n2;
+    n1->right = n3;
+    n2->left = n4;
+    n2->right = n5;
+    ```
+
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="binary_tree.kt"
+    // 初始化節點
+    val n1 = TreeNode(1)
+    val n2 = TreeNode(2)
+    val n3 = TreeNode(3)
+    val n4 = TreeNode(4)
+    val n5 = TreeNode(5)
+    // 構建節點之間的引用（指標）
+    n1.left = n2
+    n1.right = n3
+    n2.left = n4
+    n2.right = n5
+    ```
+
+=== "Ruby"
+
+    ```ruby title="binary_tree.rb"
+
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_tree.zig"
+
+    ```
+
+??? pythontutor "視覺化執行"
+
+    <div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9E%84%E5%BB%BA%E8%8A%82%E7%82%B9%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%EF%BC%88%E6%8C%87%E9%92%88%EF%BC%89%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
+    <div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9E%84%E5%BB%BA%E8%8A%82%E7%82%B9%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%EF%BC%88%E6%8C%87%E9%92%88%EF%BC%89%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
+
+### 2. &nbsp; 插入與刪除節點
+
+與鏈結串列類似，在二元樹中插入與刪除節點可以透過修改指標來實現。圖 7-3 給出了一個示例。
+
+![在二元樹中插入與刪除節點](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 7-3 &nbsp; 在二元樹中插入與刪除節點 </p>
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_tree.py"
+    # 插入與刪除節點
+    p = TreeNode(0)
+    # 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
+    n1.left = p
+    p.left = n2
+    # 刪除節點 P
+    n1.left = n2
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_tree.cpp"
+    /* 插入與刪除節點 */
+    TreeNode* P = new TreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
+    n1->left = P;
+    P->left = n2;
+    // 刪除節點 P
+    n1->left = n2;
+    ```
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_tree.java"
+    TreeNode P = new TreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
+    n1.left = P;
+    P.left = n2;
+    // 刪除節點 P
+    n1.left = n2;
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_tree.cs"
+    /* 插入與刪除節點 */
+    TreeNode P = new(0);
+    // 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
+    n1.left = P;
+    P.left = n2;
+    // 刪除節點 P
+    n1.left = n2;
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_tree.go"
+    /* 插入與刪除節點 */
+    // 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
+    p := NewTreeNode(0)
+    n1.Left = p
+    p.Left = n2
+    // 刪除節點 P
+    n1.Left = n2
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_tree.swift"
+    let P = TreeNode(x: 0)
+    // 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
+    n1.left = P
+    P.left = n2
+    // 刪除節點 P
+    n1.left = n2
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="binary_tree.js"
+    /* 插入與刪除節點 */
+    let P = new TreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
+    n1.left = P;
+    P.left = n2;
+    // 刪除節點 P
+    n1.left = n2;
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="binary_tree.ts"
+    /* 插入與刪除節點 */
+    const P = new TreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
+    n1.left = P;
+    P.left = n2;
+    // 刪除節點 P
+    n1.left = n2;
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="binary_tree.dart"
+    /* 插入與刪除節點 */
+    TreeNode P = new TreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
+    n1.left = P;
+    P.left = n2;
+    // 刪除節點 P
+    n1.left = n2;
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="binary_tree.rs"
+    let p = TreeNode::new(0);
+    // 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
