Add translated chapter exercise pages (#1941)

Add dedicated chapter exercise sections and generated exercise pages for the English, Japanese, and Russian editions. Add navigation for all published languages while keeping Taiwan Traditional Chinese exercise pages generated at build time.
2026-07-22 03:16:08 +00:00 · 2026-07-19 04:25:58 +08:00
parent 4935d2d387
commit 9135647d93
62 changed files with 5778 additions and 3 deletions
@@ -0,0 +1,115 @@
+<!-- 此文件由 utils/exercises/publish_exercises.py 根据 exercises.yaml 自动生成，请勿直接修改。 -->
+
+# 练习
+
+## 知识巩固
+
+### 什么时候适合使用动态规划
+
+一位同学说：“只要能写出递推式，就应该使用动态规划。”
+请判断下面三个任务分别更适合使用动态规划、回溯，还是使用循环或数学公式而不建立 `dp` 表，并写出一个关键理由。
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. 使用面值 `[1, 3, 4]` 的硬币凑出金额 6，求最少硬币数，每种硬币可重复使用；
+2. 输出 `[1, 2, 3]` 的全部排列；
+3. 计算 $1 + 2 + \dots + n$。
+
+    对于你判断为适合动态规划的任务，再说明 `dp[i]` 表示什么。
+
+??? success "参考答案"
+
+    1. 适合动态规划。令 `dp[i]` 表示凑出金额 `i` 所需的最少硬币数。
+        对于每枚不超过 `i` 的硬币 `c`，都可以把 `dp[i-c] + 1` 作为候选答案，
+        再从这些候选值中取最小值。不同选择会反复遇到同一金额，较大金额的最优解也能由较小金额的最优解构成。
+        金额 6 的答案是 2，即 `3 + 3`。
+
+    2. 应使用回溯。题目要求逐个生成全部 6 个排列，回溯可以系统地尝试一个选择、继续搜索，
+        再撤销选择并尝试其他分支。无论采用什么方法，实际输出这些排列时都不能跳过枚举。
+
+    3. 使用循环或等差数列公式即可。虽然能写出 `S(i) = S(i-1) + i`，但计算 `S(i)` 时只依赖一个更小的 `S(i-1)`，
+        每个部分和只需计算一次，不存在重复子问题，因此无需建立 `dp` 表。“能写递推式”不等于“需要动态规划”。
+
+### 背包表中的一个格子怎么算
+
+0-1 背包：物品重量 `wgt = [1, 2, 3]` ，价值 `val = [5, 11, 15]` ，背包容量 4 。
+`dp[i][c]` 表示只考虑前 $i$ 件物品、背包容量上限为 $c$ 时，能够取得的最大价值；
+不要求恰好装满背包。
+
+现在只计算状态 `dp[3][4]`。已知 `dp[2][4] = 16`、`dp[2][1] = 5`：
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. 不选第 3 件物品时，候选价值是多少？
+2. 选择第 3 件物品时，还剩多少容量，候选价值是多少？
+3. `dp[3][4]` 应取多少？对应选择了哪些物品？
+
+??? success "参考答案"
+
+    1. 不选第 3 件物品时，沿用前两件物品的结果，候选价值为 `dp[2][4] = 16`。
+
+    2. 第 3 件物品重量为 3，放入后还剩容量 $4-3=1$；候选价值为
+        `dp[2][1] + 15 = 5 + 15 = 20`。
+
+    3. 比较 16 和 20，得到 `dp[3][4] = 20`。它对应选择第 1、3 件物品，
+        总重量为 $1+3=4$，总价值为 $5+15=20$。
+
+        这个状态的计算体现了 0-1 背包的一次“选或不选”比较。
+
+### 背包容量应该按什么顺序更新
+
+一个 0-1 背包只有一件物品：重量为 2，价值为 5；背包容量为 4。
+每件物品最多选择一次，初始一维数组为 `dp = [0, 0, 0, 0, 0]`。
+
+一位同学在处理这件物品时，按容量从 2 到 4 更新：
+
+- 更新 `dp[2]` 后得到 5；
+- 更新 `dp[3]` 后也得到 5；
+- 更新 `dp[4]` 时又使用刚得到的 `dp[2]`，于是得到 `dp[4] = 10`。
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. `dp[4] = 10` 这个结果是否正确？为什么？
+2. 根据“每件物品最多选择一次”的条件，`dp[4]` 应为多少？
+3. 处理每件物品时，容量应从大到小还是从小到大更新？这样做避免了什么问题？
+
+??? success "参考答案"
+
+    1. 这个结果不正确。价值 10 相当于把这件价值为 5 的物品放入了两次，
+        违反了“每件物品最多选择一次”的条件。
+
+    2. 背包中最多只能放入这一件物品，所以正确的 `dp[4]` 为 5。
+
+    3. 容量应从大到小更新，即依次处理 4、3、2。
+        这样在计算 `dp[c]` 时，所读取的 `dp[c-2]` 仍是处理当前物品之前的结果，
+        不会在同一轮中重复使用当前物品。
+
+## 编程练习
+
+### 爬楼梯的方案数
+
+一段楼梯共有 `n` 阶。你每次只能向上走 1 阶或 2 阶，且必须恰好到达第 `n` 阶。
+请计算共有多少种不同的走法。规定 `n >= 1`，走法只按每一步走 1 阶还是 2 阶来区分。
+请使用一维动态规划数组完成，暂不使用只保留两个状态的空间优化写法。
+
+??? tip "解题提示"
+
+    1. 到达第 i 阶的最后一步，只可能跨 1 阶或 2 阶
+    2. 因此有 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
+    3. 先处理 n 为 1 和 2 的情况，再从第 3 阶开始填表
+
+[LeetCode](https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" } [题目解析](https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/solutions/2361764/70-pa-lou-ti-dong-tai-gui-hua-qing-xi-tu-ruwa/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
+
+> **说明：** 题解讲解了一维 dp 状态和转移，但给出的代码采用滚动变量压缩空间；本练习要求先实现一维 dp 表，滚动变量仅作为选做优化
+
+### 0-1 背包
+
+给定等长数组 `wgt` 和 `val`，第 `i` 件物品的重量为正整数 `wgt[i]`、价值为非负整数 `val[i]`，
+背包容量 `cap` 为非负整数。每件物品最多选择一次，请在总重量不超过 `cap` 的条件下，
+求能够装入背包的最大总价值。请使用一维动态规划实现。
+
+??? tip "解题提示"
+
+    1. 初始化长度为 cap + 1 的数组 dp，其中 dp[c] 表示容量上限为 c 时的最大价值
+    2. 处理物品 i 时，比较“不选它”的 dp[c] 与“选它”的 dp[c-wgt[i]] + val[i]
+    3. 容量必须从大到小更新，避免在同一轮中重复选择当前物品