xinyin025/hello-algo
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chapter_graph/graph.md
+17 -17
View File
@@ -14,42 +14,42 @@ G & = \{ V, E \} \newline
\end{aligned}
$$
如果将顶点看作节点，将边看作连接各个节点的引用（指针），我们就可以将图看作是一种从链表拓展而来的数据结构。如下图所示，**相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高**，从而更为复杂。
如果将顶点看作节点，将边看作连接各个节点的引用（指针），我们就可以将图看作是一种从链表拓展而来的数据结构。如图 9-1 所示，**相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高**，从而更为复杂。
![链表、树、图之间的关系](graph.assets/linkedlist_tree_graph.png)
<p align="center"> 图：链表、树、图之间的关系 </p>
<p align="center"> 图 9-1 &nbsp; 链表、树、图之间的关系 </p>
## 9.1.1 &nbsp; 图常见类型与术语
根据边是否具有方向，可分为下图所示的「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」。
根据边是否具有方向，可分为图 9-2 所示的「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」。
- 在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”。
- 在有向图中，边具有方向性，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。
![有向图与无向图](graph.assets/directed_graph.png)
<p align="center"> 图：有向图与无向图 </p>
<p align="center"> 图 9-2 &nbsp; 有向图与无向图 </p>
根据所有顶点是否连通，可分为下图所示的「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」。
根据所有顶点是否连通，可分为图 9-3 所示的「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」。
- 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点。
- 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。
![连通图与非连通图](graph.assets/connected_graph.png)
<p align="center"> 图：连通图与非连通图 </p>
<p align="center"> 图 9-3 &nbsp; 连通图与非连通图 </p>
我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到下图所示的「有权图 weighted graph」。例如在王者荣耀等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。
我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到图 9-4 所示的「有权图 weighted graph」。例如在王者荣耀等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。
![有权图与无权图](graph.assets/weighted_graph.png)
<p align="center"> 图：有权图与无权图 </p>
<p align="center"> 图 9-4 &nbsp; 有权图与无权图 </p>
图的常用术语包括：
- 「邻接 adjacency」：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。在上图中，顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。
- 「路径 path」：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在上图中，边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。
- 「邻接 adjacency」：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。在图 9-4 中，顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。
- 「路径 path」：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在图 9-4 中，边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。
- 「度 degree」：一个顶点拥有的边数。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。
## 9.1.2 &nbsp; 图的表示
@@ -60,11 +60,11 @@ $$
设图的顶点数量为 $n$ ，「邻接矩阵 adjacency matrix」使用一个 $n \times n$ 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 $1$ 或 $0$ 表示两个顶点之间是否存在边。
如下图所示，设邻接矩阵为 $M$ 、顶点列表为 $V$ ，那么矩阵元素 $M[i, j] = 1$ 表示顶点 $V[i]$ 到顶点 $V[j]$ 之间存在边，反之 $M[i, j] = 0$ 表示两顶点之间无边。
如图 9-5 所示，设邻接矩阵为 $M$ 、顶点列表为 $V$ ，那么矩阵元素 $M[i, j] = 1$ 表示顶点 $V[i]$ 到顶点 $V[j]$ 之间存在边，反之 $M[i, j] = 0$ 表示两顶点之间无边。
![图的邻接矩阵表示](graph.assets/adjacency_matrix.png)
<p align="center"> 图：图的邻接矩阵表示 </p>
<p align="center"> 图 9-5 &nbsp; 图的邻接矩阵表示 </p>
邻接矩阵具有以下特性：
@@ -76,21 +76,21 @@ $$
### 2. &nbsp; 邻接表
「邻接表 adjacency list」使用 $n$ 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。下图展示了一个使用邻接表存储的图的示例。
「邻接表 adjacency list」使用 $n$ 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。图 9-6 展示了一个使用邻接表存储的图的示例。
![图的邻接表表示](graph.assets/adjacency_list.png)
<p align="center"> 图：图的邻接表表示 </p>
<p align="center"> 图 9-6 &nbsp; 图的邻接表表示 </p>
邻接表仅存储实际存在的边，而边的总数通常远小于 $n^2$ ，因此它更加节省空间。然而，在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，因此其时间效率不如邻接矩阵。
观察上图，**邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此我们也可以采用类似方法来优化效率**。比如当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 $O(n)$ 优化至 $O(\log n)$ ；还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降低至 $O(1)$ 。
观察图 9-6 ，**邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此我们也可以采用类似方法来优化效率**。比如当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 $O(n)$ 优化至 $O(\log n)$ ；还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降低至 $O(1)$ 。
## 9.1.3 &nbsp; 图常见应用
如下图所示，许多现实系统都可以用图来建模，相应的问题也可以约化为图计算问题。
如表 9-1 所示，许多现实系统都可以用图来建模，相应的问题也可以约化为图计算问题。
<p align="center"> 表：现实生活中常见的图 </p>
<p align="center"> 表 9-1 &nbsp; 现实生活中常见的图 </p>
<div class="center-table" markdown>
chapter_graph/graph_operations.md
+7 -7
View File
@@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
## 9.2.1 &nbsp; 基于邻接矩阵的实现
给定一个顶点数量为 $n$ 的无向图，则各种操作的实现方式如下图所示。
