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chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md

@@ -13,11 +13,11 @@ status: new
 
     给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$ 、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次，问在不超过背包容量下能放入物品的最大价值。
 
-观察下图，由于物品编号 $i$ 从 $1$ 开始计数，数组索引从 $0$ 开始计数，因此物品 $i$ 对应重量 $wgt[i-1]$ 和价值 $val[i-1]$ 。
+观察图 14-17 ，由于物品编号 $i$ 从 $1$ 开始计数，数组索引从 $0$ 开始计数，因此物品 $i$ 对应重量 $wgt[i-1]$ 和价值 $val[i-1]$ 。
 
 ![0-1 背包的示例数据](knapsack_problem.assets/knapsack_example.png)
 
-<p align="center"> 图：0-1 背包的示例数据 </p>
+<p align="center"> 图 14-17 &nbsp; 0-1 背包的示例数据 </p>
 
 我们可以将 0-1 背包问题看作是一个由 $n$ 轮决策组成的过程，每个物体都有不放入和放入两种决策，因此该问题是满足决策树模型的。
 
@@ -267,13 +267,13 @@ $$
     }
     ```
 
-如下图所示，由于每个物品都会产生不选和选两条搜索分支，因此时间复杂度为 $O(2^n)$ 。
+如图 14-18 所示，由于每个物品都会产生不选和选两条搜索分支，因此时间复杂度为 $O(2^n)$ 。
 
 观察递归树，容易发现其中存在重叠子问题，例如 $dp[1, 10]$ 等。而当物品较多、背包容量较大，尤其是相同重量的物品较多时，重叠子问题的数量将会大幅增多。
 
 ![0-1 背包的暴力搜索递归树](knapsack_problem.assets/knapsack_dfs.png)
 
-<p align="center"> 图：0-1 背包的暴力搜索递归树 </p>
+<p align="center"> 图 14-18 &nbsp; 0-1 背包的暴力搜索递归树 </p>
 
 ### 2. &nbsp; 方法二：记忆化搜索
 
@@ -537,11 +537,11 @@ $$
     }
     ```
 
-下图展示了在记忆化递归中被剪掉的搜索分支。
+图 14-19 展示了在记忆化递归中被剪掉的搜索分支。
 
 ![0-1 背包的记忆化搜索递归树](knapsack_problem.assets/knapsack_dfs_mem.png)
 
-<p align="center"> 图：0-1 背包的记忆化搜索递归树 </p>
+<p align="center"> 图 14-19 &nbsp; 0-1 背包的记忆化搜索递归树 </p>
 
 ### 3. &nbsp; 方法三：动态规划
 
@@ -780,7 +780,7 @@ $$
     }
     ```
 
-如下图所示，时间复杂度和空间复杂度都由数组 `dp` 大小决定，即 $O(n \times cap)$ 。
+如图 14-20 所示，时间复杂度和空间复杂度都由数组 `dp` 大小决定，即 $O(n \times cap)$ 。
 
 === "<1>"
     ![0-1 背包的动态规划过程](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step1.png)
@@ -824,7 +824,7 @@ $$
 === "<14>"
     ![knapsack_dp_step14](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step14.png)
 
-<p align="center"> 图：0-1 背包的动态规划过程 </p>
+<p align="center"> 图 14-20 &nbsp; 0-1 背包的动态规划过程 </p>
 
 ### 4. &nbsp; 状态压缩
 
@@ -835,7 +835,7 @@ $$
 - 如果采取正序遍历，那么遍历到 $dp[i, j]$ 时，左上方 $dp[i-1, 1]$ ~ $dp[i-1, j-1]$ 值可能已经被覆盖，此时就无法得到正确的状态转移结果。
 - 如果采取倒序遍历，则不会发生覆盖问题，状态转移可以正确进行。
 
-下图展示了在单个数组下从第 $i = 1$ 行转换至第 $i = 2$ 行的过程。请思考正序遍历和倒序遍历的区别。
+图 14-21 展示了在单个数组下从第 $i = 1$ 行转换至第 $i = 2$ 行的过程。请思考正序遍历和倒序遍历的区别。
 
 === "<1>"
     ![0-1 背包的状态压缩后的动态规划过程](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step1.png)
@@ -855,7 +855,7 @@ $$
 === "<6>"
     ![knapsack_dp_comp_step6](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step6.png)
 
-<p align="center"> 图：0-1 背包的状态压缩后的动态规划过程 </p>
+<p align="center"> 图 14-21 &nbsp; 0-1 背包的状态压缩后的动态规划过程 </p>
 
 在代码实现中，我们仅需将数组 `dp` 的第一维 $i$ 直接删除，并且把内循环更改为倒序遍历即可。