xinyin025/hello-algo
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2023-08-22 13:50:12 +08:00
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chapter_backtracking/subset_sum_problem.md
+11 -11
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@@ -434,11 +434,11 @@ comments: true
向以上代码输入数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ ，输出结果为 $[3, 3, 3], [4, 5], [5, 4]$ 。**虽然成功找出了所有和为 $9$ 的子集，但其中存在重复的子集 $[4, 5]$ 和 $[5, 4]$** 。
这是因为搜索过程是区分选择顺序的，然而子集不区分选择顺序。如下图所示，先选 $4$ 后选 $5$ 与先选 $5$ 后选 $4$ 是两个不同的分支，但两者对应同一个子集。
这是因为搜索过程是区分选择顺序的，然而子集不区分选择顺序。如图 13-10 所示，先选 $4$ 后选 $5$ 与先选 $5$ 后选 $4$ 是两个不同的分支，但两者对应同一个子集。
![子集搜索与越界剪枝](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_naive.png)
<p align="center"> 图：子集搜索与越界剪枝 </p>
<p align="center"> 图 13-10 &nbsp; 子集搜索与越界剪枝 </p>
为了去除重复子集，**一种直接的思路是对结果列表进行去重**。但这个方法效率很低，因为：
@@ -447,12 +447,12 @@ comments: true
### 2. &nbsp; 重复子集剪枝
**我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重**。观察下图，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，具体来看：
**我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重**。观察图 13-11 ，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，具体来看：
1. 第一轮和第二轮分别选择 $3$ , $4$ ，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 $[3, 4, \dots]$ 。
2. 若第一轮选择 $4$ ，**则第二轮应该跳过 $3$** ，因为该选择产生的子集 $[4, 3, \dots]$ 和 `1.` 中生成的子集完全重复。
如下图所示，每一层的选择都是从左到右被逐个尝试的，因此越靠右剪枝越多。
如图 13-11 所示，每一层的选择都是从左到右被逐个尝试的，因此越靠右剪枝越多。
1. 前两轮选择 $3$ , $5$ ，生成子集 $[3, 5, \dots]$ 。
2. 前两轮选择 $4$ , $5$ ，生成子集 $[4, 5, \dots]$ 。
@@ -460,7 +460,7 @@ comments: true
![不同选择顺序导致的重复子集](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_pruning.png)
<p align="center"> 图：不同选择顺序导致的重复子集 </p>
<p align="center"> 图 13-11 &nbsp; 不同选择顺序导致的重复子集 </p>
总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \dots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \dots , x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$ ，**不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝**。
@@ -912,11 +912,11 @@ comments: true
}
```
如下图所示，为将数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 输入到以上代码后的整体回溯过程。
如图 13-12 所示，为将数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 输入到以上代码后的整体回溯过程。
![子集和 I 回溯过程](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i.png)
<p align="center"> 图：子集和 I 回溯过程 </p>
<p align="center"> 图 13-12 &nbsp; 子集和 I 回溯过程 </p>
## 13.3.2 &nbsp; 考虑重复元素的情况
@@ -926,11 +926,11 @@ comments: true
相比于上题，**本题的输入数组可能包含重复元素**，这引入了新的问题。例如，给定数组 $[4, \hat{4}, 5]$ 和目标元素 $9$ ，则现有代码的输出结果为 $[4, 5], [\hat{4}, 5]$ ，出现了重复子集。
**造成这种重复的原因是相等元素在某轮中被多次选择**。在下图中，第一轮共有三个选择，其中两个都为 $4$ ，会产生两个重复的搜索分支，从而输出重复子集；同理，第二轮的两个 $4$ 也会产生重复子集。
**造成这种重复的原因是相等元素在某轮中被多次选择**。在图 13-13 中，第一轮共有三个选择，其中两个都为 $4$ ，会产生两个重复的搜索分支，从而输出重复子集；同理，第二轮的两个 $4$ 也会产生重复子集。
![相等元素导致的重复子集](subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii_repeat.png)
<p align="center"> 图：相等元素导致的重复子集 </p>
<p align="center"> 图 13-13 &nbsp; 相等元素导致的重复子集 </p>
### 1. &nbsp; 相等元素剪枝
@@ -1434,8 +1434,8 @@ comments: true
}
```
下图展示了数组 $[4, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 的回溯过程，共包含四种剪枝操作。请你将图示与代码注释相结合，理解整个搜索过程，以及每种剪枝操作是如何工作的。
图 13-14 展示了数组 $[4, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 的回溯过程，共包含四种剪枝操作。请你将图示与代码注释相结合，理解整个搜索过程，以及每种剪枝操作是如何工作的。
![子集和 II 回溯过程](subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii.png)
<p align="center"> 图：子集和 II 回溯过程 </p>
<p align="center"> 图 13-14 &nbsp; 子集和 II 回溯过程 </p>