给定一个顶点数量为 $n$ 的无向图，则各种操作的实现方式如图 9-7 所示。
- **添加或删除边**：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 $O(1)$ 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
- **添加顶点**：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 $0$ 即可，使用 $O(n)$ 时间。
@@ -30,7 +30,7 @@ comments: true
=== "删除顶点"
![adjacency_matrix_remove_vertex](graph_operations.assets/adjacency_matrix_remove_vertex.png)
<p align="center"> 图：邻接矩阵的初始化、增删边、增删顶点 </p>
<p align="center"> 图 9-7 &nbsp; 邻接矩阵的初始化、增删边、增删顶点 </p>
以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。
@@ -1126,7 +1126,7 @@ comments: true
## 9.2.2 &nbsp; 基于邻接表的实现
设无向图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则可根据下图所示的方法实现各种操作。
设无向图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则可根据图 9-8 所示的方法实现各种操作。
- **添加边**：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
- **删除边**：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 $O(m)$ 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
@@ -1149,7 +1149,7 @@ comments: true
=== "删除顶点"
![adjacency_list_remove_vertex](graph_operations.assets/adjacency_list_remove_vertex.png)
<p align="center"> 图：邻接表的初始化、增删边、增删顶点 </p>
<p align="center"> 图 9-8 &nbsp; 邻接表的初始化、增删边、增删顶点 </p>
以下是基于邻接表实现图的代码示例。细心的同学可能注意到，**我们在邻接表中使用 `Vertex` 节点类来表示顶点**，这样做的原因有：
@@ -2114,9 +2114,9 @@ comments: true
## 9.2.3 &nbsp; 效率对比
设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，下表对比了邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率。
设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，表 9-2 对比了邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率。
<p align="center"> 表：邻接矩阵与邻接表对比 </p>
<p align="center"> 表 9-2 &nbsp; 邻接矩阵与邻接表对比 </p>
<div class="center-table" markdown>
@@ -2131,4 +2131,4 @@ comments: true
</div>
观察上表，似乎邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。
观察表 9-2 ，似乎邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。
chapter_graph/graph_traversal.md
+9 -9
View File
@@ -14,11 +14,11 @@ comments: true
## 9.3.1 &nbsp; 广度优先遍历
**广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张**。如下图所示，从左上角顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。
**广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张**。如图 9-9 所示，从左上角顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。
![图的广度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_bfs.png)
<p align="center"> 图：图的广度优先遍历 </p>
<p align="center"> 图 9-9 &nbsp; 图的广度优先遍历 </p>
### 1. &nbsp; 算法实现
@@ -392,7 +392,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
}
```
代码相对抽象，建议对照下图来加深理解。
代码相对抽象，建议对照图 9-10 来加深理解。
=== "<1>"
![图的广度优先遍历步骤](graph_traversal.assets/graph_bfs_step1.png)
@@ -427,11 +427,11 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
=== "<11>"
![graph_bfs_step11](graph_traversal.assets/graph_bfs_step11.png)
<p align="center"> 图：图的广度优先遍历步骤 </p>
<p align="center"> 图 9-10 &nbsp; 图的广度优先遍历步骤 </p>
!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？"
不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的**。以上图为例，顶点 $1$ , $3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$ , $4$ , $6$ 的访问顺序也可以任意交换。
不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的**。以图 9-10 为例，顶点 $1$ , $3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$ , $4$ , $6$ 的访问顺序也可以任意交换。
### 2. &nbsp; 复杂度分析
@@ -441,11 +441,11 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
## 9.3.2 &nbsp; 深度优先遍历
**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。如下图所示，从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。
**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。如图 9-11 所示，从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。
![图的深度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_dfs.png)
<p align="center"> 图：图的深度优先遍历 </p>
<p align="center"> 图 9-11 &nbsp; 图的深度优先遍历 </p>
### 1. &nbsp; 算法实现
@@ -797,7 +797,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
}
```
深度优先遍历的算法流程如下图所示，其中：
深度优先遍历的算法流程如图 9-12 所示，其中：
- **直虚线代表向下递推**，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。
- **曲虚线代表向上回溯**，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置。
@@ -837,7 +837,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
=== "<11>"
![graph_dfs_step11](graph_traversal.assets/graph_dfs_step11.png)
<p align="center"> 图：图的深度优先遍历步骤 </p>
<p align="center"> 图 9-12 &nbsp; 图的深度优先遍历步骤 </p>
!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一？"