+    n1.borrow_mut().left = Some(p.clone());
+    p.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
+    // 刪除節點 p
+    n1.borrow_mut().left = Some(n2);
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_tree.c"
+    /* 插入與刪除節點 */
+    TreeNode *P = newTreeNode(0);
+    // 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
+    n1->left = P;
+    P->left = n2;
+    // 刪除節點 P
+    n1->left = n2;
+    ```
+
+=== "Kotlin"
+
+    ```kotlin title="binary_tree.kt"
+    val P = TreeNode(0)
+    // 在 n1 -> n2 中間插入節點 P
+    n1.left = P
+    P.left = n2
+    // 刪除節點 P
+    n1.left = n2
+    ```
+
+=== "Ruby"
+
+    ```ruby title="binary_tree.rb"
+
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_tree.zig"
+
+    ```
+
+??? pythontutor "視覺化執行"
+
+    <div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9E%84%E5%BB%BA%E8%8A%82%E7%82%B9%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%EF%BC%88%E6%8C%87%E9%92%88%EF%BC%89%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%B8%8E%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20p%20%3D%20TreeNode%280%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%20n1%20-%3E%20n2%20%E4%B8%AD%E9%97%B4%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20p%0A%20%20%20%20p.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=37&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
+    <div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9E%84%E5%BB%BA%E8%8A%82%E7%82%B9%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%EF%BC%88%E6%8C%87%E9%92%88%EF%BC%89%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%B8%8E%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20p%20%3D%20TreeNode%280%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%20n1%20-%3E%20n2%20%E4%B8%AD%E9%97%B4%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20p%0A%20%20%20%20p.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=37&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
+
+!!! note
+
+    需要注意的是，插入節點可能會改變二元樹的原有邏輯結構，而刪除節點通常意味著刪除該節點及其所有子樹。因此，在二元樹中，插入與刪除通常是由一套操作配合完成的，以實現有實際意義的操作。
+
+## 7.1.3 &nbsp; 常見二元樹型別
+
+### 1. &nbsp; 完美二元樹
+
+如圖 7-4 所示，<u>完美二元樹（perfect binary tree）</u>所有層的節點都被完全填滿。在完美二元樹中，葉節點的度為 $0$ ，其餘所有節點的度都為 $2$ ；若樹的高度為 $h$ ，則節點總數為 $2^{h+1} - 1$ ，呈現標準的指數級關係，反映了自然界中常見的細胞分裂現象。
+
+!!! tip
+
+    請注意，在中文社群中，完美二元樹常被稱為<u>滿二元樹</u>。
+
+![完美二元樹](binary_tree.assets/perfect_binary_tree.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 7-4 &nbsp; 完美二元樹 </p>
+
+### 2. &nbsp; 完全二元樹
+
+如圖 7-5 所示，<u>完全二元樹（complete binary tree）</u>只有最底層的節點未被填滿，且最底層節點儘量靠左填充。
+
+![完全二元樹](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 7-5 &nbsp; 完全二元樹 </p>
+
+### 3. &nbsp; 完滿二元樹
+
+如圖 7-6 所示，<u>完滿二元樹（full binary tree）</u>除了葉節點之外，其餘所有節點都有兩個子節點。
+
+![完滿二元樹](binary_tree.assets/full_binary_tree.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 7-6 &nbsp; 完滿二元樹 </p>
+
+### 4. &nbsp; 平衡二元樹
+
+如圖 7-7 所示，<u>平衡二元樹（balanced binary tree）</u>中任意節點的左子樹和右子樹的高度之差的絕對值不超過 1 。
+
+![平衡二元樹](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 7-7 &nbsp; 平衡二元樹 </p>
+
+## 7.1.4 &nbsp; 二元樹的退化
+
+圖 7-8 展示了二元樹的理想結構與退化結構。當二元樹的每層節點都被填滿時，達到“完美二元樹”；而當所有節點都偏向一側時，二元樹退化為“鏈結串列”。
+
+- 完美二元樹是理想情況，可以充分發揮二元樹“分治”的優勢。
+- 鏈結串列則是另一個極端，各項操作都變為線性操作，時間複雜度退化至 $O(n)$ 。
+
+![二元樹的最佳結構與最差結構](binary_tree.assets/binary_tree_best_worst_cases.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> 圖 7-8 &nbsp; 二元樹的最佳結構與最差結構 </p>
+
+如表 7-1 所示，在最佳結構和最差結構下，二元樹的葉節點數量、節點總數、高度等達到極大值或極小值。
+
+<p align="center"> 表 7-1 &nbsp; 二元樹的最佳結構與最差結構 </p>
