xinyin025/hello-algo
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2023-08-22 13:50:12 +08:00
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chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md
+14 -14
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@@ -40,11 +40,11 @@ status: new
给定一个 $n \times m$ 的二维网格 `grid` ，网格中的每个单元格包含一个非负整数，表示该单元格的代价。机器人以左上角单元格为起始点，每次只能向下或者向右移动一步，直至到达右下角单元格。请返回从左上角到右下角的最小路径和。
下图展示了一个例子，给定网格的最小路径和为 $13$ 。
图 14-10 展示了一个例子，给定网格的最小路径和为 $13$ 。
![最小路径和示例数据](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_example.png)
<p align="center"> 图：最小路径和示例数据 </p>
<p align="center"> 图 14-10 &nbsp; 最小路径和示例数据 </p>
**第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 $dp$ 表**
@@ -52,11 +52,11 @@ status: new
状态 $[i, j]$ 对应的子问题为：从起始点 $[0, 0]$ 走到 $[i, j]$ 的最小路径和，解记为 $dp[i, j]$ 。
至此，我们就得到了下图所示的二维 $dp$ 矩阵，其尺寸与输入网格 $grid$ 相同。
至此，我们就得到了图 14-11 所示的二维 $dp$ 矩阵，其尺寸与输入网格 $grid$ 相同。
![状态定义与 dp 表](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_solution_step1.png)
<p align="center"> 图：状态定义与 dp 表 </p>
<p align="center"> 图 14-11 &nbsp; 状态定义与 dp 表 </p>
!!! note
@@ -68,7 +68,7 @@ status: new
对于状态 $[i, j]$ ，它只能从上边格子 $[i-1, j]$ 和左边格子 $[i, j-1]$ 转移而来。因此最优子结构为：到达 $[i, j]$ 的最小路径和由 $[i, j-1]$ 的最小路径和与 $[i-1, j]$ 的最小路径和，这两者较小的那一个决定。
根据以上分析，可推出下图所示的状态转移方程：
根据以上分析，可推出图 14-12 所示的状态转移方程：
$$
dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
@@ -76,7 +76,7 @@ $$
![最优子结构与状态转移方程](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_solution_step2.png)
<p align="center"> 图：最优子结构与状态转移方程 </p>
<p align="center"> 图 14-12 &nbsp; 最优子结构与状态转移方程 </p>
!!! note
@@ -88,11 +88,11 @@ $$
在本题中，处在首行的状态只能向右转移，首列状态只能向下转移，因此首行 $i = 0$ 和首列 $j = 0$ 是边界条件。
如下图所示，由于每个格子是由其左方格子和上方格子转移而来，因此我们使用采用循环来遍历矩阵，外循环遍历各行、内循环遍历各列。
如图 14-13 所示，由于每个格子是由其左方格子和上方格子转移而来，因此我们使用采用循环来遍历矩阵，外循环遍历各行、内循环遍历各列。
![边界条件与状态转移顺序](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_solution_step3.png)
<p align="center"> 图：边界条件与状态转移顺序 </p>
<p align="center"> 图 14-13 &nbsp; 边界条件与状态转移顺序 </p>
!!! note
@@ -316,13 +316,13 @@ $$
}
```
下图给出了以 $dp[2, 1]$ 为根节点的递归树，其中包含一些重叠子问题，其数量会随着网格 `grid` 的尺寸变大而急剧增多。
图 14-14 给出了以 $dp[2, 1]$ 为根节点的递归树，其中包含一些重叠子问题，其数量会随着网格 `grid` 的尺寸变大而急剧增多。
本质上看，造成重叠子问题的原因为：**存在多条路径可以从左上角到达某一单元格**。
![暴力搜索递归树](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dfs.png)
<p align="center"> 图：暴力搜索递归树 </p>
<p align="center"> 图 14-14 &nbsp; 暴力搜索递归树 </p>
每个状态都有向下和向右两种选择，从左上角走到右下角总共需要 $m + n - 2$ 步，所以最差时间复杂度为 $O(2^{m + n})$ 。请注意，这种计算方式未考虑临近网格边界的情况，当到达网络边界时只剩下一种选择。因此实际的路径数量会少一些。
@@ -582,11 +582,11 @@ $$
}
```
如下图所示，在引入记忆化后，所有子问题的解只需计算一次，因此时间复杂度取决于状态总数，即网格尺寸 $O(nm)$ 。
如图 14-15 所示，在引入记忆化后，所有子问题的解只需计算一次，因此时间复杂度取决于状态总数，即网格尺寸 $O(nm)$ 。
![记忆化搜索递归树](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dfs_mem.png)
<p align="center"> 图：记忆化搜索递归树 </p>
<p align="center"> 图 14-15 &nbsp; 记忆化搜索递归树 </p>
### 3. &nbsp; 方法三：动态规划
@@ -853,7 +853,7 @@ $$
}
```
下图展示了最小路径和的状态转移过程，其遍历了整个网格，**因此时间复杂度为 $O(nm)$** 。
图 14-16 展示了最小路径和的状态转移过程，其遍历了整个网格，**因此时间复杂度为 $O(nm)$** 。
数组 `dp` 大小为 $n \times m$ ，**因此空间复杂度为 $O(nm)$** 。
@@ -893,7 +893,7 @@ $$
=== "<12>"
![min_path_sum_dp_step12](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dp_step12.png)
<p align="center"> 图：最小路径和的动态规划过程 </p>
<p align="center"> 图 14-16 &nbsp; 最小路径和的动态规划过程 </p>
### 4. &nbsp; 状态压缩