xinyin025/hello-algo
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chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md
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@@ -13,11 +13,11 @@ status: new
给定一个共有 $n$ 阶的楼梯，你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶，请问有多少种方案可以爬到楼顶。
如下图所示，对于一个 $3$ 阶楼梯，共有 $3$ 种方案可以爬到楼顶。
如图 14-1 所示，对于一个 $3$ 阶楼梯，共有 $3$ 种方案可以爬到楼顶。
![爬到第 3 阶的方案数量](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_example.png)
<p align="center"> 图：爬到第 3 阶的方案数量 </p>
<p align="center"> 图 14-1 &nbsp; 爬到第 3 阶的方案数量 </p>
本题的目标是求解方案数量，**我们可以考虑通过回溯来穷举所有可能性**。具体来说，将爬楼梯想象为一个多轮选择的过程：从地面出发，每轮选择上 $1$ 阶或 $2$ 阶，每当到达楼梯顶部时就将方案数量加 $1$ ，当越过楼梯顶部时就将其剪枝。
@@ -378,11 +378,11 @@ $$
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
$$
这意味着在爬楼梯问题中，各个子问题之间存在递推关系，**原问题的解可以由子问题的解构建得来**。下图展示了该递推关系。
这意味着在爬楼梯问题中，各个子问题之间存在递推关系，**原问题的解可以由子问题的解构建得来**。图 14-2 展示了该递推关系。
![方案数量递推关系](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_state_transfer.png)
<p align="center"> 图：方案数量递推关系 </p>
<p align="center"> 图 14-2 &nbsp; 方案数量递推关系 </p>
我们可以根据递推公式得到暴力搜索解法：
@@ -605,13 +605,13 @@ $$
}
```
下图展示了暴力搜索形成的递归树。对于问题 $dp[n]$ ，其递归树的深度为 $n$ ，时间复杂度为 $O(2^n)$ 。指数阶属于爆炸式增长，如果我们输入一个比较大的 $n$ ，则会陷入漫长的等待之中。
图 14-3 展示了暴力搜索形成的递归树。对于问题 $dp[n]$ ，其递归树的深度为 $n$ ，时间复杂度为 $O(2^n)$ 。指数阶属于爆炸式增长，如果我们输入一个比较大的 $n$ ，则会陷入漫长的等待之中。
![爬楼梯对应递归树](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dfs_tree.png)
<p align="center"> 图：爬楼梯对应递归树 </p>
<p align="center"> 图 14-3 &nbsp; 爬楼梯对应递归树 </p>
观察上图发现，**指数阶的时间复杂度是由于“重叠子问题”导致的**。例如：$dp[9]$ 被分解为 $dp[8]$ 和 $dp[7]$ ，$dp[8]$ 被分解为 $dp[7]$ 和 $dp[6]$ ，两者都包含子问题 $dp[7]$ 。
观察图 14-3 ，**指数阶的时间复杂度是由于“重叠子问题”导致的**。例如 $dp[9]$ 被分解为 $dp[8]$ 和 $dp[7]$ ，$dp[8]$ 被分解为 $dp[7]$ 和 $dp[6]$ ，两者都包含子问题 $dp[7]$ 。
以此类推，子问题中包含更小的重叠子问题，子子孙孙无穷尽也。绝大部分计算资源都浪费在这些重叠的问题上。
@@ -917,11 +917,11 @@ $$
}
```
观察下图，**经过记忆化处理后，所有重叠子问题都只需被计算一次，时间复杂度被优化至 $O(n)$** ，这是一个巨大的飞跃。
观察图 14-4 ，**经过记忆化处理后，所有重叠子问题都只需被计算一次，时间复杂度被优化至 $O(n)$** ，这是一个巨大的飞跃。
![记忆化搜索对应递归树](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dfs_memo_tree.png)
<p align="center"> 图：记忆化搜索对应递归树 </p>
<p align="center"> 图 14-4 &nbsp; 记忆化搜索对应递归树 </p>
## 14.1.3 &nbsp; 方法三：动态规划
@@ -1155,11 +1155,11 @@ $$
}
```
下图模拟了以上代码的执行过程。
图 14-5 模拟了以上代码的执行过程。
![爬楼梯的动态规划过程](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dp.png)
<p align="center"> 图：爬楼梯的动态规划过程 </p>
<p align="center"> 图 14-5 &nbsp; 爬楼梯的动态规划过程 </p>
与回溯算法一样，动态规划也使用“状态”概念来表示问题求解的某个特定阶段，每个状态都对应一个子问题以及相应的局部最优解。例如，爬楼梯问题的状态定义为当前所在楼梯阶数 $i$ 。