+
+<div class="center-table" markdown>
+
+|                             | 完美二元樹         | 鏈結串列    |
+| --------------------------- | ------------------ | ------- |
+| 第 $i$ 層的節點數量         | $2^{i-1}$          | $1$     |
+| 高度為 $h$ 的樹的葉節點數量 | $2^h$              | $1$     |
+| 高度為 $h$ 的樹的節點總數   | $2^{h+1} - 1$      | $h + 1$ |
+| 節點總數為 $n$ 的樹的高度   | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |
+
+</div>
@@ -0,0 +1,23 @@
+---
+comments: true
+icon: material/graph-outline
+---
+
+# 第 7 章 &nbsp; 樹
+
+![樹](../assets/covers/chapter_tree.jpg){ class="cover-image" }
+
+!!! abstract
+
+    參天大樹充滿生命力，根深葉茂，分枝扶疏。
+    
+    它為我們展現了資料分治的生動形態。
+
+## Chapter Contents
+
+- [7.1 &nbsp; 二元樹](https://www.hello-algo.com/en/chapter_tree/binary_tree/)
+- [7.2 &nbsp; 二元樹走訪](https://www.hello-algo.com/en/chapter_tree/binary_tree_traversal/)
+- [7.3 &nbsp; 二元樹陣列表示](https://www.hello-algo.com/en/chapter_tree/array_representation_of_tree/)
+- [7.4 &nbsp; 二元搜尋樹](https://www.hello-algo.com/en/chapter_tree/binary_search_tree/)
+- [7.5 &nbsp; AVL *](https://www.hello-algo.com/en/chapter_tree/avl_tree/)
+- [7.6 &nbsp; 小結](https://www.hello-algo.com/en/chapter_tree/summary/)
@@ -0,0 +1,58 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 7.6 &nbsp; 小結
+
+### 1. &nbsp; 重點回顧
+
+- 二元樹是一種非線性資料結構，體現“一分為二”的分治邏輯。每個二元樹節點包含一個值以及兩個指標，分別指向其左子節點和右子節點。
+- 對於二元樹中的某個節點，其左（右）子節點及其以下形成的樹被稱為該節點的左（右）子樹。
+- 二元樹的相關術語包括根節點、葉節點、層、度、邊、高度和深度等。
+- 二元樹的初始化、節點插入和節點刪除操作與鏈結串列操作方法類似。
+- 常見的二元樹型別有完美二元樹、完全二元樹、完滿二元樹和平衡二元樹。完美二元樹是最理想的狀態，而鏈結串列是退化後的最差狀態。
+- 二元樹可以用陣列表示，方法是將節點值和空位按層序走訪順序排列，並根據父節點與子節點之間的索引對映關係來實現指標。
+- 二元樹的層序走訪是一種廣度優先搜尋方法，它體現了“一圈一圈向外擴展”的逐層走訪方式，通常透過佇列來實現。
+- 前序、中序、後序走訪皆屬於深度優先搜尋，它們體現了“先走到盡頭，再回溯繼續”的走訪方式，通常使用遞迴來實現。
+- 二元搜尋樹是一種高效的元素查詢資料結構，其查詢、插入和刪除操作的時間複雜度均為 $O(\log n)$ 。當二元搜尋樹退化為鏈結串列時，各項時間複雜度會劣化至 $O(n)$ 。
+- AVL 樹，也稱平衡二元搜尋樹，它透過旋轉操作確保在不斷插入和刪除節點後樹仍然保持平衡。
+- AVL 樹的旋轉操作包括右旋、左旋、先右旋再左旋、先左旋再右旋。在插入或刪除節點後，AVL 樹會從底向頂執行旋轉操作，使樹重新恢復平衡。
+
+### 2. &nbsp; Q & A
+
+**Q**：對於只有一個節點的二元樹，樹的高度和根節點的深度都是 $0$ 嗎？
+
+是的，因為高度和深度通常定義為“經過的邊的數量”。
+
+**Q**：二元樹中的插入與刪除一般由一套操作配合完成，這裡的“一套操作”指什麼呢？可以理解為資源的子節點的資源釋放嗎？
+
+拿二元搜尋樹來舉例，刪除節點操作要分三種情況處理，其中每種情況都需要進行多個步驟的節點操作。
+
+**Q**：為什麼 DFS 走訪二元樹有前、中、後三種順序，分別有什麼用呢？
+
+與順序和逆序走訪陣列類似，前序、中序、後序走訪是三種二元樹走訪方法，我們可以使用它們得到一個特定順序的走訪結果。例如在二元搜尋樹中，由於節點大小滿足 `左子節點值 < 根節點值 < 右子節點值` ，因此我們只要按照“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的優先順序走訪樹，就可以獲得有序的節點序列。
+
+**Q**：右旋操作是處理失衡節點 `node`、`child`、`grand_child` 之間的關係，那 `node` 的父節點和 `node` 原來的連線不需要維護嗎？右旋操作後豈不是斷掉了？
+
+我們需要從遞迴的視角來看這個問題。右旋操作 `right_rotate(root)` 傳入的是子樹的根節點，最終 `return child` 返回旋轉之後的子樹的根節點。子樹的根節點和其父節點的連線是在該函式返回後完成的，不屬於右旋操作的維護範圍。
+
+**Q**：在 C++ 中，函式被劃分到 `private` 和 `public` 中，這方面有什麼考量嗎？為什麼要將 `height()` 函式和 `updateHeight()` 函式分別放在 `public` 和 `private` 中呢？
+
+主要看方法的使用範圍，如果方法只在類別內部使用，那麼就設計為 `private` 。例如，使用者單獨呼叫 `updateHeight()` 是沒有意義的，它只是插入、刪除操作中的一步。而 `height()` 是訪問節點高度，類似於 `vector.size()` ，因此設定成 `public` 以便使用。
+
+**Q**：如何從一組輸入資料構建一棵二元搜尋樹？根節點的選擇是不是很重要？
+
+是的，構建樹的方法已在二元搜尋樹程式碼中的 `build_tree()` 方法中給出。至於根節點的選擇，我們通常會將輸入資料排序，然後將中點元素作為根節點，再遞迴地構建左右子樹。這樣做可以最大程度保證樹的平衡性。
+
+**Q**：在 Java 中，字串對比是否一定要用 `equals()` 方法？
+
+在 Java 中，對於基本資料型別，`==` 用於對比兩個變數的值是否相等。對於引用型別，兩種符號的工作原理是不同的。
+
+- `==` ：用來比較兩個變數是否指向同一個物件，即它們在記憶體中的位置是否相同。
+- `equals()`：用來對比兩個物件的值是否相等。
+
+因此，如果要對比值，我們應該使用 `equals()` 。然而，透過 `String a = "hi"; String b = "hi";` 初始化的字串都儲存在字串常數池中，它們指向同一個物件，因此也可以用 `a == b` 來比較兩個字串的內容。
+
+**Q**：廣度優先走訪到最底層之前，佇列中的節點數量是 $2^h$ 嗎？
+
+是的，例如高度 $h = 2$ 的滿二元樹，其節點總數 $n = 7$ ，則底層節點數量 $4 = 2^h = (n + 1) / 2$ 。